专训2构造全等三角形的四种常用方法

1、专训 2构造全等三角形的四种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的已知条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题较轻松地解决常见的辅助线作法有：旋转法、翻折法、倍长中和截长补短法，目的都是构造全等三角形翻折法1如图，在ABC 中，BE 是ABC 的平分线，ADBE，垂足为 D.试说明：21C.(第 1 题)旋转法2如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BEDFEF，求EAF 的度数(第 2 题)倍长中3如图，在ABC 中，D 为 BC 的中点试说明：ABAC2AD；若 AB5，AC3，求 AD

2、 的取值范围(第 3 题)截长补短法4如图，ABCD，CE，BE 分别平分BCD 和CBA，点E 在 AD 上试说明：BCABCD.(第 4 题)1解：如图，延长 AD 交 BC 于点 F(相当于将 AB 边向下翻折，与 BC 边重合，A 点落在 F 点处，折痕为 BE)(第 1 题)因为 BE 平分ABC，所以ABECBE.因为 BDAD，所以ADBFDB90.在ABD 和FBD 中，ABDFBD，BDBD，ADBFDB，所以ABDFBD(ASA)所以2DFB.又因为DFB180AFC，1C180AFC，所以DFB1C.所以21C.2解：如图，延长 CB 到点 H，使得 BHDF，连接 AH

3、.因为ABE90，D90，所以DABH90.ABAD，在ABH 和ADF 中，ABHADF90，BHDF，所以ABHADF.所以 AHAF，BAHDAF.所以BAHBAFDAFBAF.所以HAFBAD90.因为 BEDFEF，所以 BEBHEF，即 EHEF.AHAF， 在AEH 和AEF 中，AEAE，EHEF，所以AEHAEF.所以EAHEAF.1所以EAF HAF45.2点拨：图中所作辅助线，相当于将ADF 绕点A 顺时针旋转 90，使 AD 边与 AB 边重合，得到ABH.(第 2 题) 3解：(1)如图，延长 AD 至点 E，使 DEAD，连接 BE.因为 D 为 BC 的中点，所以

4、 CDBD.又因为 ADED，ADCEDB，所以ADCEDB.所以 ACEB.因为 ABBEAE，所以 ABAC2AD. (2)因为 ABBEAEABBE，所以 ABAC2ADABAC.因为 AB5，AC3，所以 22AD8.所以 1AD4.点拨：本题运用了倍长中构造全等三角形，将说明不等关系和求线段取值范围的问题转化为说明全等，从而利用全等三角形的性质解决问题(第 3 题)4解：如图，在 BC 上取一点 F，使 BFBA.连接 EF.因为 CE，BE 分别平分BCD 和CBA，(第 4 题)所以34，12.在ABE 和FBE 中，BABF，12，BEBE，所以ABEFBE(SAS)所以A5.因为 ABCD，所以AD180.又因为56180，所以6D.6D， 在EFC 和EDC 中，34，ECEC，所以EFCEDC(AAS)所以 FCDC.所以 BCBFCFABCD.点拨：说明一条线段等于两条线段的和的方法：“”或“补短法”“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之