第2章线性系统的数学模型-课件

1、第二章 线性系统的数学模型第一节 线性系统的输入输出时间函数描述第二节 线性系统的输入输出传递函数描述第三节 非线性数学模型的线性化第四节 典型环节的数学模型第五节 建立数学模型的实验方法第六节 系统方框图及其化简方法第七节 信号流程图Chapter2 Mathematical Modeling of Linear Control System2.1 Time Function about Input-Output of Linear Control System2.2 Transfer Function about Input-Output of Linear Control System2

2、.3 Linearization of Nonlinear Mathematical Models2.4 Dynamic Characteristic of Typical systems2.5 Modeling Physical System experimentally2.6 System Block Diagram and Reduction2.7 State Flow ParagraphsQuestion 1:为什么建立数学模型？（Why build the Mathematical Model） 主要任务：分析和设计(Analysis and Design)Question 2:怎样

3、建立数学模型？（How to build Mathematical Model）数学模型的建立原则(Rules of math modeling)分清主次，合理简化，选定类型，整理归纳数学模型的建立方法(Math modeling methods)分析法(analytical methods)： 据物理化学规律推导实验法(experimental methods)： 据实验数据拟合控制系统数学模型的定义(definition for control system mathematical modeling)揭示系统各变量内在联系的数学表达式和关系图表数学模型的类型(Types of mathe

4、matical modeling)静态特性模型(static character)和动态特性(Dynamic Character)模型图(graph)，表(table)，表达式(expression)图(graph)： 方框图(block diagram)，信号流图(SFG: signal flow graph)，特性关系图(characteristic graph)表达式(expression)： 微分方程(differential equation)，传递函数(transfer function)，频率特性函数(frequency characteristic function)，差分方程

5、(difference equation) 2.1 Time Function about Input-Output of Linear Control System机理分析法(analytical methods)： 据物理化学规律推导建立模型的步骤划分系统元件, 确定各元件的输入和输出根据物理化学定律列写各元件的动态方程式, 为使问题简化可忽略次要因素 物理化学定律例如: 牛顿第一定律,能量守恒定律,基尔霍夫定律,欧姆定律，道尔顿定律消除元件动态方程式中的中间变量, 推导元件的输入输出关系式整理出系统的输入输出关系式Example 1： Mechanical System弹簧阻尼系统如图，

6、弹簧系数 K，质量 M，阻尼系数为C，外力F(t),位移为y，求该系统的输入输出描述。解: 根据牛顿第二定律微分方程(differential equation）Example 2：RLC电路，求 为输入， 为输出的微分方程。线性元件的微分方程电气元件组成的系统（电路系统）列写系统运动方程前，要先确定输入变量、输出变量微分方程(differential equation）LCRExample3：电枢电压控制直流电动机，求系统微分方程 以 为输入，以电动机转角 为输出。电枢回路电压平衡方程SM负载电磁转矩方程电动机反电势转角、角速度和速度之间的关系若以电动机转角 为输出量，电枢电压 为输入量，

7、消去中间变量，得到直流电动机的微分方程电动机轴上转矩平衡方程控制系统微分方程的建立线性定常系统的数学模型的一般形式：基本步骤（Basic process ）（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量实验法(experimental methods)：根据实验数据拟合针对一些较复杂的系统（或过程），机理分析法不能得到。辨识：优点：系统内部结构不知道，则从初始条件为0的线性定常系统，测出输入及输出的实验数据，求得系统的数学模型。介绍一种实验建模机理：out

8、putinputsystem2.2 Transfer Function about Input-Output of Linear Control SystemDisadvantages of time function about input-output of linear control system：Ideas and solve methods： Laplace transform t s传递函数的推导（deduction of transfer function）：拉普拉斯变换Laplace transform定义(definition)拉氏变换(Laplace transform)

9、的定义 其中 x(t)-原函数, X(s)-象函数, 复变量 s = + j 拉氏反变换(inverse Laplace transform)的定义 拉氏变换的性质与定理characters and theorems of Laplace transform 1) 线性定理（Linear Theorem）2) 微分定理（Differentiation Theorem）3) 积分定理（Integration Theorem）4) 终值定理（Final-Value Theorem) 5) 初值定理（Initial-Value Theorem） 6) 迟延定理（Shifting in time Th

10、eorem)7) 位移定理（Complex Shifting Theorem) 8) 卷积定理 (Real Convolution Theorem or Complex Multiplication theorem)传递函数(Transfer Function)1 定义(definition)文字定义: 零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比。数学式定义: 设输入为r(t),输出为 c(t) ,则系统的传递函数为2 传递函数的求取方法(Methods of getting transfer function)1) 对微分方程进行拉氏变换(零初始条件)2) 对脉冲响应进行拉氏

11、变换3) 实验建模方法 (详见2.5 节)Methods of getting transfer function1) 对微分方程进行拉氏变换(零初始条件) 系统微分方程 零初始条件拉氏变换 整理得传递函数 规范形式: A(s)为首一多项式, a0 =1Methods of getting transfer function几个基本概念（Basic conceptions) 传递函数的极点：传函分母为0时，即 的根。 极点即为系统微分方程的特征根。 传递函数的零点：传函分子为0时，即 的根。 Methods of getting transfer function2) 对脉冲响应进行拉氏变换

12、取输入 x(t)=(t) 则有 X(s)=1 所以输出 C(s)=G(s)X(s)=G(s) 这样有传递函数求取公式： 当 x(t)= (t)， G(s)=Lc(t) G（s）X（s）C（s）传递函数的性质（characters of transfer function）1)传递函数的系数和阶数均为实数，只与系统内部结构参数有关而与输入量初始条件等外部因素无关2）实际系统的传递函数是S的有理分式（nm）3)传递函数是物理系统的数学模型，但不能反映物理系统的性质，不同的物理系统可有相同的传递函数4）单位脉冲响应是传递函数的拉氏反变换5）传递函数只适用于线性定常系统6）传递函数可以有量纲，也可以无

13、量纲Example 1： Mechanical System弹簧阻尼系统如图，弹簧系数 K，质量 M，阻尼系数为C，外力F(t),位移为y，求该系统的输入输出描述。解: 根据牛顿第二定律微分方程(differential equation）传递函数（transfer function）2.3 Linearization of Nonlinear Mathematical Models Nonlinear Systems A system is nonlinear if the principle of superposition does not apply. Thus, for a nonl

14、inear system the response to two inputs cannot be calculated by treating one input at a time and adding the results.Linearization of Nonlinear Systems Linearization within limited operating rang of equilibrium point 小范围线性化Example2.3 Linearization of Nonlinear Mathematical Models Linear Approximation

15、 of Nonlinear Mathematical Models The Linearization procedure to be presented in the following is based on the expansion of nonlinear function into Taylor series about the operating point and the retention of only the linear term.Consider: input is r(t)，output is c(t), equilibrium point is (r0,c0)C-

16、Co=C，r-ro= rThen：cKr2.3 Linearization of Nonlinear Mathematical Models Consider: input is r1(t)、r2(t)，output is c(t), equilibrium point is (r10, r20,，c0)C-Co=C，r1-r1o= r1， r2-r2o= r2Then： cK1r1 K2r2在处理线性化问题时，应注意以下几点：（1）线性化方程中的参数。（与工作点有关）（2）当输入量变化范围较大时，用小范围线性化方法处理会有较大的误差。（3）若非线性特性是不连续的，在不连续领域不能得到收敛的泰

17、勒级数，不能采用上述方法线性化。（本质非线性）（4）线性化后得到的微分方程，是增量微分方程。2.4 Dynamic Characteristic of Typical systems2.4.1 比例环节（Proportion Component）2.4.2 惯性环节（Inertial Component）2.4.3 积分环节（Integral Component）2.4.4 微分环节（Differential Component）2.4.5 振荡环节（Oscillation Component）2.4.6 迟延环节（Time-delay Component）2.4.1 比例环节(放大环节、零阶

18、环节）（Proportion Component) 动态方程（Dynamic equation）: c(t)=K r(t)传递函数（Transfer function）: K放大系数，通常都是有量纲的。方框图（Block Diagram）:阶跃响应（Step response）特点:输入与输出成比例，无滞后、不失真成比例复现。 Kr(t)c(t)tc=Kr0r=r0Example1: 电阻电路 U=RIExample2:共射极晶体管放大器Example3：地震式加速度计被测物绝对位移x，质块m相对壳体位移xoIUR集电极Ic基极IbExample4：输入：n1(t)转速 Z1主动轮的齿数 输出

19、：n2(t)转速 Z2从动轮的齿数运动方程：传递函数：2.4.2 惯性环节（Inertial component）动态方程(Dynamic Equation):传递函数(Transfer Function): 方框图(Block Diagram):阶跃响应(Step response) :特点(Characteristic): 此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。T决定过渡过程时间,K 决定稳态输出值. tr=r0TcKr00.632Kr0Example1：直流电机输入量: ud 电枢电压输出量： id 电枢电流动态方程如下：运动方程：传递

20、函数: 式中 Ld 电枢回路电感； Rd 电枢回路电阻； d 电枢绕组的时间常数；其他一些惯性环节例子Examples of Inertial component 2.4.3 积分环节(Integral Component) 动态方程(Dynamic Equation):传递函数(Transfer Function): 方框图(Block Diagram):阶跃响应(Step response) :特点(Characteristic): 为积分时间常数， 大则积分慢tr=1TExample1：积分电路输入为r(t)，输出为c(t) 运动方程： 传递函数： （T=R1C） 其它积分环节举例Exa

21、mples of integral component2.4.4 微分环节（Differential Component）动态方程: (理想)传递函数:方框图：阶跃响应:特点:T 决定了微分作用时间实例: tr=r0Tdr0IUoCUiR0.368Kr0G(s)Example1: RC电路 设：输入ur(t) 输出uc(t) 消去i(t)，得到：运动方程： 传递函数： （Tc=RC） Tc）r=r0c(t)QiQo 2.4.7 一阶微分环节 特 点：此环节的输出量不仅与输入量本身 有关，而且与输入量的变化率有关运动方程：传递函数： G( s ) = Ts + 12.4.8 二阶微分环节 特点：

22、输出与输入及输入一阶、二阶导数都有关运动方程： 传递函数： 可以看出，二阶微分环节的传递函数和频率特性是振荡环节的倒数。 物理系统的相似性物理系统遵循基本的物理定律, 不同的物理系统质同形不同, 有相似性.三种物理系统的相似性: 物理系统 势 流 阻 容 感 RLC串联网络 U I R 1/C L q 弹簧阻尼系统 F v f k m y 机械旋转系统 T w f k J 利用物理系统的相似性, 可使机理分析建模工作大为简化小结（1）不同物理性质的系统，可以有相同形式的传 递函数。 例如：前面介绍的振荡环节中两个例子，一个是机械系统， 另一个是电气系统，但传递函数的形式完全相同。 （2）同一个

23、系统，当选取不同的输入量、输出量 时，就可能得到不同形式的传递函数。 例如：电容：输入电流，输出电压，则是积分环节。 反之，输入电压，输出电流，则为微分环节。2.6 System Block Diagram and ReductionDefinition of block diagram图模型的一个突出优点是直观、形象，是工程上用来分析复杂系统的重要手段。方块图组成的四个基本单元： （1）信号线；（2）分支点(又叫测量点) ； （3）汇合点(又叫比较点) ；（4）方块（又叫环节）；系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来，它一种对系统的全面描写。2.6 System Block Di

24、agram and Reduction框图元素（1）信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。（2）分支点（引出点、测量点）Branch Point表示信号测量或引出的位置 （3）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。 “+”表示相加，“-”表示相减。“+”号可省略不写。 注意：进行相加减的量，必须具有相同的量纲。图(3) -R2(s)R1(s)R1(s)-R2(s)+11+22+11-2+32-3+G(s)R(s)C(s) 图（4） 方块图中的方块信号线方块（4）方块（Block Diagram）

25、:表示输入到输出单向传输间 的函数关系。r(t)c(t)Block Diagrams of typical components环节的连接方式及其简化 1、串联运算法则 因为 结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环节传递函数的乘积。 G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s) 注意：对于串联环节，要考虑系统的负载效应。负载效应：对于两个以上的物理元件组成的系统，由于一个元件的存在使另一个元件在相同输入下的输出受到影响。例:下图为RC四端无源网络。试列写以U1(t)为输入量，U2(t)为输出量的网络微分方程。解：设回路电流i1、i2，根据克希霍夫定律，列写方程组如下U1 R1R2U2C

26、1C2图 RC组成的四端网络(1)(2)(3)(4)(5)由(4)、(5)得由(2)导出将i1、i2代入(1)、(3)，则得U1 R1R2U2C1C2图 RC组成的四端网络 这就是RC四端网络的数学模型，为二阶线性常微分方程。此即为RC四端网络的传递函数。RCi（a）iuou图 一阶RC网络 解：根据基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得对其进行拉氏变换得 RC电路的传递函数传递函数为： 2、并联运算法则 因为所以 结论：多个环节并联后的传递函数等于所有并联环节传递函数之和。 G(s) = G1(s) + G2(s) + + Gn(s) 3、反馈运算法则 前向通道和反馈通道传递函数分别为G ( s

27、 )、 H ( s ) 结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积。方框图化简的几个基本概念：前向通道传递函数：假设N(s)=0 ,打开反馈后，输入端对应比较器输出 E(s) 到输出端输出 C(s) 所有传递函数的乘积，记为 G(s)。 反馈通道传递函数：假设N(s)=0，输出 C(s) 到 输入端比较器的反馈信号 B(s) 之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)。开环传递函数Open-loop Transfer Function：假设N(s)=0，反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s) 到输入端对应的比较器的反馈

28、信号 B(s) 之间所有传递函数的乘积，记为GK(s), GK(s)=G(s)H(s)闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function：假设N(s)=0，输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。误差传递函数:假设N(s)=0，误差信号E(s)与输入信号R(s)之比 。（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示。（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的框图。 系统框图也是系统数学模型的一种表示。 框图的绘制方框图等效变换（Block Diagram Reduction）1. 变换原则（principia

29、 of reduction） （1）变换前后前向通道中的传递函数乘积保持不变；（2）变换前后回路中的传递函数乘积保持不变；2. 等效变换规则（Rules）串联 并联 反馈 取出点（分支点）前移 取出点（分支点）后移 汇合点（相加点）前移 汇合点（相加点）后移 汇合点（相加点） 变位等效变换规则（Rules）取出点（分支点）前移 取出点（分支点）后移 G1G2G3G1G2G3/G2G1G2G3G1G2G2G3等效变换规汇合点（相加点）前移汇合点（相加点）后移 G1G2G3G1G2G2G3G1G2G3/G1G1G2G3等效变换规则汇合点变位x1x2x3x4x1x3x2x4x2x3x1x4x2x3x

30、1x4Example1: Simplify the diagramC(s)R(s)Example2: Simplify the diagram-cadG2G6-G4G5G3bR(s)G1G7-思路1：b 移至 a 前，b a 交换思路2： a 移至 b后， a b交换思路3： c前移G1G2G3G41+G1G2G3G4G7+G3G4G5+G2G3G6R(s)C(s) Example3：扰动传递函数把系统输入量以外的作用信号均称之为扰动信号。设扰动信号N（s）=0设输入量R（s）=0 当R（s）、 N（s）同时作用时： Exercise1：Simply DiagramG1G3G2H1向同类移动H

31、3Exercise2:G1G4H3G2G3H1作用分解G1G4G2G3H3H1H12.7 信号流图（Signal-Flow Graphs）2.7.1 定义(definition)信号流图（SFG）-是将线性代数方程组用图形表达的一种方法。设一组线性方程式如下：信流图的表示形式2.7.2常用术语(terms)节点(Node)-表示变量或信号的点输入节点（源节点）(Input Node, Source) 只有输出支路的节点输出节点（汇节点）(Output Node, Sink) -只有输入支路的节点混合节点(Mix Node) -既有输出又有输入支路的节点支路(Branch)-两节点间的线段出支路

32、（outflow Branch）离开节点的支路入支路（ingoing Branch）指向节点的支路通道(Path)-沿支路形成的路径开通路(open path) -与任一节点相交不多与一次闭通路(closed path，Loop) -起始节点与终止节点为同一节点，且与其它节点相交不多于一次。前向通路(Forward path) -从输入至输出的开通路不接触回路( Nontouching loop) -没有公共节点的回路增益（Gain）支路增益（Branch Gain）-两节点间的增益通道增益（Path Gain）-沿通道各支路的传输的乘积回路增益(Loop Gain)-回路中各支路的传输的乘积2.7.3信流图的性质(Properties) 1、每一个节点表示一个变量，并可以把所有输入支路信号迭加再传送到每一个输出支路。2、支路表示了一个信号对另一个信号的函数关系。支路上的箭头方向表示信号的流向。3、混合节点可以通过增加一个增益为1的支路变成为输出节点,且两节点的变量相同。4、同一个系统的信号流图不唯一。 2.7.4信号流程图的简化(Simp