弹簧双摆系统 自动控制原理实验设计

1、目 录1系统介绍2单级倒立摆的数学模型3系统稳定性分析4分析相角裕度和截止频率5系统阶跃响应6系统仿真7总结与体会参考文献摘要弹簧双摆系统是一个典型系统，作为控制系统的被控对象，通过以弹 簧双摆为被控对象，来掌握控制系统的数学模型的建立方法和及控制系统 的调试方法，掌握MATLAB仿真软件的使用方法。本次课程设计包含如下几个内容：研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置 的线性数学模型一传递函数（以u为输入，为输出）；用画根轨迹方法对系统进行稳定性分析，用BODE图求出系统的相角裕 度和截止频率.用Matlab求系统阶跃响应.图1弹簧双摆系统示意图1系统介绍图所示为双摆系

2、 统，双摆悬挂在无 摩擦的悬轴上。并 用弹簧把他们的中 点连在一起。假定: 摆的质量为M，摆 杆长度为1,摆杆质 量不计，弹簧置于摆杆的1/2处，其弹性系数为k,摆的角度位移很小，sinB,cos 。，均可进行线性近似处理，当61=62时，位于杆中间的弹簧无变形，且外力输入 f(t)只作用于左侧的杆。a=g/1+k/4M,b=k/4M系统组成的框图如图2所示。施加外力k运动状态角位移图2单级倒立摆系统组成框图2弹簧双摆的数学模型弹簧所受到的压力为F=k*2/l(sin91-sin92)左边摆杆的受力方程为F(t)*2/l*cosB1-F*2/l*cosB1-MglsinB1二Ml兰左右摆杆的受

3、力方程为F 二：COSe -FCOSe -Mglsine =m 二因二与二很小，顾近似有，sine =tcose =1sin6-=e 一cos：_=1将F=k*2/1(si0 _-sinW代入左右摆杆的受力方程，并对受力方程做线性化处理， 得到两个方程，二二1/2Ml*f(t)-g/l+k/4M)三 +k/4Mz:i-.；=k/4M _-(g/l+k/4M)二将a=g/l+k/4M,b=k/4M代入以上两个方程，并令二三.，=二妥二-a：=-安：(t)+be_+1/2Mlf(t)m=e： =be_(t)-a(t)则传递函数为：H(s)k 山 F(s)ZML 0，+寸-尸3系统稳定性分析,用如下

4、程序将传递函数在MATLAB中表示出来:代入参数，a=1.25,b=0.25,M=1,L=1num=1, 0, 1.25den=2, 0, 5, 0, 3sys=tf(num,den)用MATLAB显示为：Transfer funct ion: 32 + 1. 253/4 + 5 s2 + 3用如下程序将传递函数的根轨迹图在MATLAB中表示出来:num=1, 0, 1.25den=2,0,5,0,3rlocus(num,den)用MATLAB做出的根轨迹如图3所示File Edi t Vi ew Iileer t Tools Desktop Wiridow Help芽口鲁fe致纹即 耍 Q

5、S 蚤 As.=顷 0E-Rod Locus图 3校 正-刖 系 统 根 轨 迹4分析相角裕度和截止频率利用下列程序MATLAB中画出BODE图，并算出相角裕度和截止频率:num=1,0,1.25den=2,0,5,0,4sys=tf(num,den)mag,phase,w=bode(num,den)gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)margin(sys)用MATLAB做出BODE图如图4所示：X|File Edi t Vi ew Inser+ Tools DeEktop Window Help口渗 9 鲁 fe Q C fl 口(PJlllp_l 七C5BMS

6、IIIPJ -JlyJBLICLBode CiaramGm = Inf dE (at Inf rad/sec, Pm = O ceg (at 1.C7 rad/sec)10Frecuency (rad/sec1C-1C图4校正前系统BODE图gm = Inf ,pm = Inf, wcg = NaN ,wcp = NaN其中gm为幅值裕度，pm为相角裕度,wcg为相角交界频率,wcp为截止频率.所画的BODE图没有穿过频率轴，使的没有截止频率和相角裕度.5系统阶跃响应利用如下程序在MATLAB中对系统绘制单位阶跃响应:num=2den=-1,0,17step(num,den)系统单位阶跃响应如

7、图5所示：F i g?ore-Ini x|File EditVi ew Insert ToolsIiesktop Window Help歹9a te瓯纹的植n 口现口 图5系统单位阶跃响应因为系统为不稳定系统，所以当它时间趋于无穷时，它的幅值并不趋于输入信号，即不会 趋近于1.、6系统仿真在MATLAB命令窗口中输入SIMULINK,然后点FileNewModel,在SOURCE中选择STEP 模块，在SINKS中选择SCOP模块，在CONTINUOUS中选择传递函数,双击更改极点和零点，用直 线将模块连接后，点击START,双击示波器，即可看到仿真图形.系统MATLAB仿真图形如图6所示；图6系统MATLAB仿真图形7总结与体会通过此次实验学习到很多关于弹簧双摆系统和自动控制设计原理和Matlab的应 用的相关知识。对这门课程有个一个全新的认识。对今后的学习生活有很大帮 助。参考文献自动控制原理，胡寿松，科学出版社,2007-7自动控制原理的MATLAB实现，黄忠霖，国防工业出版社,2007-2自动控制原理与设计，关)富兰克林(Franklin