最优控制求解停车问题概论

1、停车问题1问题描述如下图所示，考虑一个10m*7m大小的停车场，将车从如下初始位置停到停车场中任 意位置，如图停车位置1一4所示。x(m)图1问题描述示意图2数学模型车的模型示意图如下所示，则可以得到如下数学模型方程式:(1)X(f) = “cos(xJ x2(r) = x5sin(x3) x3(r) = x5tan(x4)乙(Of图2车的模型示意图3问题求解3.1变分法求解最优控制宦义如下性能指标函数:通过构建Hamiltonian求解.并釆用数值法求解两点边值问题。(1)停车位置1：x(m)图3变分法求解结果(停车位置1)(2)停车位置36图4变分法求解结果（停车位置3）3.2动态规划法求

2、解最优控制上义如下性能指标函数:2dt(3)采用离散动态规划求解，分别将时间.状态疑、控制量、状态方程和性能指标函数离散 化。分别尝试不同的离散化程度。（1）第一次离散化求解：运行时间（1120s）离散化后的维度为:时间（150）；状态（4a102*3*6）；控制（6*6）1.5-0.12-0.1-0.08-0.06-0.04-0.020.020.81.81.61.41.210.80.60.40.2002040 GO BO 100120140 IGOulu20.6 0.4 -0.2、 TOC o 1-5 h z -0.20.4 06 -0.8 50ICO150图5动态规划求解结果（第一次离散化

3、）（2）第二次离散化求解：运行时间（70291s）离散化后的维度为:时间（30）；状态（10*25*12*16*15）；控制（15#15）8图6动态规划求解结果(第二次离散化)3.3直接打靶法求解最优控制左义如下性能指标函数：采用SQP方法求解，结果如下：(1)停车位置25!(5图7直接打靶法求解结果(停车位置1)5图8直接打靶法求解结果(停车位置3)3.4模型预测控制求解最优控制泄义如下性能指标函数：509醪k (际 + 兀 -1) - % ( + 弘 -1)11 + Zfh *:k + Np_ 1)11；预测步长N,=20 ,控制步长二1。(1)停车位置154321012345x(m)图9

4、模型预测控制求解结果(停车位置1)图20模型预测控制求解结果（停车位宜3 ）3.5自适应动态规划求解最优控制（尝试）首先采用经典的HDP92方法进行尝试，但多次试验的效果都不好：之后尝试每次用数 值法求解最优的控制量，但效果依旧很差；然后采用值迭代的方法，并尝试用二次型近似值 函数和神经网络近似值函数两种方式，但是最后的效果依旧很差（包括一般值迭代和广义值 迭代）。（上述方法对PPT上的例子，效果还不错）4结果分析变分法求解最优控制：针对本问题这样一个相对复杂的模型，变分法无法很好地处理控 制量和状态量的约朿。而且在求解过程中，由于无法得到解析解，因而需要采用数值法求解 一个两点边值问题。而在

5、采用BVP4C求解时，需要经过多次初值选择试凑，才能保证可解， 否则BVP4C无法求解。因此只能采用自己编写打靶法程序求解，致使最后的求解结果不是 特别好（速度在刚开始一下增加到很大，即加速度过大；针对停车位置3,路径曲线不是很 光滑）。另外，所得结果是一个开环控制。离散动态规划求解最优控制：如果对时间、状态、控制的离散化程度太低，则求解结果 很差：当增加离散化程度，求解结果有一定的改善，但还远远不够，需要继续提高离散化程度。然而，由于本问题状态量的维数较大，此时将导致维数灾难问题。第二次离散化求解的 运行时间为70291s （19个多小时），如果继续增加离散化程度，虽然求解结果会更加好，但

6、求解时间会更长。而针对本问题，如此长的求解时间是没有太多价值的。直接打靶法求解最优控制：相比变分法，求解结果更加好。而且可以比较好地处理控制 量和状态量的约朿。但是，最后时刻的控制并不是0,而在实际停车过程中最后时刻控制应 该为0。另外，所得结果是一个开环控制。模型预测控制求解最优控制：同样可以比较好地处理控制虽:和状态量的约束。而且相比 直接打靶法求解，最后时刻的控制能缓慢变为0。期外，所得结果是一个近似闭环控制，这 在实际停车过程中是很有必要的，因为车的每一步运动都会有误差。自适应动态规划求解最优控制：我们尝试了几种自适应动态规划的方法，但效果都不是 很好。针对PPT上的例子，这些方法的效果还可以。在这些例子中，系统最后的稳肚状态都 是0,而且控制的目标是要使状态尽可能快得到0,然后，停