(整理)第五节振型向量正交性

1、精品文档精品文档精品文档第五节振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）。为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。一、耦合与解耦（教材6.7和6.8）举例说明什么是耦合与解耦。D如图所示是一刚性杆AD,用刚度分别为k和k的弹簧12支承与A、D两端。取质心c点的垂直位移yc和刚性杆绕C点的转角。为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系，得一y二y-10+_0J_0丿写成矩阵的形式k+k12k1k1-2211

2、k1k12211k12+k1211220+meJ+me20V丿k+k120在新的坐标写出的方程中，刚度矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标y，第二个方程仅包含另一个广义坐标0，这种B坐标之间没有耦合的情况，称之为弹性解耦（静力解耦）。而质量矩阵是非对角矩阵，反映在方程组中，也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标的二阶导数y.c和0这种加速度（惯性力）之间有耦合的情况，称之为惯性耦合。若以弹簧支承处的位移yA和y为广义坐标，则振动微分方程为rm1y+m1y+k(1+1)y+k(1+1)y=02A1D112A212DAD写成矩阵形式I-Jy+Jy

3、一k(1+1)1y+k(1+1)1y=0y0、=VyD0k(1+1)212k(1+1)121222122Dm1m1y21VA+_-JJ_k(l+1)112-k(1+1)11121由此可见此时，刚度矩阵和质量矩阵都不是对角矩阵，即方程组中同时存在着惯性耦合和弹性耦合。有以上分析可以看出，同一个振动系统可以选择不同的广义坐标来建立它的运动方程。但若选择的坐标不同，系统的运动方程的形式和耦合情况也不同。这表明：运动方程的耦合并不是振动系统所固有的本性，而完全取决于坐标的选择。即k和M与选取的坐标系有关。换句话说，描述系统的坐标系不同，则k和M也不同。我们知道，求解一个耦合的运动方程是十分复杂的，尤其

4、是实际工程问题，有的系统自由度多达上百数千，因此即使利用计算机求解这样一个耦合的方程组，也是十分困难的。但如果选取的坐标恰好使系统的运动微分方程组的耦合项全等于零，既无弹性耦合，又无惯性耦合，也就是使质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，那么n个联立的微分方程就成为n个独立的微分方程了，于是求解就很容易了。二、振型正交性(教材6.12)ni一个n个自由度系统具有n个固有频率和n组对应的振型向量。设第i阶固有频率为3，对应的振型为“，则有如下的关系a)ku=32Lmuinii同样3和也满足b)k7w=32mujnjj用uh前乘以(a)两端，用uT前乘以(b)两端，得jiurkw=32uLmujini

5、jiuTku=32uTMuijnjij因为k和m都是对称矩阵，则将uTku=32uTMujinjj(c)(e),得(32-32)utMu=0ninjj在一般情况下，当i丰j时，uTMu=0ji将上式代入(e)式，得uTku=0jic)d)d)式两边转置，得e)f)i3ni，所以有nj(4-45)4-46)式(4-45)和(4-46)表示，对应于不同固有频率的两个振精品文档精品文档l=Jl=型向量之间存在着对质量矩阵m和刚度矩阵k的正交性。这个性质就称为振型向量正交性将式(a)两边前乘以ut，得g)uku=o2utmuiiniii令h)M=uTmu(i=12,n)因质量矩阵M是正定的，则m总是一

6、个正实数。称为第i阶主质量。令(i=1,2,n)i)K=uTkuiii称为第i阶主刚度。则由式(g)，得:广uFmu广(i=I2n3iii由此可见，第i阶固有频率的平方就等于第i阶主刚度除以第i阶主质量。uTkuIIIw=辱內辱I(Jh?)0二JV2件吐:低專與uu乙uU乙pf_?h乙3I乙辱丙4件辱丙4马1IIIuru乙們乙f刑缨密Uun、乙un、陆。捌勇匪爭融U-厂、n(时9)乙rnin-Xu乙nin丿乙乙nInUXUHJ=門21，制华购弦V爭胡，做料邀勒兽到匪爭瞬捌幽丙册壬唯捌幽喜禺丰三则上式变成uTmu=M010M2称为主质量矩阵（模态质量矩阵。同理，有一K00一1riutIku=丄0

7、K02K00Kn称为主刚度矩阵（模态刚度矩阵）精品文档精品文档精品文档精品文档例题2：验证振型正交性。对于图示系统（例1）m=m=m=m,k=k=k=k=k1231234x1x2x3系统的三个固有频率n1振型向量为u=,ivu2证：uTmu=112一m001、V210m0s000m-1J丿1V2muTku-112一一2k-k0一0k2k-1J丿m彳0=m+0一m0-1V丿1(2-Qk2(2-k(2-0k0-1V丿(2-0k+0-(2-0k0MuTLmu1111一m001、F10m0sQ00m1ms11m+2m+m4m一2k-k0一、1K=uTEku=111k2kk110k2k1J丿1=_(2-

8、0k25-1)k(20k1V丿=(2-Qk+2径卩-1)k+(2-Q)k=4(2-0ko2n1K=4(2-“)k=(2-0kM4mm1四、正则振型向量和正则（主）坐标1.正则振型向量由于振型向量仅表示各坐标间幅值的相对大小。因此，只有通过归一化，这才能确定振型向量中元素的具体数值。所以，如果归一化不同，则由振型向量构成的振型矩阵，按下式计算时uTmu=求得的主质量M的值各不相同。i故为了方便起见，将各阶振型向量正则化，令p二1u（i=1,2,严i,n）（6-48）称为第，阶正则振型向量pT1p二uT血-M=1i（i=12LSi（6-49）,n）即正则振型向量所对应的主质量等于1。(6-50),

9、n)讪k為丄丄uTk丄u严1严=K=2(i=1,2,inii即正则振型向量所对应的主刚度等于-2ni把n个正则振型向量依次排列，构成一个n阶方阵，记nxn121Ju2则矩阵u1正则振型矩阵_LuMnn由于正则振型向量是振型向量中的特定一组，因此正则振型向量也满足振型向量正交性。即PtM如=0(i,j二1,2,n,i丰j)jiPtk如=0(i,j=1,2,n,i丰j)ji所以有M=/n1Tko=32n232nn2.正则(主)坐标若以为变换矩阵,对原广义坐标x进行线性变换,x(t)=z(t)(6-51)则Z(t)=zZZt称为正则主坐标，简称正12n则坐标。将(6-51)式代入多自由度系统的振动微分方程，得MOz(t)+kz(t)=F(t)上式两边前乘以b，MOz(t)+阳z(t)=F(t)令6-53)P(t)=讪F(t)为对应于