第八章　圆锥曲线方程

1、第八章圆锥曲线方程刘强1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起，海尔波普彗星将逐渐接近地球，4月以后，又将渐渐离去，并预测3000年后，它还将光临地球上空。1997年2月至3月间，许多人目睹了这一天文现象。天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来海尔波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运动轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周长。在太阳系中，天体运动的轨道除椭圆外，还有抛物线、双曲线等。 在初中几何里我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，得到的截面是一个圆。如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到一些不同的图

2、形，如章头图所示，他们分别是双曲线、椭圆、抛物线等。 因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。.8.1 椭圆及其标准方程下面我们取一条一定长的细绳，把它的两个端点固定在平面上的 和 两点，当绳长大于 和 的距离时，用铅笔把绳子拉紧，使笔尖在平面上慢慢移动，就可以画出一个图形。那么这个时候得到的图形是一个什么图形呢？它是由一些什么点构成的曲线？得到的图形是一个椭圆，可以看出它是与 、 的距离的和等于定长(即这条绳长）的点的集合。下面我们通过作图去观察椭圆的形状在绳长一定的时候与两定点间距离存在什么关系！结论：两定点间的距离越小，椭圆越圆；两定点距离越大，椭圆越扁。（当两点重合的时候椭圆就

3、变为了圆）定义：平面内与两定点 、 的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。由于椭圆的定义我们可以知道它的基本几何特征，但是对于这种新曲线还有哪些特征，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于我们对其作进一步的认识请同学们回忆一下，求曲线方程的步骤是什么？建系、取点；列式；代换；化简；证明一般情况下，步骤可以省略不写，如有特殊情况，可予以必要的说明，另根据情况，也可以省略步骤，直接列出方程。接下来，大家在考虑一下建系的一般原则有那些？原点取在定点或定线段的中点，坐标轴取在定直线上和图形的对称轴上。接下来我们一起根据椭圆的定义，

4、来求出椭圆的方程（利用前面作出的图形）先请一位同学来建立坐标系。以、的中点为原点，直线为轴，建立直角坐标系。设是椭圆上任意一点。（）建系！取点！（ ）列式注意（）代换！定义中提供的信息，动点与、的距离的和等于常数，这个常数可看作是已知的，这是其一；其二是两定点、之间的距离可看作是已知的，于是我们可以设椭圆的焦距为c（c），那么、的坐标分别是、又设 与 、 的距离的和等于 （请注意，我们把焦距设与为 ，避免了 、 的坐标为分数的形式）。上面所得的方程直接反映了椭圆定义所确定的椭圆的本质属性，但为了更进一步利用方程探讨椭圆的其他性质，需要尽量简化方程形式，使数量关系更加明朗化，那么怎么化简呢？请同学们注意：对于含有根式的方程化简时，如果方程中只有一个根式，则将根式单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边，之后方程两边同时乘方即可；如果方程中含有两个根式，则需将它们分别放在方程两边，并使其中一边只含有一个根式，之后再将方程同时乘方，再整理，再乘方。将式子有理化将这个方程移项后，两边平方得整理得上式两边再平方，得整理得由椭圆的定义可知即令其中代入式，得两边同时除以得