概率论第二章练习答案概要

1、6.若f（x）为连续型随机变量 X的分布密度，则f （x）dx _1 #6.若f（x）为连续型随机变量 X的分布密度，则f （x）dx _1 概率论第二章一、填空题：练习答案2x1 设随机变量X的密度函数为f(x)=0其它1则用Y表示对X的3次独立重复1的观察中事件(XW )出现的次数，则 P (Y = 2)21P(x -)12xdx96402 1 2 3 1 p(Y 2)Cf(4)2(-)1设连续型随机变量的概率密度函数为:-ax+b 0 x1)3贝 U a = , b = (x1)3P1(x1)337,b24(x) dx 1-1联立解得:31(axb) dx 1 (ax b) dx030,

2、x07.设连续型随机变量E的分布函数F(x)x2/4,0 x 1，则1,x2P (E =0.8) = 0; P(0.26):=0.99。100 x0(其他)X 100 ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管,则电子管使用150小时都不需要更换的概率为8/27(x)=100 xx N00P ( 150 =1 F(150)=1 其它150100 dx100 x2100 150V 1008. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度（x）=.2 3 8P( 150和)3= 279.设随机变量X服从B(n, p)分布，已知EX = 1.6, DX = 1.28，则参数n =P=EX =

3、np = 1.6DX = npq = 1.2810.设随机变量布，若，解之得：n = 8 , p = 0.2x服从参数为（2, p）的二项分布，Y服从参数为（4, p）的二项分59则P （Y羽）65/81解:P(X1)P(X1)P(X0)23,pP(Y1)P(Y0)C0pOq44-1址816565 80.2%8111.随机变量2）,且 p(2v Xv 4) =0.3,贝U P (X v 0) =02 4。(将X标准化后查标准正态分布表) E( X e 2X) EX Ee 2X 12x xe e dx02X、e ) =4/32 2 2P(2 X4)P (X4)P (X2)o()。()0.32 2

4、 即： 。() o(O)0.3,从而 o()0.3 0.50.80 2 2 2再代入 P (X 0)0)0()10()10.80.2设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E(XZ= 3X 2的期望已知离散型随机变量 X服从参数为2的泊松分布，则随机变量 TOC o 1-5 h z E (Z) = 3EX-2=3x2-2=4。设随机变量 X服从参数为的泊松分布，且 P ( X= 1) = P ( X=2 )则E (X)=2. D (X) =2.22e e201! 2!15.若随机变量E服从参数入=0.05的指数分布，则其概率密度函数为:0.05ex 0(x)0 x 0;E E = 20;

5、 D E =40016.设某动物从出生活到10岁以上的概率为 0.7,活到15岁以上的概率为 0.2,则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为P(15/10)巴一迥 少 -0.286P( 10)0.770.01，则在17.某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为 一小时内有4个用户使用电话的概率为P4)=0.168031X b(300,0.01)解：P(X 4)30044296* 0.01 * 0.99,利用泊松定理作近似计算:一小时内使用电话的用户数服从np 300 0.013的泊松分布18通常在n比较大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布的公式，其期望为np

6、 ，方差为np219. X N( ,), P(X 5)0.045, P(X 3)0.618，则 =_ 1.8,、单项选择:1 .设随机变量X的密度函数为：厂 3f(x)=L04x3, 0 xa)=P(xa)成立的常数 a = ( A)(其中0a1)1D - 1- 4.2解：根据密度函数的非负可积性得到:P(x a)f (x)dx a14x3dxaP(x a)af (x)dxa4x3dx,联立,oa4x3dx,o；4x3dx解之得1：a 422 .设F1 (X )与F2 (X )分别为随机变量 X1与X2的分布函数，为使F (X )= aF1(x)bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它

7、的各组值中应取(3222A.a= ,b B .a=,b=55331313C.a=b=D .a=,b=2222F(+)=a F1 (+ )-BF2 什)=1 a b 1a -,b 2适合53.已知随机变量的分布函数为F(x) = A + B arctgx ，则：( B)4.设离散型随机变量X仅取两个可能值X1和X2,而且X1 X2, X取值X1的概率为11、A=B=B、A=-22B=丄C、A=1B= _21 1D、A=B=2解:要熟悉arctgx的图像F()A Barctg (),1AB2 ;F()A Barctg (),0AB2 ;联立求解即可。x12p0.60.4B.0.6,又已知 E (X

8、 )= 1.4, D (X)= 0.24，贝U X的分布律为 ()x01p0.60.4A.xnn +1p0.60.4C.xabp0.60.4D.1.4=EX=0.6X 1+0.4X2DX=EX 2-(EX) 22 2 20.24(xi * 0.6 X2 * 0.4) 1.4联系、解得Xi = 1, Xa=25现有10张奖券，其中8张为2元,2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为（）A 6 元B 12 元C. 7.8 元D 9 元故期望值为:7.86.随机变量X的概率分布是：X123411Pab64111 2A、a=_ ,b=B、a= ,b=6412 12a b1

9、(丄丄） 故选D64127.下列可作为密度函数的是(B1x 0A、(x)71 x2x 0L 0(x ea)x aB、(x)L 0其它则：（D)1511C、 a= ,b=D、a=.,b=-121243)sin x0 x 0,其它设表示得奖金额，则其分布律为:6（3张2元的）9（ 2张2元，1张5元的）12 （1张2元，2张5元的）P3C832 1C8C231 2C8C23C10C10C10其它当EX= 时取到最大值，因为不是整数，而 K必须为整数，因此需要对取整 （X）0(x)dx1(x)0(x) dx 18.设X的概率密度为(x)，其分布函数F ( x),则(D）成立。A、P(x)F(x)B、

10、0(x)1C、P(x)(x)D、P(x)F(x)x0 x19.如果x (x)，而(x)2 x1x2 ,则 P ( x1.5 )L 0其它C)1.51.51.5A、(20 x)dxB、0 x(2 x)dxC、0.875D、(2x) dx11 .57xdx(2 x)dx0.87501810.若随机变量X的可能取值充满区间5那么Sinx可以作为一个随机变量的概率密度函数。(B )A .0,B .0.5,C.0, 1.5D.,1.5依据密度函数的性质:进行判断得出:B为正确答案(依据密度函数的性质:进行判断得出：B为正确答案11.某厂生产的产品次品率为5% ,每天从生产的产品中抽 5个检验，记X为出现

11、次品的个数，则E（X）为.A. 0.75B . 0.2375C. 0.487D . 0.25此题 X 服从二项分布 b(5,0.05),EX= np=5*0.05=0.2512.设X服从二项分布，若(A . K =( n+ 1) PC. K=nPn + 1) P不是整数，则 K取何值时，P (X = K)最大?( D )B. K =( n + 1) P-iD. K = (n + 1) P 解：根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX=np时取到最大值，由于（n + 1) P不是整数，因此需要寻找最接近 np的整数。13.设X服从泊松分布，若不是整数，则K取何值时，P ( X = K)最大?(B

12、 )A .B . C. 1D .+ 1解:根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知:14. X N(0,1) , Y=2X 1,则 Y (C)A、N (0, 1)B、N (1 , 4)C、N (-1 , 4)D、N (-1 , 3)DY D (2X 1) 4DX 4, EYE (2X1) 2EX 1115.已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为：(CA. 2B . 1/4C. 1/2D飞随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/216.当满足下列()条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。(D)A. n,np(二项分布的泊松近似)B . n,p 0C. p 0,

13、 npD. n0(2)0.97725，贝U P X 5 和17设 X N(10,25),已知 0(1)0.8413 ,P X 20的概率分别为 C A. 0.0228,0.1587B. 0.3413,0.4772C. 0.1587,0.0228P (X 5)。(5 10)。( 1)5P (X 20) 1 P (X 20) 110(1) 1 0.84130.15870严 10) 1(2)0.02285D. 0.8413,0.97725A 2B 5f(x)dx 1f(x)=B X1 v X 20其它试求:(1)常数 A、B。(2)分布函数F (x)13(3) P ( - v X -)解:(1)由X

14、为连续型随机变量，im”imf (x)f(1),即:(B X)f(1)x1x 1B 1 A三、计算题：1.设随机变量X的密度函数是连续型函数，其密度函数为:AX0v X 1同时:、式联系解得：A=1 , B=2(2) F(x)3)20 xx0112x211xx22X3)F(3)F(2)2XT1 - 2X0 1-232X.71/V1 - 212X.73 -/V1 一 23 - 222.设已知X (x) = /2x00 x 1其它，求： P ( X 0.5)则当x0时,F(x)0；x1 2当0 x 1,F(x)tdt-x ;021x11 2x1 2当1x 2,F(x)xdx(2 t)dt(2t -

15、t2)2x -x2 10122120.51解： P (X 5)2xdx 04F (x)x(t)x 2dt2tdtx200, x0F (x)x2,0 x 11, x1 Y Fy(v)p(Y y)y 1y 1p(3X 1 y) p(X) Fx()33y1 1Y(y) FyW)x(-3 ) 32 1 (. y -(1y 4)Y(y)990（其他）XX (x)3.设随机变量X的密度函数为:1(0 x 1)0(其他)x2 x4其他解：（1）2axdx0EXax2dx：(cx2bx)dx8a 56c 6b333已知 EX = 2, P (1X 9280解得:20| :26取最小 =211上式：x f (x

16、)20010 x 30其他6.某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：直接进口， 租用设备， 与外商合资。不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表：自制进口租赁合资固定成本（万元）1204064200每件可变成本（元）601008040已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售 0.8万件，按以往经验，畅销的可能性为0.2，中等的为0.7,滞销的为0.1，请为该厂作出最优决策。825000 (y 3500)2 y=3500时，利益最大5.设某种商品每周的需求量 X服从

17、区间10 , 30上均匀分布，而经销商店进货量为 10 , 30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利300元，为使商店所获利润期望值不少于 解：设进货量为a,则利润为：Ma 5009 (X a)300500 x (a x)100解：设B销量，Al自制，A2 进口，A3租赁，A4 合资销量畅销3.5万件中等销售2.5万件滞销0.8万件概率0.20.70.1最优决策的含义是：利润最大化 总成本=固定成本+销售量*可变成本E(B) 2.53万 件E(A)2.53200(1202.5

18、360)234.2Eg)2.53200(402.53100)213E(A3)2.53200(642.5380)239.6Eg2.53200(2002.5340)204.8A为最优方案，即租用设备。7.某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下:需求量（本）50100150200概率20%40%30%10%假定每本新书的订购价为 4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订购 新书的数量。解：分析：当订货量大于需求量时， 则多出的每本处理后亏损 2元；当订货量小于需求量的 时候，则卖出去一本就可以获利 2元。针对不同的需求量和订货量的收益表如下：订量y需求5010

19、0150200收益概率0.20.40.30.1y150100100100100y21000200200200y3150-100100300300y4200-2000200400 TOC o 1-5 h z Ey1 100 0.2 100 0.4 100 0.3 100 0.1100Ey2 0 0.2200 0.4200 0.3 200 0.1160Ey3 100 0.2 100 0.4300 0.3 300 0.1140Ey4 200 0.20 0.4 200 0.3 400 0.160故订100本较合理。若连续型随机变量X的概率是2ax bx c（0 x 1）（X）0（其他）已知 EX =

20、0.5, DX = 0.15，求系数 a, b, c。解:(x)dx 1x (x)dx 0.5I x2 (x)dx D (E )0.4解方程组得：a 12 b 12 c 3五件商品中有两件次品，从中任取三件。设E为取到的次品数，求E的分布律、 数学期望和方差。解：E的分布律为E0 1 2P1/10 6/10 3/10EE = 1.2; DE = 0.36某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布，平均成 绩72分，96分的以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的概率。解：XN (72,2)96 7224P(X 96)10()10()0.0232.3

21、%s即:。(迢)0.977,122X N(72,12 )84726072P(60 X 84) o() o()0(1)0( 1)0.68212 12假设一电路有3个不同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为 0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。解：设Xi表示第i个电气之元件无故障工作的时间，i=1,2,3,则X1X2X3独立且同分布,分布函数为： F(x)设G (t)是T的分布函数。当 t0 时，G (t) =0当t0时，G (t) P T t1P Tt1P X1t , X 2t, X 3t1P X1

22、t P X2 t P X31P(Xt)311 F(t)33t)11(1 e(et)3G(t)1 e 3 t,(t0)0,(t0)T服从参数为3的指数分布12.设从一批材料中任取一件测出这种材料的强度XN( 200, 18 2)，该材料的强度不低于 180的概率； 若某项工程要求所用的材料强度要以证不低于 150，问这批材料是否合乎要求？解: P(X 180)P(X 150)0.9973 大于0.99，故这批材料合要求。13.生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现有这20件产品中，废品不少于 3件的概率为多大？求：取出的99%的概率保0.86652件废品，则解:=“ 20件产品中废品数目”,l b(20,0.1)“初步检查已发现有2件废品”“废品数不少于3件”p=0.1q=0.9n=20.20k 20 k0.1 0.