轴对称经典例题透析

1、经典例题透析出类型一：对称轴问题国1、观察下图中的图案，问这些轴对称图形，各有几条对称轴思路点拨：对于一个图形的对称轴一定要按定义全方位地去找或按照定义实际操作一 下，否则就容易造成漏解或找不到对称轴。解：有4条对称轴. 有1条对称轴. 有2条对称轴.总结升华：这类图形必须得认真观察、分析每个图形的特征，最好能动手操作一下.举一反三【变式1】试说出下列图形的对称轴的条数。(1)线段；(2)角；(3)平行线(两条)。解析：(1)线段沿着本身所在直线或沿着过它的中垂线折叠，两旁的部分能够完全重合。故 线段有两条对称轴；(2)角沿着它的平分线所在直线对折，两旁的部分能够完全重合，故只有一条对称轴,即

2、角平分线所在直线；(3)两条平行线，沿着和它们都平行且到它们距离相等的一条直线或沿着和它们都垂 直的直线对折，两旁的部分能够重合.而和它们都垂直的直线有无数条故它的对称轴有无数条.综上，线段、角、两条平行线的对称轴分别是2条、l条、无数条.类型二：轴对称图形的作法2、已知 ABC，直线1.求作山值,使AAS匕和 ABC关于l对称._J 思路点拨：作一个图形关于已知直线的对称图形关键是作出一些特殊点关于已知直线的对称点，所谓的特殊点，即可以决定图形的大小和形状的点，一般来说一个多边形的特殊点就是它的各个顶点.作法：如下图所示：作AO 1于O,并延长AO至加 使匈二工。,则4就是A点关于上的对称点

3、.同样可以作出B点关于1的对称点的2r.由于C在对称轴上上，故C关于的对称点就是它本身.连接、ac.A且3r2f就是所求的三角形，如图所示.总结升华：由作对称图形的步骤和方法可知，关键是找出每个图形的特殊点，再作出这个特殊点关于直线1的对称点.最后把对称点按原图那样连接起来.举一反三【变式】把图中的图形补成以 1为对称轴的轴对称图形.解析：图至少需要作 4个点的对称点，而图只需作出2个即可确定对称图形的形状.如图所示. 类型三：中垂线问题C3、如图所示，在 ABC中，AC=10cm , AB的中垂线交 AB于E,交AC于D, DBC的周长为16 cm,求BC的长.-i思路点拨：欲求BC长，只需

4、求出 DB+DC 。而DE垂直平分AB ,故DA=DB ,此题可 解.解析： DE垂直平分 AB ,DA=DB .DB+DC=DA+DC=AC=10 cm .又 DB+DC+BC=16 cm .BC=16- (DB+DC)=16-10=6 (cm).总结升华：借助三角形周长，求其一边，只需求出另两边之和，不一定非得把另两边都求出来。举一反三【变式1】如图所示，AD垂直平分BC, DEXAB , DFXAC ,垂足分别为 E、F。求证DE=DF 。思路点拨：欲证DE=DF ,只需证AD是/ BAC的平分线.而AD是BC中垂线可得B、C两点关于 AD对称，故 ABD和4ACD关于AD对称，则可得/

5、 BAD= / CAD .证明：: AD是BC的中垂线，B、C关于AD对称.又二 A、D在直线AD上，A和它本身对称，D也和它本身对称.AABD和4ACD关于AD对称.故/ BAD和/ CAD能够重合./ BAD= / CAD .又; DE AB, DFXAC , DE=DF .总结升华：注意不要一看见中垂线就想得出到线段两端距离相等.要认真分析题意， 看清该题到底需要什么结论.【变式2】如图所示，在道路 OA、OB的交叉区域内有 M、N两所学校，现在要在此 区域内建一图书馆 P,使它到两条道路距离相等， 并且到两所学校距离也相等， 求P点位置.思路点拨：P点到OA、OB距离相等，只需 P在Z

6、 AOB的平分线上即可.P至ij M、N距离相等，只需 P点在线段MN的垂直平分线上即可.解：作/ AOB的平分线OC;连接MN,作线段MN的垂直平分线交 OC于P, P点就是图书馆的位置.总结升华：本道题是线段垂直平分线、角平分线性质在作图上的应用，且融于生活之中。类型四：最短路问题C4、在锐角/ AOB内有一定点P,试在OA、OB上确定两点C、D,使 PCD的 周长最短.思路点拨：4PCD的周长等于PC+CD+PD ,要使 PCD的周长最短，？根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA?和OB的对称点E、F,则 PCD的周长等于线段

7、 EF的长.解析：作法：如图.作点 P关于直线OA的对称点E;作点P关于直线OB的对称点F;连接EF分别交OA、OB于点C、D.则C、D就是所要求作的点.证明：连接 PC、PD,贝U PC=EC , PD=FD .在OA上任取异于点 C的一点H,连接HE、HP、HD ,则HE=HP ., PHD的周长=HP+HD+PD=HE+HD+DFED+DF=EF而 PCD的周长=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF. PCD的周长最短.总结升华：本题主要是通过作对称点的方法得出结论，并利用了对称线段相等， 三角形两边之和大于第三边的性质推得所作的图形符合条件，这是道综合性的应用问题。举一反三：【变式

8、】草原上两个居民点 A、B在河流a的同旁，一汽车从 A出发到B,途中需要到 河边加水。汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在图上画出该点。BA *思路点拨：若P为直线a上的点，则要使 PA+PB最小与线段有关的结论是两点之间线段最短，当把PA+PB转化成为一条线段时，点 P就是符合条件的点说明：此时PA+PB=A B, 角形两边之和大于第三边)所以,解析：作点A关于直a的对称点A、连接A,B交直线a于点P,点P就是所求的点。设点C是直线a上另一点，则CA+CB=CA +CB A B (三PA+PB 是最类型五：坐标系中的对称问题C5、如图，(1)请写出 ABC中各顶点的坐标.(2)在同一坐标

9、系中画出直线 m： x=?-1 ,并作出 ABC关于直线 m对称白AA A B C . ( 3)若P (a, b)是 ABC中AC 边上一点，？请表示其在 A B C中对应点的坐标.l_J思路点拨：直线m： x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于 -1,因此过点(-1, 0) ?作丫轴的平行线即直线 m.画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A、C , ?而点B在直线m上，则其关于直线 m对称的点B就是点B本身.解析：(1) ABC中各顶点的坐标分别是A (1, 4)、B (-1, 1)、C (2, -1)(2)过点(-1, 0)作y轴的平行线 m,即直线x=-1 .(3)分别作点A、B、C关于直线m对称的点A (-3, 4)、B (-1,1)、C (-4, -1),并对顺次连接A、B、C三点，则 A B C即为所求.(4)观察发现三组对称点的纵坐标没有变化.而横坐标都可以表示为2X (-1) ?减去对应点的横坐标.所以点P的对应点的坐标为(-2-a, b)。总结升华：2X (-1)中的-1即对称轴x=-1 .若对称轴不是x=-1 ,而是y=2,相信聪明 的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律.举一反三：【变式】如下图，一束光线从y轴上的点A (0, 2)出发，经过x轴上点C反射后经过点B