广东省惠州市2019-2020学年高三第三次调研考试理科数学试题(教师版)

1、惠州市2020届高三第三次调研考试理科数学、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U R, Ax|2x 1 ,则 Cu A(A. x | x 1B. x| X1C. x|x 0D. x| X 0解指数不等式求得集合A,由此求得A的补集.【详解】由于A x 2x 1 x0 , euAxx 0.故选：D.【点睛】本小题主要考查补集的概念和运算，考查指数不等式的解法，属于基础题2.设i为虚数单位，复数 Z 1 i ，则z在复平面内对应的点在第（22A.B.C.D.四先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限3.i2所以z在复平面内对应

2、的点为工,-,在第二象限 .2 2故选：B20201一 ?花【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题“.13.已知 a log2020 冗A. c a bB. a c bC. b a cD. a b c【解析】【分析】利用指数与对数的性质与0, 1比较即可，2020 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 1.,八1【详斛】a log 2020 log 202010 , b HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 冗冗故选：D.【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间

3、值与1、0c 2020- 1,所以 a b c.0,1比较是常用方法，是基础题4.在直角坐标系xOy中，已知角0的顶点与原点。重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线y 3x上，则 sin(- 2)=()A. 45【答案】AB.C.1D.2由终边确定角的正切值，利用诱导公式及二倍角公式求解【详解】因为角 0终边落在直线y 3x上，所以tan2cos110所以sin 22cos22,2cos 1故选：A.【点睛】本题考查三角函数的定义,考查二倍角公式及诱导公式，意在考查计算能力及公式运用，是中档, 一，一一 . uuv5.在平行四边形ABCDh ABuuvADuuuv AMuuv4MC ，P

4、为AD的中点，则uuvMP 二()A. 4v510B.Wv10D.利用向量加减运算法则求解111v uur uuuu 【详解】Mp= AP AM1 uurAD 24 uuuAB 5uuurAD4 uuuAB 53 uuur 一 AD 104r a510故选：C【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查用基底表示向量，熟练运用加减运算是关键，是基础题条件.设a R,则“a 72”是“直线li：x 2ay 5 0与直线ax 4y 2 。平行”的()A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】 TOC o 1-5 h z 根据两条直线平行的条件，求得a的值，由此判断

5、出充分、必要条件.a151_【详解】依题意，知 - 一，且 2 解得aJ2.所以“a J2是直线li：x 2ay42a2a 2与直线l2：ax 4y 2 0平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本小题主要考查两条直线平行的条件，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.数列2口： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂 纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列” .该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.即：an 2 an 1 an.记该数列an的前n项和为Sn ,则下列结论正确的是()A.S2019a20

6、20B.S2019a2021C. S2019a2020D.S2019a20211根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果 【详解】因为Sna a2a3Lan(a3 a?)(a4a3)(a5a4)(a6as)L(an2an1)an 2a2an 2 1 ,所以S2019a20211 ,选 D.【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.易经是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八圭卜)卦由三根线组成（ 一表示一根阳线,表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为（）B. 1C.528D.514【解

7、析】【分析】直接根据概率公式计算即可.【详解】从八卦中任取两卦，基本事件有2C828 种,其中这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线，基本事件共有10中,m 5，这两卦的六根线中恰有三根阳线和三根阴线的概率为p m n 14故选D【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查函数与方程思想，是基础题.9.函数f xA.C.A2 一，一 -sinx的图象的大致形状是（B.根据已知中函数的解析式，可得函数f （x）为偶函数，可排除 C,D,由x 0, f x 0得到答案.12ex i【详解】fx i 7 sinxfsinxi exex if x则f x是偶函数，排除C、D,又当x 0,

8、f x 0故选：A.结合排除特值与极限判断是常见方法，属【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断, 于基础题.10.如图，平面 过正方体 ABCD ABiCiDi的顶点A,/平面 CBiDi,平面ABCD m,面ABBiA n ,则m n所成角的正弦值为（C.画出图形，判断出m n所成角,求解即可.【详解】如图:/面 CBiDi面 ABCDm,面 ABAiB n,可知 n/CDi, m/BiDi,因为 CBiDi是正三角形,m、n所成角为60 .1B.2则m n所成角的正弦值为 Y3 故选：D.【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，熟练运用线面平行的

9、性质定理是关键11.已知F是抛物线y2X的焦点，点A, B在该抛物线上且位于 X轴的两侧，uA uBv2 （其中O为坐标原点）ABO与AFO面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C 17. 2C. D. J0试题分析：据题_1得 F(1,0)4设 A(x, y1), B(X2,y2)2y1 ,X22y2 ，2 2y1 yy1 y22, yi y22 或 yiy2因为A,B位于x轴两侧所以.所以yiy22两面积之和为c1 .S二 X y22X2y1y1y18V1y19iy112.已知函数sin值，无最大值.给出下述四个结论:若-y1 y2y2 y120)满足f x0y1y2y1y1Vif Xo

10、1Xo,Xo上有最小1；Xo0,则 f x sin 2 x的最小正周期为3;在0,2019上的零点个数最少为1346个.其中所有正确结论的编号是A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的性质，结合对称性以及周期性分别进行判断即可.1.1【详解】Xo，Xo 1区间中点为Xo 一，根据正弦曲线的对称性知f Xo 一22心 _.11右Xo0 ,则f Xof Xo1 一,即sin -,不妨取22一,此时 f x sin 2 x 661满足条件，但f 11为o,1上的最大值，不满足条件，故错误35不妨v Xo2k ,Xo 1 2k ,两式相减信662即函数周期T 3,故正确.区间。,2。1

11、9的长度恰好为673个周期，当f o o时，即 k时,f X在开区间。,2。19上零点个数至少为673 2 1 1345,故错误故正确的是,选：C口睛】本题主要考查与三有关的命题的真，结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及甬函数的性质是角较强、填空题：本，4小题，小共2o分机中第15题第一空2分，第二空3分.执行如图所示白-MM,则输./彳O . 中J故选三角函数的性质是时13./输出H/二1:)结合三角函数的图象和性质，利用特值法以及【答案】6【解析】【分析】 执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果【详解】n 2,22 20;n 4,24 20;n 6,26 20.结

12、束循环，输出结果：6【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题14.若（1x)(1 2x)7aoaixa2x2 La8x8,贝U a1a2L a7 a8 的值为得 aoaia2 La7 a82,令 x 0,得 a01,则a1a2L a7%点睛：本题考查二项式定理应用；在利用二项式定理求二项展开式的系数和时，往往采用赋值法或整体赋值法，要灵活注意展开式中未知数的系数的特点合理赋值，往往是1, 0，或 1.15.设数列an的前n项和为Sn.若S2 4,an 12 Sn 1 , n N ,贝U a1；S5【答案】.1 (2). 121【详解】由a2a1当n 2时,由已知可得:an

13、 1 2Snan 2s 1得an1an2an ,an 1an是以a11 1 35 S5 1L- 121.1 3故答案为:3,121【点睛】本题考查已知前 n项和求通项以及等比数列的前 n项和公式，考查运算能力，属于基础题16.已知双曲线C1: HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 22x_ y HYPERLINK l bookmark36 o Current Document 2,2ab1(a 0, b 0)的左、右焦点分别为 E,F2,其中F2也是抛物线C2322 Pxp0的焦点,3C1与C2在一象限的公共点为P ,若直线PFi斜率为一，则双曲线

14、离心率 4由题可得设 P(Xo2c,kPF1tanPF1F23,4cos PF1F24一,过P作抛物线准线的垂线，垂足为 M , 5PM可得PMPF x PPF 2 x0 2PF1 cos MPF1PMT54(Xo c) .结合PF1 PF22a,化简可得XoPF1F2 中,由余弦定理可得8e0,即可求解【详解】因为F2是双曲线的右焦点且是抛物线的焦点，所以解得p 2c,所以抛物线的方程为:3由 kPF tan PF1F2-,cosPF1F2如图过P作抛物线准线的垂线,垂足为M ,设 P(Xo , y。)则 PM PF2XoXoc,PFiPMcos MPF1PM45-5(x04c)由 PF1

15、PF2C52a ,可得一(xo c)4(Xoc) a 2x0 8a在 PF1F2 中,PF2 Xo c 8a ,PF2PFi 2a10a, F1F2 2c由余弦定理可得PF22 PF12 F1F222PF1 F1 F2 cosPF1F2c2 8ac 9a2e2 8e 9 0 ,【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质和解三角形的运算，属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .第1721题为必考题, 每个考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在平面四边形 ABCD中， ABC 3ADC , BC22.（1）若 AB

16、C的面积为3,求AC ;2(2)若 AD 2点， ACB ACD 求 tan ACD.3【答案】AC .7 (2) tan ACD逆2利用已知条件与面积公式即可得到结果;(2)设 ACD ,则 ACB结合正弦定理即可得到3tan ACD.【详解】（1）在ABC中，因为BC 2,ABCS abca ABC1 一 _3,3一AB BC sin ABC ，22所以趣AB2在ABC中,由余弦定理得：AC2 AB2BC2 2 ABzBCcosABC 7所以AC 7(2)设 ACD ,则ACBACD 3如图,在Rt ACD中，因为ADAD sin2 3 sin在ABC中,BACACB ABC由正弦定理，得

17、sin BACsinJ即ABCsin 32.3.3 .sin2所以2sin 3sin所以2 38s21 -sin2sin,即.3cos 2sin所以,3 口口tan ,即 tanACD,32【点睛】解三角形的基本策略是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常 见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为 关于某个角的函数，利用函数思想求最值18.如图，等腰梯形 ABCD中，AB/CD , AD AB BC 1, CD 2, E为CD中点，以AE为折痕把 ADE折起，使点D到达点P的位置（P 平面AB

18、CE）.(I)证明：AE PB ;(n)若直线PB与平面ABCE所成的角为求二面角A PE C的余弦值.【答案】(I)见解析；(II ) 叵.【解析】【分析】(I)先证明AE 平面POB,再证明AE PB; (II )在平面POB内彳PQL OB,垂足为 Q证明OPL平面ABCE以。为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角A PE C的余弦值.【详解】(I)证明：在等腰梯形 ABCM,连接B口交AE于点O,AB|CE,AB=CE .四边形 ABCE平行四边形，. AE=BC=AD=DE2.ADE为等边二角形，在等腰梯形 ABCDKC ADE 一， DA

19、B ABC , TOC o 1-5 h z 33在等腰 ADB中，ADB ABD 6 HYPERLINK l bookmark100 o Current Document 2. HYPERLINK l bookmark256 o Current Document DBC 一一，即 BD BC,36 2BDL AE,翻折后可得：OPLAE,OBLAE 又Q OP 平面POB,OB 平面POB,OPI OB O, AE 平面POB,Q PB 平面POB, AE PB；(II )解：在平面 POBMPQLOB,垂足为 Q,因为 AE1平面 POB . . AE1PQ因为 OB 平面 ABCE, AE

20、 平面 ABCE,AEH OB=O二PQL平面ABCE 1直线PB与平面ABCE角为 PBQ 一4，又因为 OP=OB，OPLOBQ Q两点重合，即 OPL平面 ABCE以。为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为 TOC o 1-5 h z 313 uuu 13 uuur 13P(0,0,4,E(o,0), C(0,一,0), PE (1,0, EC (1, 三 ,0) 222222 2ur设平面PCE的一个法向量为 n1(x,y,z),uuuv uv -x z 0PE n 022则 uuv uv ,_EC n 013x y 0 HYPERLINK

21、 l bookmark247 o Current Document 22设 x 褥，则 y=-1,z=1 ,ur(V3,-1.1),uu由题意得平面PAE的一个法向量n2 (0,1,0),设二面角A-EP-C为ir uu|cos |=|1? nU| Lmini 5易知二面角A-EP-C为钝角，所以cos = -5【点睛】本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化分析推理能力.19.为发挥体育核心素养的独特育人价值，越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某

22、数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了 100人进行调查.(1)已知在被抽取的学生中高一1班学生有6名，其中3名对游泳感兴趣，现在从这 6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳感兴趣的概率；(2)该研究性学习小组在调查中发现，对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖，具体获奖人数如下表所示.若从高一 8班和高一 9班获奖学生中随机各抽取 2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量 的分布列及数学期望.班级12345678910市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212【答案】(1) 1; (2)分布列见

23、解析，6 25【解析】【分析】(1)利用组合数结合古典概型求出从这6名学生中随机抽取 3人，至少有2人对游泳有兴趣的概率.(2)由题意可知E的所有可能取值为0, 1,2, 3,分别求出相应的概率,由此能求出E的分布列和E( E ).【详解】(1)记事件Ai 从6名学生抽取的3人中恰好有i人有兴趣，i 0, 1, 2, 3；则A2与A3互斥故所求概率为P至少2人感兴趣P A2 A3P A2P A3101 :202(2)由题意知，随机变量E的所有可能取值有 0, 1, 2, 3;C2 C3C3c3 c3C3 TOC o 1-5 h z 一Cc2 c29p 己04r一c2 c250122531011

24、221C2 C3 C4C3 C422 111C2 C4C3 C2 C4CTCC2 C2C2 C41C2 C225则E的分布列为:0123P9501225310125 TOC o 1-5 h z 9241526数学期望为E0124236505050505【点睛】本题考查概率、离散型随机变量概率分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程能力，是中档题.220.在平面直角坐标系xOy中，已知过点D 4,0的直线l与椭圆c :% y2 1交于不同的两点 A 4,必， 4B X2,y2 ,其中 yy20.(1)若X 0,求VOAB的面积；(2)在x轴上是否

25、存在定点 T,使得直线TA TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.【答案】(1) 4 (2) x轴上存在定点T 1,0 ,使得直线TA TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形5【解析】【分析】, 八8 3 一(1)当Xi 0时得直线l： x 4y 4 0,与椭圆联立得B -,-,再求面积5 5(2)设直线l ： x my 4 ,与椭圆联立，由直线 TA TB与y轴围成 三角形始终为等腰三角形，得kTAkTB0 ,利用斜率代入韦达定理化简得定点坐标【详解】(1)当X10时，代入椭圆方程可得 A点坐标为0,1或0, 1若A点坐标为0,1，此时直线l ： x 4y 4 0联立x 4y 422x 4

26、y5y28y 3 0 TOC o 1-5 h z 38 3解付y1 1或丫2 ,故B,一 HYPERLINK l bookmark292 o Current Document 55 5， .18 4所以VOAB的面积为1 1 8 4 HYPERLINK l bookmark331 o Current Document 25 5若A点坐标为0, 1 ,由对称性知VOAB的面积也是-,5一 一 一一4综上可知，当x1 0时，VOAB的面积为一.5(2)显然直线l的斜率不为0,设直线l ： x my 4 HYPERLINK l bookmark296 o Current Document x my

27、422联立,消去x整理得m 4 y 8my 12 0 x2 4y2 4 HYPERLINK l bookmark298 o Current Document 22由 V 64m4 12 m 40 ,得 m2 12 HYPERLINK l bookmark302 o Current Document ntt8m12则 y1 y2一-， y1 y2 -, HYPERLINK l bookmark280 o Current Document m 4m 4因为直线TA TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形，2myy24 t y1 y2x1 t x2 t所以 kTA kTB 0设T t,0 ,则 kT

28、AkTB1-y1 x2 t-y2 x1tx1tx2 tx1txit即 2my1 y24 t y y?24 m 8m t 422m 4 m 48m t 127m 40,解得t 1.故x轴上存在定点T 1,0 ,使得直线TA、TB与y轴围成的三角形始终为等腰三角形.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系，考查直线过定点问题，解决此类问题，通常先猜后证，重点考查计算能力，是中档题21.已知实数a 0,设函数f x eax ax.(1)求函数f x的单调区间;,1a 2(2)当a 时，若对任意的x 1, ，均有f x x2 1 ,求a的取值范围.22注：e 2.71828L为自然对数的底数.1【答案】(1

29、) f(x)在(，0)内单调递减，在(0,)内单调递增；(2) a 22【解析】【分析】(1)求导后取出极值点，再分a 0, a 0两种情况进行讨论即可.(2)当x 0时得出a的一个取值范围，再讨论x 1时的情况，再对x ( 1,)时构造函数两边取对数进1a o仃分析论证一 a 2时f x - x 1恒成立. 22【详解】(1)由 f (x) a eax a a(eax 1)=0，解得 x 0.若a 0,则当x (0,)时，f(x) 0,故f(x)在(0,)内单调递增;当x (,0)时，f (x) 0,故f(x)在(，0)内单调递减.若a 0,则当x (0,)时，f (x) 0,故f(x)在(

30、0,)内单调递增；,0)时，f (x) 0,故f(x)在(，0)内单调递减.综上所述，f (x)在(，0)内单调递减，在(0,)内单调递增.- a 2x a 2(2) f(x) (x2 1),即 eax (x 1)2. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark324 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark314 o Current Document a1令 x 0,得 1 ,则一a 2 . HYPERLINK l bookmark344 o Current Document 22当x 1时，不等式ex (x 1)2显然成

31、立，2当x (1,)时，两边取对数，即ax 2ln(x 1) ln亘恒成立.2a 令函数F(x) 2ln( x 1) ax ln ,即F(x) 0在(1,)内恒成立.2由 F (x) a 2 a(x 1)=0,得 x 2 11.x 1x 1a2故当x ( 1,- 1)时，F (x) 0,F(x)单调递增； a2当 x ( 1,+ )时，F(x) 0, F(x)单倜递减. a TOC o 1-5 h z 22aa因此 F (x)F (1) 2ln2 aln a 2In . HYPERLINK l bookmark340 o Current Document aa22a 1令函数g(a) a 2 ln3,其中3 a 2,则 g (a) 1a一， 1故当a ( ,1)时,2(a)0 ,得 a 1,0,g(a)单调递减；当a (1,2时，g(a) 0, g(a)单调递增.P 1又 g(7)2,1故当12,1即当-2In 40,g(2) 0,2时，g(a) 0恒成立，因此F (x) 0恒成立,a , 22时，对任意的x 1,)，均有f(x) (x2 1)成立.2【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题需