第五章 二次型-优质课件

1、第五章二次型7/25/20221线性代数第五章 二次型1 二次型及其标准形2 用合同变换化二次型为标准型3 用正交变换化二次型为标准型4 二次型的分类7/25/20222线性代数1 二次型及其标准形一、二次型的概念及矩阵表示二、非退化的线性交换三、用配方法化二次型为标准形7/25/20223线性代数一、二次型的概念及矩阵表示考虑方程在平面上代表什么曲线？(1)7/25/20224线性代数将坐标系（O, x, y) 顺时针旋转45,即令(2)则得曲线在坐标系(O, u, v)中的方程：(3)从而曲线为一椭圆。o7/25/20225线性代数 定义 1将 n 元二次齐次式称为 n 元二次型。 二次型

2、依其系数是实数或复数而分别称为实二次型或复二次型。我们仅讨论实二次型。取 a i j = a j i ; 则 2ai j xi xj = ai j xi xj + aj i xj xi所以f (x1, x2, , xn)(4)二次型还可以用矩阵表示7/25/20226线性代数则：f (x1, x2, , xn)= x1(a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn)+ x2 (a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn)+ + xn (an1 x1 + an2 x2 + + ann xn)= (x1, x2, , xn)a11 x1 + a12 x2 + + a1n xna2

3、1 x1 + a22 x2 + + a2n xnan1 x1 + an2 x2 + + ann xn= (x1, x2, , xn)7/25/20227线性代数简记为f = X T AX(5)其中：X = 称矩阵 A 为二次型 f 的矩阵，方阵 A 的秩 为 二次型的秩。显然(1) A是对称矩阵f (x1, x2, , xn)A(2)7/25/20228线性代数例1写出二次型的矩阵及其矩阵表示式：解:则令7/25/20229线性代数例2写出二次型的矩阵和矩阵表示式：解:令则矩阵是对角矩阵7/25/202210线性代数 定义2只含有平方项的二次型称为 n 元二次型的标准形。显然，标准二次型对应的

4、矩阵为对角阵。7/25/202211线性代数定义3对于线性交换x1 = q11 y1 + q12 y2 + + q1n ynx2 = q21 y1 + q22 y2 + + q2n yn xn = qn1 y1 + qn2 y2 + + qnn yn(6)当是满秩(可逆)矩阵时,称线性变换(6)为非退化(或 满秩)的线性变换。二、非退化的线性交换7/25/202212线性代数简记为X = QY其中：x1 = q11 y1 + q12 y2 + + q1n ynx2 = q21 y1 + q22 y2 + + q2n yn xn = qn1 y1 + qn2 y2 + + qnn yn7/25/

5、202213线性代数定理1任一二次型 f ，其中:y1, y2, , yn 是原变量 x1, x2, , xn经满秩的线性变换后得到的新变量。通过非退化的线性变换化成标准型都可化二次型为标准型的方法：1. 配方法2. 合同变换3. 正交变换7/25/202214线性代数例3化二次型 f = x12 + 2x22 x32 + 4x1x2 4x1x3 4x2x3 为标准形，并写出所作的线性变换。= x12 + 4x1( x2 x3 )= (x1 + 2x2 2x3)2 2x22 + 4x2x3 5x32= (x1 + 2x2 2x3)2 2(x22 2x2x3 + x32 ) 3x32= (x1

6、+ 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32解：+ 2x22 x32 4x2x3x12 + 4x1( x2 x3 )f = 4(x2 x3)2 + 2x22 x32 4x2x3+ 4(x2 x3)2三、用配方法化二次型为标准形7/25/202215线性代数令：y1 = x1 + 2x2 2x3y2 = x2 x3y3 = x3则：f = y12 2y22 3y32为标准型其中：是非退化的线性变换。f =(x1 + 2x2 2x3)2 2(x2 x3)2 3x32即：线性变换为：x1 = y1 2y2 x2 = y2 + y3x3 = y3即：7/25/202216线性代数例4化二次型

7、f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 为标准形，并写出所作的线性变换。解：由于 f 中不含平方项，故先通过线性变换来构造平方项。令：x1 = y1 + y2 x2 = y1 y2 ,x3 = y3即：7/25/202217线性代数则f = 2 y12 2 y22 + 2 y1 y3 + 2 y2 y3 6 y1 y3 + 6 y2 y3= 2 y12 4 y1 y3 2 y22 + 8 y2 y3= 2 ( y12 2 y1 y3 + y32 ) 2 y32 2 y22 + 8 y2 y3= 2 ( y1 y3 )2 2 ( y22 4 y2 y3 + 4y32 )+ 6 y32 =

8、 2 ( y1 y3 )2 2 ( y2 2 y3 )2 + 6 y32 令：z1 = y1 y3 z2 = y2 2y3 ,z3 = y3即：则二次型化为标准型 f = 2 z 12 2 z 22 + 6 z 32 7/25/202218线性代数其中：因为：所以所作的线性变换是非退化的。7/25/202219线性代数定理2任意一个二次型都可以用配方法化成标准形。注1：化二次型为标准形时，所用的非退化的线性变换不同，标准形的系数不一定相同，因此，二次型的标准形不是唯一的。7/25/202220线性代数例如：f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3化为标准形：f = 2z12 2z22 +

9、 6z32再作非退化的线性交换得新标准形：f = u2 v 2 + w 2由非退化的线性变换即：7/25/202221线性代数2 用合同变换化二次型为标准型一、矩阵间的合同关系二、用合同变换化二次型为标准型请点击7/25/202222线性代数对于二次型f = X T AX令非退化线性变换为X = QY ,其中：|Q| 0则:f = (QY )TA( QY )其中：B = Q T AQ得:f = Y T BY。= Y T (Q T AQ)YY的二次型新变量 X的二次型变量 可以是对角阵一、矩阵间的合同关系7/25/202223线性代数 定义 1设有两个方阵 A 与 B，若存在一个可逆阵 Q，则称

10、 A 合同于 B，记作B = Q T AQ使7/25/202224线性代数性质反身性传递性证(ii)若B = Q T AQ ,则 (Q T )1 BQ 1 = A即A = (Q 1 ) T BQ 1, 对称性(iii)若B = Q1 T AQ1 ,C = Q2 T BQ2 ,则 C = Q2 T (Q1 T AQ1 ) Q2 即 C = ( Q1 Q2 ) T A ( Q1 Q2 ),7/25/202225线性代数表示对 A 作一次行初等变换后再作同一类型的列变换。结论：A 可经过一系列同一类型的行列初等变换(也称合同变换)化成对角矩阵B。存在可逆阵Q ，由 Q 可逆 ,则 Q = p1 p2

11、 pm有若B = Q T AQ ,使( p1 p2 pm)T A ( p1 p2 pm)()P2T P1T A P1 P27/25/202226线性代数问题：求 Q？Q = p1 p2 pm= E p1 p2 pm即：对 E 施行与 A 同类型的列初等变换，即得 Q进行一系列行列同型的初等变换只进行同类型的列初等变换()P2T P1T A P1 P2BAEBQ7/25/202227线性代数例1化二次型 f = x12 + 2x1x2 4x1x3 + 3x22为标准型。解：f = ( x1 x2 x3 )r2 r10 2 2c2 c1021AE7/25/202228线性代数得作变换 X = QY

12、, 化二次型 f 为标准型f = Y T BY= y12 + 2y22 6y32r3 2r1c3 2c1r3 r2c3 c2BQ=12 6B = Q T AQ其中:12 6007/25/202229线性代数3 用正交变换化二次型为标准型一、正交矩阵二、正交变化三、实对称方阵的特征值、特征向量四、用正交变换化二次型为标准型请点击7/25/202230线性代数二、正交变化1. 定义2若 P 为正交矩阵，则称线性交换X = PY 为正交变换。注1 : 正交变换是非退化 (满秩) 的线性变换。注2 : 若 X = PY 为正交变换，则|X | =即 正交变换保持向量的长度不变。7/25/202231线

13、性代数定理对二次型 f = X T AX 一定存在正交变换 X = PY 化二次型为标准型f = X T AX= Y T P T A P Y= Y TY7/25/202232线性代数若存在正交阵 P，使 P T A P =而 P T = P 1，记 P 的列向量组为 1 , 2 , , n 分析：如何求 P ？A P =P则有7/25/202233线性代数有A( 1 , 2 , , n)= ( 1 , 2 , , n) (A 1 , A 2 , , A n)= ( 1 1 , 2 2 , , n n)即A i = i i , i = 1, 2, , n . i 0 i 是 A 的特征值，标准型

14、中的系数 1 , 2 , , n 可由求 A 的特征值得出。得出，正交矩阵 P , 是由求特征向量 1 , 2 , , n而 i 是属于 i 的特征向量.且 1 , 2 , , n是正交的单位向量组。7/25/202234线性代数三、实对称方阵的特征值、特征向量引理1实对称方阵 A 的特征值都是实数证：设 是 A 的特征值，X 是对应的特征向量，即AX = X ,X 0两边取共轭 :A X = X ,再两边取转置 :X TA = X T由于AX = X ，代入(3)式 ,得即得(3)由 X 0 ，即 为实数。所以7/25/202235线性代数引理2实对称方阵 A 对应于不同特征值的特征向量是相

15、互正交的。证：设 是 A 不同特征值，、 分别是属于 和 的特征向量，则 T = ( A ) T = T A T = T ( A )= T = T ( )因 , 故 T = 0而( ) T = 0 ,即 与 正交 .7/25/202236线性代数引理3若 是 n 阶实对称方阵 A 的 k 重根，则 A 的对应于 的线性无关特征向量的最大个数恰为 k .7/25/202237线性代数四、用正交变换化二次型为标准型(化实对称阵为对角阵)步骤：(1) 解特征方程 | A E | = 0 ,得 n 个特征实根 1 , 2 , , n .(2) 对每个 i ( i = 1, 2, , n )，解齐次线性

16、方程组( A E ) X = 0求出对应于 i 的特征向量 .若 i 是 k 重根，有 k 个线性无关的特征向量7/25/202238线性代数(3) 将属于同一特征值的正交化(4) 单位化得正交的单位向量组 1 , 2 , , n取P = ( 1 , 2 , , n )则正交变换 X = PY，化二次型为标准型f = Y TY= 1 y12 + 2 y22 + + n yn27/25/202239线性代数(1)解特征根：标准形式为：例1：用正交化方法化二次型为标准型7/25/202240线性代数(2)对 1 = 3，即：得基础解系：X 1( A + 3E ) X = 0解线性方程组7/25/2

17、02241线性代数即系数矩阵的秩为1，基础解系含有三个向量X 2X 3X 4对 2 = 3 = 4 =1 ,解线性方程组( A E ) X = 07/25/202242线性代数(3) 将 X2 , X3 , X4 正交化取 2 = X2 3 = X3 4 = X4 7/25/202243线性代数(4) 单位化 1 2 3 47/25/202244线性代数故取正交矩阵P = ( 1 2 3 4 )作正交变换 X = P Y, 即7/25/202245线性代数就将二次型 f 化成标准型f = 3 y12 + y22 + y32 + y427/25/202246线性代数4 二次型的分类一、惯性定理二

18、、实二次型的分类三、正定二次型的判定请点击7/25/202247线性代数一、惯性定理对于二次型 f = X T AX，经过非退化的线性变换X= QY其中:则r (A) = r ( B ) = r , 且 r 为对角线上非零元的个数B = Q T AQ00化成标准型 f = Y T BY7/25/202248线性代数定理1(惯性定理)设二次型 f = X T AX 的秩为 r n 若有两个非退化的线性变换将 f 分别化为:f = 1 y12 + 2 y22 + + r yr2,( i 0, i =1, 2, , r )f = l1 z 12 + l2 z22 + + l r z r2,(l i

19、0, i =1, 2, , r )则 i 中正数个数与 l i 中正数个数相同. (从而负数个数也同)7/25/202249线性代数其中：系数 i 中正数的个数 p, 负数的个数 g = r p, p g, 称为符号差.f = 1 y12 + 2 y22 + + r yr2,称为二次型 f 的正惯性指数。称为二次型 f 的负惯性指数。7/25/202250线性代数例如：二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 6x2x3 经非退化的线性变换化成标准型f = 2 y12 2 y22 + 6 y32还可经非退化的线性变换化为标准型f = z12 z22 + z327/25/202251线性代数推

20、论：任一二次型 f = X T AX 都可经非退化的线性变换化成规范型f = z12 + z22 + + z p2 z 2p+1 z r2且规范型是唯一的.7/25/202252线性代数二、实二次型的分类定义1对于二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = X T AX 如果对于任意一组不全为0的实数 c1 , c2 , , cn (1) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,矩阵 A 为正定矩阵;(2) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是负定的;(3) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是半正定的;(4) 恒有 f

21、(c1 , c2 , , cn ) 0,则称二次型是半负定的;(5) 恒有 f (c1 , c2 , , cn ) 有时为正，有时为负,则称二次型是不定的 .则称二次型是正定的，7/25/202253线性代数定理2设秩为 r 的 n 元二次型 f = X T AX经非退化的线性变换 X = QY 化为标准型f = k1 y12 + k2 y22 + + k r yr2,( k i 0, i =1, 2, , r )且设 f 的正惯性指数为 p ( 1 p r ), 则(1) 当 p = r = n 时，(2) 当 p = r n 时，(3) 当 p = 0 , r = n 时，(4) 当 p = 0 , r n 时，(