2012年高考真题汇编——理科数学(解析版)14：推理与证明-(1560)

1、.2012高考真题分类汇编：推理与证明观【 2012高考真题江西理6】察下列各式：ab1, a2b23, a3b34, a4b47, a5b511,则 a10b1028【答案】 C76C 123D 199【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。【 解 析 】 等 式 右 面 的 数 构 成 一 个 数 列1,3,4,7,11， 数 列 的 前 两 项 相加 后 面 的 项 ， 即n 2anan1a，所以可推出a10123 ，选 C.【 2012 高考真题全国卷理12】正方形ABCD的边长为71，点 E 在边 AB 上，点F 在边 BC 上，AE BF.动点 P 从 E

2、出发沿直线喜爱那个F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反3弹时反射等于入射角，当点P 第一次碰到E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为（A） 16（ B） 14（ C） 12(D)10【答案】 B【解析】结合已知中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可 .【 2012 高考真题10】我国古代数学名著九章算术中湖北理“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V ，求其直径d 的一个近似公式d3 16 V . 人们还用过一些类似

3、的近.根似公式据9=3.141 59判断，下列近似公式中最精确的一个是113 16VB.dd323300VVCdD d321V【答案】D【解析】9157114d 33 6V，设选项中常数a6b69由V()得d,为, 则 =；A中代入得 =b=3.37，5.32a16中代入B得=6 1=3，C 中代入得 =6 15=73.14,D 中代入得=611=3.142857，2由于 D 中值最接近 的真实值，故选择D 。【 2012 高考真题30021陕西理11】 观察下列不等式1312221151，22333111712232424?第 - 1页 共-6页.照此规律，第五个不等式为.【答案】11111

4、111.2232425262【解析】通过观察易知第五个不等式为611111111.223242526265.【 2012 高考真题湖南理16】设 N=2 n（ n N * ， n 2），将 N 个数 x1,x 2, ?，xN 依次放入编号为1,2 ，?，N 的 N 个位置， 得到排列P0=x1x2?xN. 将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后 N 个位置，得到P1=x1x3?xN-1x2x4?N 排列xN ，将此操作称为 C 变换，将P 分成两段，每段122N个数，并对每段作2C 变换，得到p2 ；当 2 i n-2 时，将 Pi 分成 2iN段，每段 2i

5、个数，并对每段C 变换，得到 Pi+1 ，例如，当 N=8时， P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，x此时位置 P.中的第4 个72（1）当 N=16 时， x7 位于 P2 中的第 个位置；（2）当 N=2 n（ n 8）时， x173 位于 P4 中的第 个位置 .【答案】（ 1） 6；（ 2） 32n411【解析】（1）当N=16时 ,P0 x1x2 x3 x4 x5 x6x16 , 可设为 (1,2,3,4,5,6,16) ,6xx15 x2 x4P1x1 x3 x5 x7x, 即为 (1,3,5,7,9, 2,4,6,8,16) ,16x1x5 x9 x13 x3 x7Px11x

6、15 x2 x6,15,2,6,16) ,x7位于 P2 中的第2位置 , ；x16 , 即 (1,5,9,13,3,7,116 个（ 2）方法同（1） , 归纳推理知 x1位于 P 中的7第 334n411 个位2置 .【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.62012 高考真题湖北理13】回文数是指从左到右读与从右到左如 22，【. 读都一样的正整数 3443，94249等显然 2 位回文数有121，?， 191， 202， ?，999则（） 4 位回文数121，9 个： 11，22， 33，?，

7、99 3 位回文数有90个： 101， 111，有个；（）2n1( n【答案】N ) 位回文数有个990，10 n【解析】（） 4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有 9（19）种情况，第二位有10（ 09 ）种情况，所以答案： 904 位回文数有91090种。（）法一、由上面多组数据研究发现，2n+1 位回文数和2n+2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n+2 位回文数的个数。2n+2 位回文数只用看前n+1 位的排列情况，第一位不能第 - 2 -页 共 6 页.为 0 有 9 种情况， 后面n 项每项有10种情况，所以个数为910n .法二、可以2 位

8、数9 个回文数，3 位看出有数 90个回文数。计算四位数的回文数是可以看出在2 位数的中间“ 00,11,22?,?99”，因此四位数 90添加成对的的回文数有个十,而当奇数位时，可以看成在偶数位的按此规律推导最中间添加09这,则答案个数，因此为 910 n .【 2012 高考真题北京理20】（本小题共13 分）【答案】解：（1）由题意可知r1AkA0.71.2 ，r2A1.2 ，c1 A1.1， c2A0.7 ， c3A1.8（2）先用反证法证明kA 1 ： 若kA1则 | c 1A| | a1|a11 ， a0同理可知b0 ， ab0由题目所有数 和为0即 abc1 c1ab1与题目条件

9、矛盾kA 1 易知当 ab 0 时， kA1 存在 kA的最大值为 1（ 3） kA 的最大值为 2t1.t2首先构造满足k( A)2t1 的 At2 ai ,j ( i1,2, j1,2,.,2 t1)：a1,1a1,2. a1,t1,a1,t1a1,t2.a1,2 t1t1 ，t2第 - 3 -页 共 6 页.aa.at 2t1,aa 2,.a1 .2,2 t2,12,2tt(t2)2, t 12,t 21经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且2| r 1( A) | | r( A) |2t1 ，t2| c 1 ( A) |c 2 ( A)t2t1t12t1|.|

10、c t ( A) |1t (t1，2)t2t2|1 ( A) | | ct 2 ( A)ct|.| c 2t 1( A) | 1t12t1.表 At2t2下 面 证 明2t1t22t1是 最 大值 .若 不 然 ， 则 存 在 一 个 数S(2,2 t1) ， 使得k (A)x. t2由 k( A) 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1 的数的和，其绝对值不超过2，故 A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间 x, 2 中 . 由1于 x，故 A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同， 且绝对值均不小于x1.设 A 中有 g 列的列和为正，有 h 列的列和为负

11、，由对称性不妨设gh ，则gt, ht1.另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑 A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t1 个负数， 每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1（即每x个1负数均不超过| r 1( A) r1x ）.因此|( A)t 1(t1)(1 x)2t1 (t1)xx2t1(t2) xx ，A 的最大值为故 A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾.12t因此 k。t2.【 2012 高考真题湖北理】（本小分且 0r1 . 求 f (x) 的题满分14）（）已知函数f (x)rxxr(

12、1 r ) (x0) ，其中 r 为有理数，最小值；（）试用（）的结果证明如下命题：bbb设 a10,， b1 , b2 为正有理，则a20 数 . 若 b121a1 1a22a1b1a2b2 ；（）请将（）中的命题推广到一般形式，并用数学归(x纳法证明你所推广的命题.注：当为正有理数时，有求导公式)x 1 .【答案】（）f ( x)r1r1rrxr (1x) ，令f ( x)，解得0 x1.第 - 4 -页 共 6 页.时，f当( x)0 x10 ，所以f (x) 在 (0, 1) 内是减函数；f当 x1时，(x)0 ，所以f ( x)在 (1,1f) 内是增函数 .故函数f (x)在 x处

13、取得最小值(1)0 .r（）由（） 知，当x(0,) 时，有f( x)立；bb a2f (1)0 ，即 x rx(1r )若，a1a2a中有一个为0，则2a11a1b1 a2b2成2若a1均不0，为又bb1得12，可b1b21，于是在中令xa1 ， rb1 ，可得( a1 )b1b1 a1(1b1) ，a2a2a2b1b a1ba2即1bba1 b1 )，亦即a2b2a1a2 1 1(1a11 a22b1.综上，bb10, a2 012b2b11b1b2对121 1 22为正有理， ，数且，总有a aa ba b .（）（）中命题的推广形式为：设 a1,a2 , an 为非负实数，b1 , b

14、2 , bn 为正有理数 .bbbbbn21若b11a1，则 a22anna2a1b1b2anbn .用数学归纳法证明如下：（1）当n1 时， b11，有a1a1 ，成立 .（2）假设当nk 时，成立，即若a1 , a2, ak 为非负实数，,b1 , b2 , bk 为正有理数，bkbbb且b1，则 1 a2a ka ba bab.b12a12k1122kk当 n k1 时，已 a1, a2 , , ak , ak 1 为非负实b1 ,b2 ,bk , bk 1 为正有理.是知数，数，且b1b2bk1，此时k1bk 1，即1bk 10 ，于bbbbbb bbbb1b2k1a1 aaak(a1

15、a)11 b 1 b1b1 bb122kk k 11 a22k kakk1= (a1a kk 12 1akk1 )k 1 akk.11b1b2因1bk11bk 1b1b2bkbk1 bk11 ，由归纳假设可得ak1bk1 b1 bb1b2bka1b1a2 b2bka1a2ak，aakka1111bk 11bk 11bk 11bk 112kabab1 bk1ababk 1 .从而 a b1 a b21 122kkk11 bk111akbk12akbk又因 (1bk1 )bk11 ，由得第 - 5 -页 共 6 页.a1b1a2 b2 bkak bk1bk 1akbk 11a1b1a2b2ak(1bk 1 )ak 1bkbk1111bk1a1b1a2 b2akbkak 1bk 1 ，b bbbk11k ak 1a从 而 1 a 2aba babab.a12k122kkk 1k 1k故当1 时，成n立 .由（ 1）（ 2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.说明：（）中如果推广形式中指出 式对 n2 成立，则后续证明中不需讨论n1 的情况 .【 2012 高考真题福建理17】13（本小题满分分）某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.（1） sin 213 +cos2 17