电大《高等数学基础》考试复习资料

1、f2h)-f(1) = (D).D.下列等式中正确的是(B ) . B.d(1)=xdx). D.ddxJx2 f (x3 4)dx =(B.f (Vx)dx = ( B ).B.x 0的间断点x 0一、单项选择题1-1下列各函数对中，(C)中的两个函数相等.C.f(x)=lnX3,g(x)=3lnx1-2.设函数f(X)的定义域为(3，贝函数f(x)+f(x)的图形关于(C)对称.C_y轴设函数f(x)的定义域为(-0o,十无),贝 - e3-1.曲线 f(x) = Jx+1 在(1,2)处的切线斜率是1/2.曲线 f(x) = Jx + 2 在(2,2)处的切线斜率是1/4.曲线f (x)

2、= ex +1在(0, 2)处的切线斜率是1.3.曲线f (x) = x+1在(1,2)处的切线斜率是3.3-2曲线f(x) = sinx在(,1)处的切J函数f(x)-f(-x)的图形关于(D)对称.D.坐标原点_xxe-e.函数y=e-的图形关于2(A)对称.(A)坐标原点1-3.下列函数中为奇函数是(B).B.y=xcosx下列函数中为奇函数是(A).A.3y=x-x下列函数中为偶函数的是(D).D2y=ln(1x)2-1下列极限存计算不正确的是 TOC o 1-5 h z _1-(D).D.limxsin=0 xx2-2当xT0时，变量(C)是无-I1为小重.C.xsinx当xT0时，

3、变量(C)是无穷小量.cex-1.当xT0时，变量(D)是无穷小量.dln(x1)下列变量中，是无穷小量的为(B)Bln(x+1/xt0)3-1设f(x)在点x=1处可导，则-2f设f(x)在x0可导，则f(x。-2h)-f(x。)h)D-2f(Xo)设f(x)在x0可导，则f(xo-2h)-f(xo)4-1函数f(x)=x2+4x1的单调增加区间是(D).D.(_2,+=o)函数y=x线方程是 y= 1.切线斜率是_0曲线y = sinx在点(0,0)处的切线方程为 y=x切线斜率是14x-5(-6,6)内满足(A).A.先单调下降再单调上升2.函数y=x-x6在区间(一5,5)内满足(A)

4、A先单调下降再单调上升2.函数y=x22x+6在区间(2,5)内满足(D).D.单调上升15-1若f(x)的一个原函数是一，则x2f(x)=(D).D.x.若F(x)是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是(A)。xAf(x)dx=F(x)-F(a)a5-2若f(x)=cosx，则Jf(x)dx=(B).B.cosx+c下列等式成立的是(D-d-f(x)dx=f(x)dx23xf(x)Jxf(x2)dx=(dxxf(x2)dx5.-3若Jf(x)dx=F(x)+c2F(.x)c补充：e*f(e*)dx=一F(e二)+c,无穷积分收敛“二1,“的是22dx函数1xf(x)=10 x10R的图形

5、关于y轴对称。二、填空题1.函数2-Qf(x)=+ln(1+x)的义x-3域是(3,+8).函数y=+44x的定ln(x-2)义域是(2,3)U(3,4函数f(x)=ln(x5)的定义域是(一5,2)x+1若函数f(x)=2hd. -f(%)设 f (x) = ex,则加f-f=(A) 0-xe3-2.下列等式不成立的是.1、(D). d. ln xdx =d(一) x函数y =的间断点是x=0yxvj、2x,则f(0)=12若函数f(x)=(1+x)，x:3x-4x5(0807考题)tan8xlimx0sin4xtan8xlimx0sin4x.(x-1)=1(-1-1)=-2(0801考题.

6、sinx-1x2一1解:sinxlimxw2x2xlimx3x计算解:tan8xxsin4x.x)计算sxlimx2-1x1sin(x-1)(x-1).sinx1lim1=1limx02x=2x0sinxx2-4x3sinx-3)2_x-4x3sin(x-3)解:(x+1)(070#考题.2x2-2x-3.lim(x-3)(x-1)x)3sin(x-3)3:因式分解并消去零因子，再计算极x2-6x8alim2解:x汹x-5x42x2-6x8_x2-5x4”)(x-2)=lim：(x-4)(x-1)x4limx;-3x-2x-13x3x-43-311mo“x2-4x2-3x2lim2x2x-4其

7、他:lxiO.1x2-1sirxx3x-2=lim-1)x2(x-2)(x2)12x=lim2=0，x0sinx.sinx.sinlimlim2x0 x11x)012x2x6x5lim-二x；：x2-4x-5limsin(x1)(x1).(x-3)=l国晨型2+1)=1(_1-3)=-4(二)求函数的导数和微分(1小题，11分)(D利用导数的四则运算法则(u_v);u_v(uv);uvuv(2)利用导数基本公式和复合函数求导公式(lnx)aa(x)=ax(ex)uu(e)=e.u11mjxZsjn5):cosxx=3x47、(cosx)=-sinx(tanx)=sec2x(cotx)=-csc

8、2x于也鱼(x2)=2xex2sinx=ecosx/cosx、*cosx/、*cosx.(e)=e.(cosx)=-esinx(sinu)=cosu.u(sinx2);cosx2.(x2)xx/x、.(sine)=cose.(e)2=2xcosxxx=ecose(cosu)=-sinu.u(cosx2)=-sinx2(x2)=-2xsinx2xxxx(cose)=-sine.(e)=-esinesinx2.：y=(e)(sinx)=esinx类型1：p口减法与乘法混合运算的求导，先加减求、，后乘法求导；括号求导最后计算0801.设y=解：2xxe，求ydx2cosx2xcosx0801.计算解

9、:1-1y=(xx3)ex解：y=222y=(x)exx(ex)=ex2x22xeexdxx=2e,dx=2e，cf3x2、rrsinx2q0707.设y=e-x，求y+3ex+x2+3ex)解：sinx2-y=e.(sinx)_(x)凑微分类型3:1广一dx=dlnx,xsinx=cosxe2X*dx=rd(a+Inx)3一m,=-x2e+x2+3e32=-x2必1-2y解:3、+x2+3ex=cotxx2Inxy二(cotx)(x2Inx);2-cscx1-3设y=extanxlnx,求y.解：x0701.设y=lnx+cose，求y解：Vv.1y=(lnx)-sine.(e)=一xx,1

10、计算dxxlnx一x一一一x-esinexlnx1dx=dlnxlnx解:1=一du=ln|lnx|u（三）积分计算：（2小题，共22分）凑微分类型1:e2lnx,dx解:(xpmxpx2(Inx)=Sc2x+2xlnx+xxd(一)fx1cos-e2lnxdx1xe(2lnx)d(2lnx)y=(extanx)-(lnx)=(ex)tanxex类型2:J口减法与复合函数混合运算的求导，先加减求导，后复合求导(fanx)-1cos-x2xPdextanxfexsec2x12=-(2+lnx)e512125定积分计算题，分部积分法dx-cos-d(-)xx1类型1：-sin-+c22-1y=si

11、nx+lnx,求y解:y二(sinx2)(lnx):2xcosx21x0707.计算sinlxdx,解:xxalnxdx=lflnxd产a11xa1ln1a1x22-2y=cogg-sinx,求y解：sin1e计算1xlnxdx解:x2xXi-y=(cose)一(sinx)=-sine.(e)一11dx=-sind()=cosxcosxlnxdx2-3y=ln5x+ex,求y解：0701计算.(x2)=1exferdx.x-xxxxxsine-2xcosx1=一lnxdx2ln解:exlnxdx=11e,lnxdx212-lnxy=(ln5x).(ex)二5ln4x_5exx1exwdxx1=

12、l,ied(-)1=-exce；lnxdx=(xlnx-x)类型3:乘积与复合函数混合运算的求导,先乘积求导，后复合求导y=excosx，求y。解：V2.Y2.y2y=(e)cosxe(cosx)=2xexx凑微分类型2:!-1-dx=2.dxx计算elnx其他：y=2xcosx，求y。x解:xcosxxy=(2)-()=2ln22xln2xxsinxcosxsinx0807.设y=e解：2x+sinx2,求ycosx-eoln解:x2dxcos_xdx=2jcosJxd,x=2sin*G+cx(cosx).x-cosx.(x):二08x7.计算Jdx解:sinx、xe1=(e-e)-(dx解

13、：a=-21lnxd(尸x1dx=一lnxd()1lnx-x1cx(-1ne)1计算j竽dx解:1a=一一，2dx=2sin、xdx-2cos.xx=2.lnxdx=2、xlnx-4-xe2xdcosx=(xcosx十sinx)5=1S0&0”,此时,2冗e21lnxd,x=(2,xlnx-4x)兀2-2.excosxdx=h-2卡。由实际问题可知，当底半径ji0807e一,xlnxdx=f2xdsinx=(xsinx+cosx)200兀与高h=2r时可使用料最2222143e2一lnxdx=(x2lnx-x2)=e32解：曲线y =2x上的点到点A (2, 0)的距离之平方为222L =(x

14、 -2)2 y2 =(x-2)2 2x令 L，= 2(x -2) +2 =0 ,得2x =1,由此 y = 2x = 2,y - - 2即曲线y2 =2x上的点(1, J2) 和(1, 一 J2)到点A (2, 0)的距离最 短。2 .08074 求曲线y=x上的点，使其到点 A (0, 2)的距离最短。39190707Le2,1e,31ixx2xsin2xdx=34.2x3n2xdx=91八，1.八-xcos2x+-cos2xd省。一体积*V的圆柱体，问底半径与高各为多空时1x物!2x41船2字鹘c解法和结果与22-1完全相同。4生产一种体积为V的无盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时

15、用料最省？解：设容器的底半径为r,高为h,则Z13,=(xlnx3类型2313、x)ax1ax、1axxedx=xd(e)=xeaa1xedx1.2xxde01ax2x2e0ca2xdcos2x=(-1xcos2x1sin无盖圆柱形容器表面积为ji2Ttr0*2,Ttrh42Ttr2V十r1(xe22x2x)1xedxxde-xX二(-xe-e-x-2eJ1_2xxedx10 xde-2x=(xe22x3-e4c.1.cVcos2xdx=-xsin2x|22(0801考题)1xeXdx-010 xdex=(xex类型3:xsinaxdx=-1xcosaxa2V2r0,1CO.2sin2xdx=

16、-cos2x|(2=,一一04得r=3；V是r四、应用题(1题，16分)类型1:圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l,问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满222足hr=l圆柱体的体积公式为222V=nr2h=兀(l2h2)h求导并令22V=*3h)=03l,并由此解出37t由实际问题可知，当底半径r与高h=r时可使用料最省。2-2欲做一个底为正方形，容积为即当底半径时，圆柱体的体积最大.类型2:已知体积或容积，求表面积最小时的尺寸。2-1(0801考题)某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底件解：设容器的底半径为ar,高为h,1则

17、其i2V谷积V=二.r.h,h=2rT.1.1,.1击由的方1,fxcosaxdx=-xsinaxJsinaxdx=xsnW9一2cosax+caaa_a_2VS=2.2.2Ttrh=2.r2一r2V32(0707考题)设底边的边长为x,高为h,2h=V=32,米的长方体开口容器，怎样做法用料最省?解：料为y,由已知V-2,x表面积y=x24xh令y=2x24Vx+，x4Vn二=0,得x3x=2V=64,Vx=4,h=2=2x由实际问题可知，小值点，所以当x=省。此时x=4是函数的极4,h=2时用料最欲做一个底为正方形，容积为62.5号方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解:V=62.5类

18、型3本题的解法与2-2同，只需把代入即可。求求曲线y2=kx上的点，使其到点A(a,0)的距离最短.曲线y2=kx上的点到点A(a,0)的距离平方为222,L=(x-a)y=(x-a)kx=2(x_a)+k=0,2x=2a-k23-1在抛物线y=4x上求一点，使其与x轴上的点A(3,0)的距离最短.解：设所求点P(x,y),则满足y*解：曲线y =x上的点到点 A (0, 2)的距离公式为d 二 s,x2 (y -2)2 ；y (y -2)2-2 .一 .一 一,一d与d在同一点取到最大值，为计算方便求d2的最大值点，d2 =y (y-2)2(d2) =1 2(y -2) =2y -3“2 .一3令(d ) =0得y=,并由一 6此解出x = ,2即曲线y=x2上的点.6 3 6 3()和点(-)到点A (0,2 22 22