曲线积分与格林公式总结资料讲解

1、曲线积分与格林公式总结一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在 点(x y)处的线密度为(x y)求曲线形构件的质量把曲线分成n小段S1S2sn( s也表示弧长)任取(ii)s得第i小段质量的近似值(ii) Sin整个物质曲线的质量近似为M ( i, i) Si 1令 max siS2sn 0则整个物质曲线的质量为nM lim ( i, i) s0i 1这种和的极限在研究其它问题时也会遇到定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L上有界 在L上任意插入一点列Mi M2Mn i把L分在n个小段.设第i个

2、小段的长度为s又(ii)为第i个小段上任意取定的一点作乘积f( i i) si (i 1 2 n )并作和nf( i, i) si如果当各小弧段的长度的最大值0这和的极限总存在 则称此i 1极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作n.f(x,y)ds 即 L f(x,y)ds lim f( i, J sLL0i 1其中f(x y)叫做被积函数L叫做积分弧段设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上并且有界将L任意分成n个弧段S1 S2sn并用s表示第i段的弧长n在每一弧段Si上任取一点(i i)作和 f ( i, i) Sii 1令 max si S2Sn如果当

3、0时这和的极限总存在则称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分记作Lf化y)ds即n.f(x,y)ds lim f( i, J sL0i i其中f(x y)叫做被积函数L叫做积分弧段曲线积分的存在性当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分l f(x, y)ds是存在的 以后我们总假定f(x y)在L上是连续的根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分L (x, y)ds的值其中(x y)为线密度n对弧长的曲线积分的推广f(x,y,z)ds lim f( i, i, i) si0i i如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或 )上的曲线积分

4、等于函数在光 滑的各段上的曲线积分的和例如设L可分成两段光滑曲线弧Li及L2则规定.f (x,y)ds L f(x, y)ds L f (x,y)dsJ L2L1L2闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线 积分记作:L f (x,y)ds对弧长的曲线积分的性质性质1设C1、C2为常数贝ULcif(x,y) C2g(x,y)dsLf(x,y)ds C2 Lg(x,y)ds性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧Li和L2则.f (x,y)ds L f (x, y)ds L f (x, y)dsL L1L2性质3设在L上f(x y) g(x y)则Lf (x,y)d

5、s Lg(x，y)ds特别地有I L f(x, y)ds| L| f (x,y)|ds二、对弧长的曲线积分的计算法根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(x y)则曲线形构件L的质量为Lf (x,y)ds另一方面 若曲线L的参数方程为x (t) y (t) ( t )则质量元素为f(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt曲线的质量为f (t), (t)h.2(t)2(t)dt即 Lf(x,y)ds f (t), (t)、2(t)2(t)dt定理设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x (t) y (t) ( t )其中(t)、(t)在上具有一阶连续

6、导数 且2(t)2(t) 0则曲线积分l f(x, y)ds存在且Lf(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt( )证明(略)应注意的问题 定积分的下限 一定要小于上限讨论若曲线L的方程为y (x)(a x b)贝U Lf(x,y)ds ? 提示 L的参数方程为x x y (x)(a x b)Lf(x, y)ds ：fx, (x) ,12(x)dx若曲线L的方程为x (y)(c y d)贝U l f (x, y)ds ? 提示L的参数方程为x (y) y y(c y d)L f(x,y)ds d f (y),y、2(y)1dyLc若曲 的方程为x (t) y (t) z (t)

7、( t )则 f(x,y,z)ds ?提示 f(x, y,z)ds f (t), (t), (t)2(t)2(t)2(t)dt例1计算LV?ds其中L是抛物线y x2上点0(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧解曲线的方程为y x2 (0 x 1)因此L、yds x2 .J (x2) 2dx0/1 4x2dx 12(5/5 1)例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量1(设线 密度为 1)解取坐标系如图所示 则I L y2ds曲线L的参数方程为x Rcos y Rsi n (0是比例常数于是 W 阳 kxdx kydy k 阳 xdx ydyk J( a2costsint

8、b2sintcost)dtk(a2 b2) 02sintcostdt (a2 b2)三、两类曲线积分之间的联系由定义得LPdx Qdy L(Pcos Qsin )dsLP,Qcos ,sin ds F dr其中F P Q T cos sin为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量dr Tds dx dy类似地有Pdx Qdy Rdz (Pcos Qcos Rcos )dsP,Q,R cos ,cos ,cos ds F dr其中F P Q R T cos cos cos为有向曲线弧 上点(x y z)处单们切向量 dr Tds dx dy dz 一、格林公式单连通与复连通区域设D为平面区域 如

9、果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D则称D为平面单连通区域否则称为复连通区域对平面区域D的边界曲线L我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方 向行走时D内在他近处的那一部分总在他的左边区域D的边界曲线L的方向定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数则有Q P ( )dxdy : Pdx Qdy x y L其中L是D的取正向的边界曲线简要证明仅就D即是X 型的又是Y型的区域情形进行证明设D (x y)| i(x) y2(x) a x b因为-p连续 所以由二重积分的计算法有 dxdyy2(x)i(x)巴严ddXbaPx, 2(X) Px,

10、i(x)dx另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有Pdx LPdxLPdxbaPx, i(x)dxaPx, 2(x)dxbPx, i(x) Px, 2(x)dxa因此Pdxdy yPdx设 D (x y)| i(y) x2(y) c y d类似地可证 dxdyxQdx由于D即是X型的又是Y型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得Q dxdyPdx Qdyx yL应注意的问题且边界对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分的方向对区域D来说都是正向设区域D的边界曲线为L取P y Q x则由格林公式得、 12 dxdy L xdy ydx 或 A dxdy L xdy yd

11、x DD例1椭圆x a cos y bsin所围成图形的面积 A分析只要弓于1就有DP)dxdy dxdy AyD解 设D是由椭圆x=acos y=bsin所围成的区域令P 2yQ 2x则Q Px y于是由格林公式A dxdy D1 1 ydx xdyydx xdy2 0 (absin2abcos2 )d-ab 2 d ab2例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明2xydx x2dy 0证令P 2xy Q x2则-QxP2X2x 0因此 由格林公式有2xydxx2dyOdxdy 0 （为什么二重积分前有“D”号？）2例3计算 e y dxdy其中D是以0(0D0) A(1 1) B(0 1)

12、为顶点的三角形闭区分析要使号上异只需p2xe y解令P 0 Qxe y2 则-Qxey2因此由格林公式有e y?dxdyDxe dyOA AB BOxe dyOA1xe0 x2dx 1(1 e1)例4计算；xdy 睜 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭L x y曲线L的方向为逆时针方向解令 PQ -2x yx二则当x2 y20时有号八弋记L所围成的闭区域为D当(0 0) D时由格林公式得0当(0 0) D时在D内取一圆周x2 y2 r 2(r0)由L及I围成了一个复连通区域D 1应用格林公式得. xdy ydx . xdy ydx 0l x2 y2I x2 y20r2曲严汗d 2r其中I的方向取逆时针方向于曰xdy ydx ” xdy ydx 于疋 I x2 y2 I x2 y2解记L所围成的闭区域为当(0 0) D