2007年湖南省高考数学试卷(理科)及解析

1、2007年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分)TOC o 1-5 h z(5分)复数(备严等于()A.4iB.-4iC.2iD.-2i(5分)不等式WO的解集是()x+1A.(-,-1)U(-1,2)B.-1,2C.(-I-1)U2,+QD.(-1，2(5分)设M,N是两个集合，贝廿“MUNH0”是“MGNH0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件(5分)设G,L都是非零向量，若函数f(x)=(xG+L)G-xL)(xGR)是偶函数,贝必有()A.$丄bB.3bC.|；a|=|b|D.|；a|H|b|(5分)设

2、随机变量E服从标准正态分布N(0,1).已知(-1.96)=0.025,则P(|日1.96)=()A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975i4.*:-=-_(5分)函数的图象和函数g(x)=log2x的图象的交点个数是()A.4B.3C.2D.1(5分)下列四个命题中,不正确的是()A.若函数f(x)在x=x0处连续，则lim二1imfG)函数的不连续点是x=2和x=-2-4若函数f(x)、g(x)满足，贝U瓷TCQ瓷TCG*yrrCC8（5分）棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球0的表面上，E,F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长

3、为（）A.乎B.1C.229.（5分）设F1，F2分别是椭圆（ab0）的左、右焦点，若在其右ab的取值范围是；若（x,y）GAGB,且x+2y的最大值为9,则b的值是.15（5分）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表、从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数b2准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是（）B.（0,誓10.（5分）设集合M=1,2，3，4，5，6，S】、S2、S都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si=ai，bi，S=a.，b.（i

4、Hj，i、j1，2，3，.，b-（minx，y表示两个数坍aiA.(0,乎c.D.、亠亠ab-a.k)，都有min,Hmin-丄g迫i1x、y中的较小者）.则k的最大值是（）A10B11C12D13二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）TOC o 1-5 h z（5分）圆心为（1,1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是.（5分）在厶ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=.：7,匚二七，则B=.（5分）函数f（x）=12x-X3在区间-3,3上的最小值是.（5分）设集合止二（蓋，y）|歹逍|蓋-2|，B=（x,y）|yW-|x|+b,AGB第1行11第2行101第

5、3行1111第4行10001第5行110011三、解答题(共6小题，满分75分)(12分)已知函数f(x)=cos2(x+=),g(x)=1+sin2x.122设x0是函数y=f(x)的一个零点，求g(x0)的值；求函数h(x)=f(x)+g(x)的单调递增区间.(12分)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力.每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(口)任选3名下岗人

6、员，记E为3人中参加过培训的人数，求E的分布列和期望.(12分)如图1,E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD的中点，G是EF上的一点，将GAB,AGCD分别沿AB,CD翻折成GAB,AG2CD,并连接GG2,使得平面GAB丄平面ABCD,GG2AD，且GXG2连接BG2，如图2.$AEFGB8圉1yrC(I)证明：平面GAB丄平面GADG2；(口)当AB=12,BC=25,EG=8时，求直线BG2和平面G】ADG2所成的角.19.(12分)如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区o的公路，点p所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为e(oe2=0，艮卩|耳I2=Ib|2

7、，故|=|b|.故选C5.(5分)(2007湖南)设随机变量E服从标准正态分布N(0，1).已知(-1.96)=0.025，则P(|E|V1.96)=()A0.025B0.050C0.950D0.975【分析】根据变量符合正态分布，且对称轴是x=0,得到P(旧1.96)=P(gW-1.96)=6(-1.96)=0.025P(|E|V1.96)=1-0.25-0.25=0.950故选C6.（5分）（2007湖南）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A.4B.3C.2D.1【分析】根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，我们在同一坐标系中画出

8、函数的图象和函1-4x4-3s藍1数g（X）=log2x的图象，数形结合即可得到答案.【解答】解：在同一坐标系中画出函数巩二；的图象和函数g-4計3,葢1（x）=log2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点故选B7.（5分）（2007湖南）下列四个命题中，不正确的是（）A.若函数f(x)在x=x0处连续，则limfG)二limfG)B.函数的不连续点是x=2和x=-2x2-4C.右函数f(x)、g(x)满足liinlf(蓋)-g(x)二C,则1imf(工)=limg(m)龙TCO17TCQyrfCQ【分析】右函数f(x)、g(x)满足，贝V+CG*yrVM不一定成立，因为

9、成立的前提是必须+*00yrCO瓷一rCG灵CC都存在.故C不正确.【解答】解：A、若函数f(x)在x=x0处连续，则f(x)在x=x0处有极限，所以故A正确.limf(k)=limB、函数的定义域是x|xH2,所以它的不连续点是x=2和x=-2,x-4故B正确.C、若函数f(x)、g(x)满足li珀f仗)-吕仗)二匚，则1imf(s)=limg(:k)不工-+COyryrfCG一定成立，因为成立的前提是必须都yrTCQf03yrrCO灵TCO存在.故C不正确.D、二lim春壬，故D正确.故选C.8(5分)(2007湖南)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球0的表面上，E

10、，F分别是棱AA1，DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为【分析】先求直径（正方体的体对角线），再求球心到EF的距离，然后解出直线EF被球O截得的线段长【解答】解：正方体对角线为球直径，所以/二#，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d寺尺二?，严，号-*年，所以EF=2r=巨.故选D.2（ab0）的左、右焦b229.（5分）（2007湖南）设F,F2分别是椭圆三点，若在其右准线上存在P,使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()D.A.(o,孑B.(o,吕C.2【分析】根据题意，设P的坐标为，进而可得FP的中点Q的坐标,结合题意，线段PF1的中垂线过点F2，可得y与b

11、、c的关系，又由y2的范围,计算可得答案.由k2,2【解答】解：由已知P，所以FP的中点Q的坐标为（丄2c当晞芒二0时，昨巧不存在，此时F2为中点，-c=2c=e=-.综上得尹巳.故选D.10.（5分）（2007湖南）设集合M=1,2，3，4，5，6，S】、S2、Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的Si=ai，bj,S.=a.，b.（iHj,i、jg1,2,3,，k),都有min玉,Sbq亠一Hmin(minx,y表示两blaLfcJaj个数x、y中的较小者）.则k的最大值是（）A10B11C12D13【分析】根据题意,首先分析出M的所有含2个元素的子集数目,进而对其特a-b-a-b

12、-殊的子集分析排除，注意对minHmin(minx,y表示两b!axbjaj个数x、y中的较小者）的把握，即可得答案.【解答】解：根据题意，对于M,含2个元素的子集有15个,但1,2、2,4、3,6只能取一个；1,3、2,6只能取一个；2,3、4,6只能取一个,故满足条件的两个元素的集合有11个；故选B二、填空题（共5小题,每小题5分,满分25分）11.（5分）（2007湖南）圆心为（1,1）且与直线x+y=4相切的圆的方程是（x-1）2+（y-1）2=2.【分析】先求圆的半径，再求圆的标准方程.【解答】解：圆心到直线的距离就是圆的半径：匸三.V1+1所以圆的标准方程：（x-1）2+（y-1）

13、2=2故答案为：（x-1）2+（y-1）2=212.（5分）（2007湖南）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=.，匚二込，则B=E【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB,且a=1,b=T7，c=L3，所以cosB=2ac2X1X32得到B为钝角即BG(丄丄，n),2所以b=-故答案为罟(5分)(2007湖南)函数f(x)=12x-X3在区间-3,3上的最小值是16.【分析】先对函数f(x)进行求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后判断端

14、点值和极值的大小进而得到最小值【解答】解:Tf(x)=12-3x2,f(x)=0,得x=2,Tf(-2)=-16，f(3)=9，f(-3)=-9，f(2)=6，f(x)min=f(-2)=-(5分)(2007湖南)设集合A二y)2|，B=(x,y)|yW-|x|+b,AGBH.b的取值范围是1,+*)；若(x,y)GAGB,且x+2y的最大值为9,则b的值是号【分析(1)分别作出集合A,B表示的平面区域，由图求出b的范围(2)由线性规划，在可行域内，给x+2y几何意义为直线的纵截距，使直线动起来,求出最值【解答】解：(1)由图象可知b的取值范围是1,+*).(2)若(x,y)GAPB,令z=2

15、y+x作直线z=2y+x，由图知当直线过(0,b)时，z最大所以0+2b=9，所以b=-故答案为:-16.斗A斗B01-B1（5分）（2007湖南）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的0-1三角数表、从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，第n次全行的数都为1的是第2n-1行；第61行中1的个数是32.TOC o 1-5 h z第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011【分析】本题考查的知识点是归纳推理，我们可以根据图中三角形是将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，结合杨辉三角我们易得到第1行，第3行，第7行，全都

16、是1，则归纳推断可得：第n次全行的数都为1的是第2n-1行；由此结论我们可得第63行共有64个1，逆推即可得到第61行中1的个数【解答】解：由已知中的数据TOC o 1-5 h z第1行11第2行101第3行1111第4行10001第5行110011全行都为1的是第2n-1行;n=626-1=63,故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1第61行共有32个1故答案为：2n-1,32三、解答题(共6小题，满分75分)16.(12分)(2007湖南)已知函数f(x)=cos2(x+込-),g(x)=1+sin2x.122设x0是函数y=f(x)的一个零点，求g(x0)的值；求函数h(x)

17、=f(x)+g(x)的单调递增区间.1-Fcos(2x4H【分析】(1)利用倍角公式可得函数f(x)=，由于x0是函数y=f(x)的一个零点，可得f(x0)=0,化为心朋(2北4-二-1，即可得出2x0.进而得出g(x0).2)利用倍角公式、两角和差的正弦公式及正弦函数的单调性即可得出.71仃1+cos【解答】解：(1)函数f(x)=cos2(x+)J122x0是函数y=f(x)的一个零点，：f(x0)-kj-cos(2k0+-)=0,2毗业兀+兀，解得2毗二珏兀+晋(kZ).:呂(工o)=lx口：兮函数h(x)=f(x)+g(x)=cos2(x+令)+1isin2x1+cos(2x+-+1+

18、寺sin2x由2上兀-2k兀+-亍，解得k兀-2吨工农k兀(kZ).函数h(x)的单调递增区间为(kZ).1ilL1iili17.(12分)(2007湖南)某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(I)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(口)任选3名下岗人员，记E为3人中参加过培训的人数，求E的分布列和期望.【分析(I)由题意知该人参加过财会培训与该人参加过计算机培训相互独

19、立，且P(A)=0.6，P(B)=0.75.解出任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率，根据对立事件的概率做出该人参加过培训的概率.(口)由题意知每个人的选择是相互独立的，3人中参加过培训的人数E服从二项分布B(3,0.9)，根据二项分布写出变量的分布列和期望.【解答】解：任选1名下岗人员，记该人参加过财会培训”为事件A，“该人参加过计算机培训”为事件B，由题设知，事件A与B相互独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.75.(I)任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P1=P(lB)=P(l)CB)=0.4X0.25=0.1根据事件的对立事件得到该人参加过培训的概率是P2=1-P=1

20、-0.1=09()每个人的选择是相互独立的，3人中参加过培训的人数E服从二项分布B(3,0.9)，P(&k)=C3kX0.9kX0.13-k，k=0，1，2，3，即E的分布列是E0.0010.0270.2430.729E的期望是Eg=3X0.9=2.718.（12分）（2007湖南）如图1,E,F分别是矩形ABCD的边AB,CD的中点，G是EF上的一点，将GAB,AGCD分别沿AB,CD翻折成GXAB,G2CD,并连接GG2，使得平面GAB丄平面ABCD,GG2AD,且GVAD、连接BG2,如图2.ADEFGS8图1C（I）证明：平面GAB丄平面GADG2;（口）当AB=12,BC=25,EG

21、=8时，求直线BG2和平面G】ADG2所成的角.【分析（I）由平面GAB丄平面ABCD，得GE丄平面ABCD，从而丄AD、又由AB丄AD,得出AD丄平面GAB、从而证明平面G】AB丄平面G】ADG2;（口）由（I）可知，GE丄平面ABCD、故可以建立以E为原点，分别以直线EB,EF,EG】为x轴、y轴、z轴空间直角坐标系，先求得各点的坐标，再求得向量的坐标,再由线面角的向量公式求解.【解答】（I）证明：因为平面GAB丄平面ABCD，平面GXABA平面ABCD=AB,GE丄AB,GEu平面GAB,所以GE丄平面ABCD,从而GE丄AD、又AB丄AD,所以AD丄平面GAB、因为ADu平面G】ADG

22、2，所以平面G】AB丄平面GADG2、（口）解：由（I）可知，GE丄平面ABCD、故可以E为原点，分别以直线EB,EF,EG1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图）,由题设AB=12,BC=25,EG=8,则EB=6,EF=25,EGX=8,相关各点的坐标分别是A（-6,0,0）,D（-6,25,0）,Gx（0,0,8）,B（6,00）.设石二(x,y?e)是平面G1ADG2的一个法向量,过点G2作G20丄平面ABCD于点0,因为G2C=G2D，所以0C=0D,于是点0在y轴上.因为GG2AD，所以GG2EF,g20=g1e=8.设G2(0,m,8)(0VmV25),由172=82+(2

23、5-m)2,解得m=10,所以呢二0,10,对0,0)二【-6,10,齐设bg2和平面g1adg2所成的角是e,则.0_丨I-刘-24|辽近5inIBG2I-|n|Vg2+102-F82pV42+3225故直线bg2与平面g1adg2所成的角是卫衍19.(12分)(2007湖南)如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点P和居民区0的公路，点P所在的山坡面与山脚所在水平面a所成的二面角为e(0veV90),且二Z,点P到平面a的距离PH=0.4(km).沿山脚原5有一段笔直的公路AB可供利用、从点0到山脚修路的造价为a万元/km，原有公路改建费用为号万元/km、当山坡上公路长度为lkm(

24、1WIW2)时，其造价为(I2+1)a万元、已知OA丄AB,PB丄AB,AB=1.5(km),0A=V?Ckm).(I)在AB上求一点D,使沿折线PDA0修建公路的总造价最小；(口)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDE0修建公路的总造价最小(皿)在AB上是否存在两个不同的点D,E,使沿折线PDEO修建公路的总造价小于(口)中得到的最小总造价，证明你的结论、【分析】对于(I)在AB上求一点D,使沿折线PDAO修建公路的总造价最小.这是一个实际应用题，需要先把复杂的图形转化为清晰的几何图形，然后设BD=x(km).根据几何关系列出总造价为f1(x)的函数表达式，再根据配方法求出

25、最小值即为所求对于(口)对于(I)中得到的点D,在DA上求一点E,使沿折线PDEO修建公路的总造价最小.设AE=y(km),O=Cy=C-，总造价为f2(y)万元，求出总造价的f2(y)的函数表达式，求出其导函数的方法，通过判断在区间上正负问题,讨论区间单调性然后根据单调性求极值即可得到答案【解答】解：(I)如图，PH丄a,HBa,PB丄AB,由三垂线定理逆定理知，AB丄HB,所以ZPBH是山坡与a所成二面角的平面角，则ZPBH=3siny设BD=x(km),OWxWl.5,则PD=；x2+PB2=;x2-He1，2.记总造价为f1(x)万元，据题设有f1(z)=(PD2+l+yA.D+AO)

26、a=(i：2-寺好寻也犷衣-寺尸計(y|-+V3)a当十，即BD=y(km)时，总造价f1(x)最小.(口)设AE=y(km),，总造价为f2(y)万元，根据题设有f2（y）=PD2+l+;；y2+3-Hy（y-寺）且=（-于）且4扌|丁则，由f2（y）=0，得y=i.当y$（0,1）时，f2,（y）vo,f2（y）在（0,1）内是减函数；当时，f2（y）0，f2（y）在【1,号）内是增函数.故当y=1，即AE=1（km）时总造价f2（y）最小，且最小总造价为竺自万元.20.（12分）（2007湖南）已知双曲线X2-y2=2的左、右焦点分别为F】，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点

27、.（I）若动点M满足二F+FF（其中0为坐标原点），求点M的轨迹方程；（口）在x轴上是否存在定点C,使毎西为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（I）先根据条件求出左、右焦点的坐标，并设A（X，yx），B（x2，y2），M（x，y），然后表示出向量帀，丽，帀，和根据帀二帀+璋+丽可得到x1，x2，x以及y1，y2，y的关系，即可表示出AB的中点坐标，然后分AB不与x轴垂直和AB与x轴垂直两种情况进行讨论.（口）假设在x轴上存在定点C（m，0），使西西为常数，当AB不与x轴垂直时，设出直线AB的方程，然后与双曲线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，进而可得到两根之和与

28、两根之积，表示出向量西西并将所求的两根之和与两根之积代入整理即可求出C的坐标；当AB与x轴垂直时可直接得到A，B的坐标，再由CB=-1，可确定答案.【解答】解：由条件知F1(-2,0),F2(2,0),设A(x1，y1),B(x2，y2)(I)设M(x,y)，则申二y)，帀二&+2,yj丽二(七+2,丽二(2,0)，于是AB的中点坐标为三里又因为A，B两点在双曲线上，所以x12-y12=2，x22-y22=2，两式相减得(X-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2),即(x1-x2)(x-4)=(y1-y2)y，将F一牝二841-葢2)代入上式，化简得(X-6)2-y2=4,当AB与

29、x轴垂直时，x1=x2=2,求得M(8,0),也满足上述方程，所以点M的轨迹方程是(x-6)2-y2=4(口)假设在x轴上存在定点C(m，0)，使为常数,当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是y=k(x-2)(kHl),代入x2-y2=2有(1-k2)x2+4k2x-(4k2+2)=02_2，-，则x1，x2是上述方程的两个实根，所以，于是CA*CB=-m)+k2-2)(七一刃=(k2+1)x1x2-(2k2+m)(x1+x2)+4k2+m2=(k2+l)(4k2+2)_理型如_+4严屛_2C1-2m)k2+2jk2-1打=2(1-加+也2:+m2-因为忌西是与k无关的常数，所以4-4m=0,即m=1,此时两CB=-1,当AB与x轴垂直时，点A,B的坐标可分别设为厶.2),一.2),此时丞.CB=(1,；可(1,-】可二-1，故在x轴上存在定点C(1,0),使毎西为常数.21.(15分)(2007湖南)已知A(a,b)(nGN*)是曲线y=ex上的点，a产a,nnn1S是数列a的前n项和，且满足S2=3n2a+S“2,aHO,n=2,3,4,.nnnnn-1n证明：数列(n2)是常数数列；确定a的取值集合M,使aGM时，数列an是单调递增数列；证明：当aGM时，弦AA(nGN*)的斜率随n单调递增.nn+1【分析】(I)当n三