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文档简介
1、题目 0072 Superturn(超级翻转)题目来源:New者:一、英文原文二、中文翻译超级翻转有一个 N*N 的网格,每一“格”上有一个可以翻转的方块,方块的两面分别黑、白两种颜色。另外,有一个沿着网格线活动的东西不妨称之为“动子”。初始时,每个方块随机地被翻成黑或白色,“动子”停在网格线的某个顶点上。例如如图一就是一个 4*4的网格的一种可能的开局情况。动子在网格线上运动时,从一个顶点 A 到相邻的另一个顶点 B 之后,以网格线 AB 为边的两个或一个网格上的方块就会翻转白变黑,黑变白。例如图一的“动子”向右移动一步之后变成图二,向下移动一步之后变成图三。问题是:给定一个初始状态和一个目
2、标状态,求“动子”的一种运动轨迹,可以把初始状态翻转成目标状态,最后“动子”停在哪里是无所谓的。三、初步情况搜索吧。求可行解怎么使用解模方程组的方法,我只尝试用搜索解决,在小数据的情况应该没有问题,但是璟求可行解时怎么用解方程组的方法解决呢?没想到有效算法,不过也以通过解方程来进行初始化。可行解似乎可以通过解方程+构造但最优解不会虽然可以用设未知数解方程的方式,求出每一条边应经过次数的奇偶性。但是要使这些连续,有得是最少,确实不容易。目前的想法:可以先考虑解方程,若方程无解,则问题无解,也可能有多组解,检验一组解的方法:如果度为奇数的点的个数小于等于 2 且为 2 时起点的度为奇数,则该组解能
3、构成路径。于是分度为奇数的点的个数为 0 和 2 的情况:为 0 时,加上一些方程;为 2 时只要枚举终点,并令此点度数为奇数,解方程即可。最优解算法正在研究之中。最优解没什么办法。可行解倒是可以。给每条边设一个未知数,取 0 或者 1,表示经过或者不经过。枚举终点和起点。然后列一些同余方程:1、 可以确定每个格子周围 4 条边的和的奇偶性。2、 除起点和终点外每个点相连的 4 条边(或 3 条边)的和为偶数。3、 起点终点相连的 4 条边(或 3 条边)的和为奇数。即可。看似正确的做法:枚举终点(假设它和起点不同),对于每条(有向的)边 i,设它的经过次数为 Xi,这样就需要满足每个顶点出去
4、的边和进入的边总数相等,特例是起点出度比入度大一,终点入度比出度大一。这样可以列出方程,就可以把方案解出来。但是实际上这样没有办法保证这个图是连通的。不知怎样改进?如果终点和起点相同,也有类似的麻烦。可以先通过解模线性方程组求得“动子”经过每条网格边次数的奇偶性,而后通过 bfs求出最短路径。但 bfs 的效率到底如何好像很难确定。解模线性方程组,每条边是一个未知数,对于每个格子可以列出一个方程,而且还有隐含的条件,就是题目要求移动出一条路来,这样的话,与每个点(除顶点和终点外)相连的被选的边只能是偶数条,而起点终点则必须是奇数条,只是所选的边可以形成一条路的必要充分条件,那这样就可以对每个点
5、都可列出一个方程了。解出模线性方程组就可以找到一组可行解了,但是最优解好像要枚举所有的解。此题的时间复杂度为 O(B4),(B 为边数)但多数情况下达不到。能够用如下算法构造出可行解,但并不知如何求最优解。解奇偶方程组:1.已知了起点,枚举一个终点;2.设每条边经过的次数依次为 ai(一共有 2N(N+1)条边),则可以根据点的度数(除了起点、终点的任意点 i, i 的度数为偶数)列出 (N+1)22 个奇偶方程(若干未知数之和的为奇或为偶的方程)根据每个格子的初状态和末状态类似的列出 N 2(初末状态相同则相邻 4 边之和为偶,否则为奇),一共有 2N 2+2N 个未知数,2N 2+2N1
6、个方程,求出这个方程的任意一组解就可相应的构造出案(构造方法极其简单,这里不再罗嗦,但有一点值得注意的是:求方程组时可设所有的未知数都等于 0 或 1)。我连构造可行解的方法都不会。听说能用解模线性方程组做,是不是这样的:假设一个单元格 I,如果它的颜色原来都是黑的,则 Ci=1;否则为 Ci=0。单元格的上、下、左、右 4 边经过的次数分别为 x1,x2,x3,x4。则可以得到以下这个方程:x1 + x2 + x3 + x4 abs(Ci-Ci)。对于其他的方格,还可以列出同样的方程。因此就了一个模线性方程组。但我觉得这个方法是有问题的,就是说,可能求出了一组符合条件的 x,但是根据这些x 却无法得到一个符合条件的解。假如用模线性方程组解出了这样的解,该如何产生可行解呢?如图 0072-1,红线为解模线性方程组解出的需要经过的路径。图 72-1以每条边被经过的次数为未知数构造方程组。解模方程组,若方程组无解则问题无解;否则验证一组解,转化为路径判定问题。考虑度数为奇数的点的个数。要
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