多目标决策技术ppt课件

1、 第 八 章 多目的决策技术 预测与决策技术主 讲 教 师 李 时 前面几章，我们讨论的是单目的决策问题。然而现实世界中的决策问题，决策者思索的目的往往不只一个。如企业的投资工程决策，既要思索消费生命周期、市场需求、创汇才干、净收益、产品本钱等经济目的，又要思索维护生态环境、促进就业等社会目的。象这种在决策时要思索多工程标的决策问题就是多目的决策问题。 多目的决策问题有两个明显的根本特点： 1目的之间的不可公度性。即各个目的之间没有一个一致的度量规范，因此难以直接进展比较。例如投资工程决策问题中，工程净收益用万元计，而投资回收期却以年或月计。 2目的之间的矛盾性。即某一目的的改善往往会使其他目

2、的变坏。例如工程投资添加，会使利润添加，但能够会使投资回收期变长，以及环境污染加重。 由于上述特点就使得多目的决策比单目的决策要困难和复杂得多。要寻觅使各个目的都到达最优的所谓绝对最优方案或称绝对最优解，往往是不现实的。通常的作用法就是在各个目的之间，在各种限制条件下寻觅一种合理的妥协。即在非绝对最优方案，通常称为非劣方案非劣解或称有效方案有效解中选择一个比较称心的方案。按照不同的评价准那么，从不同的角度去选择非劣方案便构成了不同的多目的决策方法。 多目的决策方法很多，我们只引见其中比较成熟的两种方法。 1 层次分析法 层次分析法简称AHP法Analytic Hierarchy Process

3、，它是美国著名运筹学家萨蒂Saatty教授在20世纪70年代提出的一种定性与定量相结合的多目的决策方法，现已被广泛运用。 一、层次分析法的根本原理 在多目的决策问题中，针对某些目的，方案的评价结果往往难以定量化、准确化。这就需求把目的进一步分解，利用可准确化、定量化的子目的系统来反映对方案的评价。 层次分析法的根本思想是：把决策问题按总目的、子目的、评价准那么直至详细方案的顺序分解为假设干层次，相邻层次元素之间存在着特定的逻辑关系。分成有序的层次构造以后，对每一个上层元素，把与之有逻辑关系的下层元素两两对比，给出以定量数字表示的“判别矩阵。经过判别矩阵的最大特征根及其特征向量，求出每一层次的各

4、元素对上一层次各元素的权重系数。最后利用加权和的方法，由低到高，一层层递阶归并，求出各方案对总目的的权数，其中权数最大者对应的方案即为优先方案。 二、层次分析法的根本步骤 第一步：建立层次构造模型。 最高层：表示决策问题所要到达的总目的，常称为目的层或总目的层。 中间层：可以包括不止一个层次。是为实现总目的而细分的子目的，也可以是为实现总目的或子目的而需求思索的约束或准那么。相应的层次常称为子目的层、准那么层等。 最低层：普通是处理问题的方案、政策或措施等。因此，常称为方案层或措施层。 第二步：构造判别矩阵。 判别矩阵是定性判别过度到定量计算的根底。它是针对上一层次某元素而言，本层次有关元素两

5、两重要性的比较结果。 为了阐明判别矩阵的构造原理，我们先从物体的分量对比谈起。 设有n件物体A1，A2，An，其分量分别为1，2，n，假设将它们两两比较分量，其比值可构成nn矩阵A： 矩阵A具有如下性质： 假设用分量向量W=(1，2，n)T右乘A，可得 AW=nW 这阐明n为矩阵A的特征根，向量W是对应于特征根n的特征向量。 假设记aij=i/j，显然矩阵A的元素aij具有如下三条性质： aii=1；aij=1/aji；aij=aikakj， i，j=1，2，n 由矩阵实际易知，满足上述三条性质的矩阵A的最大特征根 max=n,其他特征根为0。 我们在层次分析法中所用的比较元素之间重要性的判别

6、矩阵，就是用类似于上述比较物体间分量的方法构造的。 设B层元素Bk与下一层元素A1，A2，An有关系，对于Bk而言，Ai与Aj比较后，其相对重要性记为aij，那么有判别矩阵：A=(aij)nn ,也可表示为如下表格方式： 普通来讲，元素的重要性很难象物体分量那样准确衡量，因此， aij很难准确给出，普通按下表所给出的规范来确定。BkA1 A2 AnA1A2 Ana11 a12 a1na21 a22 a2n an1 an2 annaij取值 含 义 1Ai与Aj同样重要 3Ai比Aj稍微重要 5Ai 比Aj明显重要 7Ai 比Aj重要得多 9Ai 比Aj极端重要 2，4，6，8介于上述相邻两种情

7、况之间 以上各数的倒数 两元素反过来比较 如： 第三步：求判别矩阵的最大特征根和相应的特征向量。 假设判别矩阵满足前述三条性质，那么称该判别矩阵具有完全一致性。此时，便可知其最大特征根max=n所对应的特征向量为各元素重要性的权数。但是由于客观事物的复杂性和人们认识上的多样性以及客观上的片面性和不稳定性，用两两对比的方法构造出的判别矩阵，既使有前表为参照规范也经常不满足第三条性质：aij=aikakj，因此不是完全一致性判别矩阵。假设离完全一致性不远，那么判别矩阵根本可用，这时最大特征根max n，就要设法求出判别矩阵的最大特征根及其相应的特征向量。 当矩阵A的阶数较大时，用普通的代数方法计算

8、相当费事。下面我们引见一种简单的近似算法方根法，其步骤为：计算判别矩阵A中每行一切元素的几何平均值： 对向量M=(m1, m2,，mn)T作归一化处置，即令 所得向量W=(1，2，n)T 即为判别矩阵A的最大特征根对应的归一化特征向量的近似值。 计算判别矩阵A的最大特征根： 其中(AW)i为向量AW的第i个元素。 现实上，由AW=maxW，有(AW)i=maxi， i=1，2，n.12.5.6式实践是这n个等式求得的max的平均值。 假设记W-1=(1/1,1/2,，1/n)T，12.5.6式也可表为矩阵乘积方式： 第四步：判别矩阵的一致性检验。 前面已述及，当判别矩阵具有完全一致性时，其最大

9、特征根max=n，但人们对复杂事物两两重要性的比较，很难做到判别的一致性，因此，所给出的判别矩阵往往不具有完全的一致性，此时, maxn,这就有必要检验判别矩阵与完全一致性相差多远。所用的检验目的是： CI称为一致性目的。当max=n时。CI=0，为完全一致；CI值越大，判别矩阵的完全一致性越差。由于一致偏离可由随机要素引起，所以在检验判别矩阵的一致性时，要将CI与平均随机一致性目的RI进展比较，得出检验数CR，即 CR CI/ RI 只需CR0.1，就可以以为判别矩阵具有称心的一致性，否那么，需求重新分析赋值，调整判别矩阵，直到检验经过为止。平均随机一致性目的同判别矩阵的阶数有关，普通情况下

10、，矩阵阶数越大，出现一致性随机偏离的能够性也愈大，下表给出了阶数为310时的RI值。RI值是计算500个3至9阶随机样本矩阵的一致性目的，然后求其平均得出的。随机一致性目的RI值表 阶数345678910RI0.580.901.121.241.321.411.451.49 由于二阶矩阵的完全一致性可以保证，所以，只需三阶以上的判别矩阵才需检验。 例 求下面给出的判别矩阵A的最大特征根及特征向量，并做一致性检验。解：计算A中各行一切元素的几何平均值： 归一化： 计算最大特征根: 一致性检验： CRCI/CR=0.00240.580.0040.1 故判别矩阵A具有称心的一致性。 第五步：层次加权。

11、假设某层的判别矩阵经检验具有称心的一致性，那么按前述方法求得的特征向量即可做为该层各元素相应的权数。设第t层有m个元素，第t+1层有n个元素，那么对于第t层的第i个元素，可以求得第t+1层各元素对它的权重行向量: Wi=(i1,i2,，in)，i=1，2，m，留意：假设第t+1层的第j个元素与第t层的第i个元素无联络时，ij=0于是可以用Wi为行，得到表示第t层和第t+1层各元素之间重要程度的权重矩阵，记为Wt 设决策问题可分为+1层，总目的记为第0层，依次记为第1层，第2层，第层，第t层相对于上一层的权重矩阵为Wt， 那么由W总=W1W2.W ，算得的行向量各元素，即最底层各方案对总目的的权

12、数，其中权数最大的方案就是优先方案。 三、层次分析法的运用 例6 某地兴建一大型工业工程，需思索的主要目的有：投资回收期、年产值、可提供的就业时机、对当地工业的影响。经过可行性研讨后有三个方案可供选择，其根本情况如下表所列，试用层次分析法确定优先方案。 目标 目标值 方案投资回收期(年) 年 产 值(万元) 可 提 供 的就业机会(人) 对当地工业的 影 响 方案一 方案二 方案三 5 8 11 500090001500080020001400无 影 响 略有促进作用 起带 动 作用 解：建立层次构造模型：依题意可建立如以下图所示的层次构造图: 称心的工程 A投资回收期B1年 产 值B2提供的

13、就业时机 B3对其它工业的影响 B4方案一C1方案二C2方案三C3目的层：准那么层：方案层： 构造第一层准那么层的判别矩阵，求其最大特征根、特征向量，并进 行一致性检验。 对于目的层，把准那么层的四项目的两两比较：B1不如B2重要，比B3略重要，比B4略微重要； B2比B3略微重要，比B4明显重要； B3比B4略微重要。从而得该层判别矩阵如下表：A B1 B2 B3 B4B1B2B3B4 1 1/2 2 3 2 1 3 5 1/2 1/3 1 3 1/3 1/5 1/3 1计算各行几何均值： 归一化： 故权数向量W=(0.270，0.479，0.172，0.079)T 再求最大特征根： 由 A

14、W= 得一致性检验： 所以第一层的判别矩阵具有称心的一致性。从而第一层四个元素对总目的的权 数可记为行向量W1 =(0.270，0.479，0.172，0.079)构造第二层方案层对第一层各元素的判别矩阵，用同样方法和步骤求最大特征根、特征向量并进展一致性检验。结果如下：w1=(0.655，0.250，0.095) max=3.075 CI=0.0375 CR=0.0650.1，称心。B1 C1 C2 C3 C1C2C3 1 2 91/2 1 21/9 1/2 1B2 C1 C2 C3 C1C2C3 1 1/3 1/9 3 1 1/3 9 3 1 w2=(0.077，0.231，0.692)

15、max=3.001 CI=0.0005 CR=0.00090.1，称心。 B3 C1 C2 C3 C1C2C3 1 1/7 1/4 7 1 3 4 1/3 1 w3=(0.078，0.659，0.263) max=3.033 CI=0.0165 CR=0.02840.1，称心。 B4 C1 C2 C3 C1C2C3 1 1/2 1/9 2 1 1/3 9 3 1 w4=(0.090，0.205，0.705) max=3.019 CI=0.0095 CR=0.01640.1，称心。于是第二层的权重矩阵: 从而各方案关于总目的的权重：W总=W1W2=0.234，0.308，0.458 由于方案三的

16、权数最大，所以优先投资方案应为方案三。 2 模糊决策法 模糊数学自1965年美国加利福尼亚贝克利大学教授扎德Zadeh创建以来，开展迅速，运用越来越广泛。目前已运用到自然科学和社会科学的许多领域。利用模糊数学方法进展决策的胜利案例不断见诸各种文献。模糊决策方法正成为决策领域中一种很有适用价值的工具。 一、模糊根底知识 在经典数学里，对概念给出的定义须有明确的内涵和外延。内涵就是概念的内容，外延就是概念所指对象的范围、界限。比如平行四边形的定义是：对边平行且相等内涵的四边形外延。然而，在现实世界中，并不是一切的概念都有明确的内涵和外延。比如年青与年老，胖与瘦，高与矮，冷与热，温顺与粗暴，强与弱，

17、美与丑，好与坏等常用概念，其内容我们人人都清楚，但其外延那么是模糊的，很难找到它们的明确分界限。对于这类具有明显中间过渡性质的概念，用经典数学的普通集合是难以刻划的。扎德创建的模糊数学用“隶属度和“模糊集合胜利地处置了这类问题的描画，使得人们对现实世界的认识又跃上了一个新的台阶。 模糊集合与隶属函数 在经典数学里，集合是指具有某种特定属性的事物的全体。它有明确的内涵和外延。对于某一集合A，元素x要么属于A，要么不属于A，二者必居其一。这是普通集合的共同特征。这一特征可用下述函数来描画： CA(x)称为集合A的特征函数。 对于界限不明晰的模糊景象是很难用上述非此即彼的方法来确定元素对于一个集合的

18、归属的。比如“美人这一集合，一个人长得很美，自然应该属于“美人集合，一个人长得很丑，自然不应该属于“美人集合。但是一个人长得不美也不丑，或者是七分美三分丑，或者是三分美七分丑，又该如何确定他的归属呢？模糊数学的处置方法是将普通集合的特征函数的取值范围由0和1两个点扩展到0，1整个区间，并改称为隶属函数。记为A(x)，0A(x)1。这样，对于一个七分美三分丑的人，我们就可以记他属于“美人集合的隶属度A(x)=0.7，表示他有七成属于“美人集合。象这样将元素与其隶属度相对应的集合，就称为模糊集合，由于该集合没有明确的边境。该集合含有无明确归属的元素，即其隶属度不是“非0即1。 下面给出模糊集合和隶

19、属函数的定义： 定义 用X表示所讨论的某类对象的集合，称之为论域，由映射 A：X0，1 x A(x)， 所刻划的集合称为论域X上的一个模糊子集A，A(x)称为定义在X上的隶属函数，对于给定的xX，A(x)的取值称为x对于模糊集合A的隶属度。 由上述定义可以看出,模糊集合实践是经过隶属函数来定义的。所以常用下述方法表示有限论域X =x1，x2，xn上的模糊集合A： 这里的“+号称为扎德符号，表示模糊集合的元素相并列，没有相加的含义。分数线“也并非相除，而是表示元素xi与其隶属度A(xi)的对应关系。12.7.1式也称为扎德记法。 有时为了简单起见，也记成 A=A(x1)，A(x2)，A(xn)，

20、称之为向量记法。 A(x1)，A(x2)，A(xn)也称为模糊向量。 隶属函数确实定 利用模糊集合来处置处理实践问题，首先要找出论域上的隶属函数。实际中隶属函数确实定方法很多，没有一致方式，允许有一定程度的客观判别。下面简单引见四种方法： 实践调查法：先请假设干名专家或相关实践任务者对所讨论的论域中的元素分别给出隶属函数值，然后取其平均值或中位数做为该元素的隶属度。 模糊统计法：对论域X上的任何元素xi，思索它属于模糊集合A的能够性。例如，讨论人的高矮，先确定模糊集合A是“高个子，然后思索某人a属于高个子模糊集合A的能够性，为得到量化的数据，可以约请一些人评判a能否为高个子，由于人们对高个子的

21、边境不一样，有人会以为是，有人会以为不是，只需参与评判的总人数n或实验次数充分大，那么可得 A(a) 隶属函数法：即给隶属函数构造适当的数学表达式，其定义域为论域X，值域为0，1。比如对“年轻这一模糊集合，可构造隶属函数 1， 当 x25岁 A(x)= (60-x)/35，当 25岁x60岁 0， 当 x60岁 对比平均法：对论域X中的元素，先按某种模糊特性两两比较，排定比较程度的分值，然后按一定规那么转换为总体排序的分值，该分值即可做为相应元素的隶属度。详见下例： 例 设论域X =牡丹x1，菊花x2，兰花x3，要确定这些花 对“美这一模糊集合的隶属度。 解：用g(xi,xj)表示xi与xj相

22、比其美的程度，0g(xi,xj)1。假设经仔细品评，给定 g(x1,x2)=0.8，g(x2,x1)=0.7，g(x1,x3)=0.9，g(x3,x1)=0.5，g(x2,x3)=0.8，g(x3,x2)=0.4，那么两两对比后可得美丽程度矩阵 : x1 x2 x3在没有偏好的情况下，可赋予一样权数：(x1)=(x2)=(x3)=1/3， 于是，牡丹对“美的隶属度A(x1)=(x1)g(x1,x1)+(x2)g(x1,x2) +(x3)g(x1,x3)=1/31+1/30.8+1/30.9=0.90 菊花对“美的隶属度A(x2)=(x1)g(x2,x1)+(x2)g(x2,x2) +(x3)g

23、(x2,x3)=1/30.7+1/31+1/30.8=0.83 兰花对“美的隶属度A(x3)=(x1)g(x3,x1)+(x2)g(x3,x2)+(x3)g(x3,x3)=1/30.5+1/30.4+1/31=0.63由此可得论域X上的“美的模糊集合 假设评价者对牡丹、菊花、兰花偏好不一，对菊花情有独钟，给出的权数是 (x1)=0.1，(x2)=0.8，(x3)=0.1， 那么，牡丹对“美的隶属度 A(x1)=0.11+0.80.8+0.10.9=0.83 菊花对“美的隶属度 A(x2)=0.10.7+0.81+0.10.8=0.95 兰花对“美的隶属度 A(x3) =0.10.5+0.80.

24、4+0.11=0.47于是论域X上的“美的模糊集合 模糊矩阵的合成运算 以同 维的模糊向量为行组成的矩阵，称为模糊矩阵。在模糊决策中会用到模糊矩阵的合成运算，因此，我们先引见一下模糊矩阵的合成运算法那么。 设模糊矩阵A=(aij)mt，B=(bij)tn，模糊矩阵A与B的合成运算记为 C=AB运算结果C仍为模糊矩阵，且C=(cij)mn 其中cij=(ai1b1j)(ai2b2j)(aitbtj)，i=1,2,，m；j=1，2，n 式中“为取小运算，如 (ai1b1j)=min(ai1,b1j)；“为取大运算，即max。将cij的运算式与普通矩阵的乘法比较，可以看出，它的运算法那么实践只是把普

25、通矩阵相乘时所做的“和“+运算分别改成了“和“运算。 例 设模糊矩阵 ， ， 求QR 解 二、模糊决策法的步骤及运用 模糊决策法分为两大步，第一大步是对每个方案单独做模糊综合评判，第二大步是利用第一大步模糊综合评判的结果，用适当的方法经过比选，确定优先方案。 我们先引见第一大步：一方案模糊综合评判的根本方法和步骤。 确定模糊综合评判的要素集U 要素集是以影响评判对象的各种要素为元素所组成的一个普通集合。通常表示为 U=u1，u2，um其中对各元素ui(i=1,2,，m)的评价通常都具有不同程度的模糊性。在多目的模糊决策问题中，U即为目的集合。 建立综合评判的评语集V 评价集是评判者对评判对象能

26、够作出的各种评价言语所组成的集合。通常表示为 V=v1，v2，vn其中元素vi(i=1,2,，n)代表能够的第i种评语。 进展单要素模糊评判，求得单要素模糊评判矩阵R 单独从要素集中的一个要素出发进展评判，以确定评判对象对评语集各元素的隶属程度，称为单要素模糊评判。 设评判对象按要素集U中第i个要素ui进展评判，对评语集V中第j个评语vj的隶属度为rij，那么按ui评判的结果，可用下面的模糊集合表示：Ri称为单要素评判集，显然它应是评语集V上的一个模糊子集。也可简单表示为模糊评判向量 Ri=(ri1,ri2,，rin), i=1,2,，m 令称R为单要素模糊评判矩阵。 建立综合评判模型，进展综

27、合评判 从前述单要素模糊评判矩阵R可以看出：R的第i行所反映的是第i个要素评价目的ui对评判对象的影响取各个评语元素的程度；而R的第j列所反映的是一切各要素评价目的影响评判对象取第j个评语元素的程度。因此，可用每列元素之和:Rj= ,(j=1,2,，n)来反映一切要素的综合影响。但思索各 要素评价目的对综合评判的重要程度不同，我们给各要素以不同的权数i(i=1,2,，m)，其中i表示第i个要素ui在综合评判中的重要程度。于是建立综合评判模型： B=WR其中 W=(1,2,，m)为一模糊向量。 设按模糊矩阵的合成运算法那么算得B=(b1,b2,，bn)，B称为模糊综合评判结果集。bj(j=1,2

28、,，n)表示综合思索一切要素的影响时，评判对象对评语集中第j个评语元素的隶属度，显然，模糊综合评判结果集B也是评语集V上的一个模糊子集。 第二大步：用适当方法确定优先方案。 对每一方案均按前述步骤，求得各自的模糊综合评判结果集B，然后按下述方法之一，挑选优先方案。 模糊向量单值化法 给各评语元素vi赋值，比如“很好取为5，“好取为4，“普通取为3，“不好取为1。然后把bj当作权数，计算各评语元素的加权平均值，即： 比较各方案的 隶属度对比系数法 假设对某一方案得到如下的B：等级评语优良可差劣隶属度B0.40.60.80.50.2用构造相对数计算隶属度对比系数这里是优良度： 构造优良度也可用比例相对数计算隶属度对比系数： 比例优良度 这两个优良度在实践运用时可任选其一，比较每个方案的优良度，以其大者为优先方案。 期望值法 将评判结果B作归一化处置，然后将bj视为处于形状vj的概率，结合