求参数恒成立问题专题

1、求参数恒成立问题专题.参变分离法例1：已知函数x) = ln.i-2 ,若/(x)sin20.l)对于任意的工0祗都成立，则实数。的取值范国是.最值分析法例？：已知函数f(r) = lnY+l(0),在区间(Le)上，f ( r) “恒成立，求a的取值范围对点增分集训一、选择题1.已知函数=,若+2.N0 ,则实数，的取值范围是厂 + 3x,x0A .(YC . 0,3D . 3,-wo)2 .已知函数x） = -V - 2V + 4x，当r -3,3时，/（x） /-1由恒成立，则实数机的取值范围是（）B .(3,11)D . 2,73 .若函数/（x） = Inv + ax2 - 2 在区

2、间；,2 ；内单调递增，则实数。的取值范围是（A . (t,-2B .(一2 收)1一一，+884.已知对任意1xe 一.ee：不等式Q,一恒成立（其中e = 2.7i828L，是自然对数的底数）,则实数。的取值范围是（）A.o,5B . (O.e)C . (y,-2e)5 .已知函数= 当时，不等式f（x）0恒成立，则实数a的取值范围是（）A . -5,-3B -6,_8D . -4,-37.函数f ）= 云，若存在x0 e （0,2使得帆/ ）。成立，则实数用的范围是（）A.B .(一L+x)C . (1,收)8 .设函数/3 = liH + tu ,若存在/ W（0,+8）,使/（用）0

3、 ,则。的取值范围是（）-,+oo00；9.若对于任意实数4NO ,函数工)=/+如恒大于零，则实数。的取值范围是()A . (-00,e)B . (-co,-ce,+oc)D . (一e, + 8)10 .已知函数 f (x) = a(x-a)(x + + 3),g(x) = 2, -2，若对任意xeR，总有1)0或g(Rx：时，不等式)0恒成立,则实数的取值范围为()A . (-oc.eB . (-,ee J12.设函数/3 = 31-1)-如+ *其中。-1【解析】liix- -x2 xnx-a x3 axlnx-x3 t 其中 tw(l,+oc) j x只需要 (.vln.v-x3 L

4、 .令g(x) = xlnx-炉，g (x) = i + lnx _3r , (l) = -2 ,(x) = -6x=16x 0 ,，g(x)在(1,2)单明递减，二g(x)go = g(x)在(1什)单明递城,g(x)g=T ,.数形结合法7都成立则领的取值范例2 ：若不等式1。8“工5m2工（40”=1）对田王意的工亡nsin2x , 4即log,；su】2=1 = 4！，所以。J-J44414.最值分析法例3 ：已知函数/(.r) = alnx + l(0)，在区间(l.e)上，/(x)八恒成立，求。的取值范围【答案】e-l【解析】/(x)x恒成立即不等式alnx-x + l0恒成立，令

5、g(x) = alnx-x + l ,只需g(“山 。即可，g(l) =。，Cv) = -1 = ,令g(K)O = = O = x 1时，分。是否在(Le)中讨论(最小值点的选取)若1ag=0 ,符合题意,综耳褥： ael.对点增分集训一、选择题1.已知函数X)= 11nS+ V0 ,若/(xH? + 2)xN0 ,则实数川的取值范围是 厂 + 3x,x0()A . (-00,1B . -2,1C . 0,3D . 3,-wo)【答案】B【解析】若/(x)_(? + 2)x2 0 ,即有f(x)N(m + 2)x ,分别作出函数f(x)和直线 = (? +2)x的图象，由直线与曲线相切于原点

6、时，(V+3x)=2x + 3 ,则,+2 = 3 ,解得e=1 ,由直线绕着原点从 , 轴旋转到与曲线相切，满足条件.即有00? + 2工3 ,解得一2WW1,故选B.2 .已知函数/W = -F-2/+4x ,当xw-3,3时，/(幻2/-1由恒成立，则实数，的 取值范围是()B .(3,11)D 2,7【答案】C【解析】由题意可得：/(x) = -3a:-4.v + 4 = -(x4-2)(3x-2), 2、 40令/W =。可得： =-2 t x2=，且：/(一3)= -3 J(-2)= -8 / / = / /(3)= -33 .3IJ，幺/据此可知函数/3在区间-3.3上的最小值为

7、-33 ,结合恒成立的条件可得： in2 -14/ 0在;,21内恒成立，所以 xx2 ) 2X-由于x*,2),所以人(川，卜5卜卜2,用，所以。.，故选D.4 .已知对任意壮，不等式3r恒成立(其中e = 2.，828L ,是自然对数的底数),则实数。的取值范围是()B . (O.e)C . (f-2e)21nxx【答案】A【解析】由3得21nx在xe Le1上恒成立，即ae Ia令4)=型，xeke2，则/(刈=2, x er.当xe L 时，/(x)0 , /(x)单调递增，当xee.e时，/,(x)/(e)= , -Qa/(x)aux , f(x)=2xe+jre=x(x+2)e ,

8、所以/(x)在(-L0)单调递减，在(0川单调递增,/(-I)，l) = e ,所以心e.C故选D.6.当时，不等式加-丁+4X+3N0恒成立，则实数。的取值范围是()【答案】C【解析】卜2,0)时，恒成立不等式等价于a4 二？一3 ,，/丁3r 4 V - 3设/(x)=：，f(x) =x3(2x-4)-3x:(x -4x-3)-x: +8x+9(x-9)(x + l)QkH-2,0)，”在单调递减，在(TO)单调递增，(x)a = /(-l) = -2 ,当x= 0时，可知无论。为何值，不等式均成立,当xw（O时，恒成立不等式等价于。2三二字匚，二。4二一：.3, 同理设3 , “9）9+

9、 1），x）在（04）单调递增， ,/Wg =/。） = 一6 , ：.a-6 ,综?廨：e-6,-2故选 C .7.函数/（、） = -丁J ,若存在% e（0.2使得/（%）0成立，则实数用的范围是（）A . -c2,-kc B . （-1,+x）C . （1,4-x）D . -e,+x |5/i 2/【咨秦】A【解析】若存在由0,2使得一%）0成立，则在%w（0,2内/皿即可,6 = 一故八力在（0,2上单调递减x）a=八2）= -# , .#，故选A.8 .设函数/3 = liu + ax ,若存在“e（0，+8）,使/（%）。，则。的取值范围是（）1-00,一C (1,+8)【答案】

10、D【解析】解的定义域是定的），rw=-+= , XX当心0时，r（x）0，则73在（0.+8）上单调递增，且1）=，NO ,Kgx0e（0,+ao）,使与）0 ；当0时，令/（工）0 ,解得0nv-L 令/（工）0 ,解得k-L aa-JW在0，-：|上单调递增，在I -%mj上单调递减，二/（刀）皿=/（一5卜1n -5）一1，解得一：综上，的取值范围是1(包).故选D.9,若对于任意实数,函数x) = e、ai恒大于零，则实数的取值范围是()A . (-00,e)B . (-00,-eC . e,+oo)D . (-e, + x)【答案】D【解析】Q当xNO时，/G) = e+ar0恒成立

11、，二若x = 0 ,。为任意实数，/() = e* +ax。恒成立，若人0时 ,/(x) = er + av 。恒成立，即当X。时，一 J恒成立，设g(x) = - J，则 g(x) = - 、 = ：)e , XX厂厂当xw(O)时，g)0 ,则g(x)在(0,1)上单调递增，当xe(L-)时，g(x)0恒成立，。的取5国是(一*芹)，故选D .10 .已知函数 f(x) = a(x-a)(x + a + 3), g(x) = 2x-2，若对任意xwR，总有/(工)0或g(R0成立，则实数。的取值范围是()A .(-ac,-4)B ,(-4,0)C . -4,0)D ,(-4,+x)【答案】

12、B【解析】由g(x) = 2=20 ,得xl ,故对Cl时，g(R0不成立，从而对任意d , 60恒成立，因为。(.丫-。)(工+。+ 3)0 ,对任意xNl恒成立,a0，计算得出.故选B.如图所示，则必有用时，不等式位LElo恒成立, X七 X则实数。的取值范围为()A . (-oc.eB . (-co,e)-xS 2【答案】D【解析】不等式匕 $ 0 可得x/(x) (三)v 0恒成立，即 &xj(xl) 118立，构造函数g(.r) =寸(x) = e，-ad ,由题意可知函数g(x)在定义域内单调递增，故葭(x) = e-2arN0恒成立，即三恒成立，2x令 Mx)=/(x0)，则力(

13、x)=，当Ov.rvl时，A,(a-)1 时，lr(x)0 , ”x)单调递增；则/?(的最小值为/7(l) = m = ：，据此可得实数。的取值范围为|-8卷.本题选择D选项.12 .设函数/(*) =e(3x-l)-or + a t其中,若有且只有一个整数”使得与)40 ,则。的取值范围是()【答案】C【解析】设g(x) = e，(3x 1) , h(x) = a.x-a ,则g) = e1(3x+2),.,.当xe(-ao，T时，g(x)0 , g(x)单调递增， 二当* = -|时，g(x)取得最小值g(T = -3eG .如下圉所示.又g-/?= 2e0 ,故g(l)l)；g(O)-

14、/j(O)= -l + aO ,故g(O) 0 j .%, e又al时，有x + aNx-l恒成立或x + a4T+l恒成立，故心-1或“即,填卜1,+8).14 .函数f (x) = xhix - ar +1 ,其中a R ,若对任S1EIS工都有f (x) 2 0，则a的取值范围为【答秦】（一8【解析】对任意正数X都有,即不等式公,工+对于工武0收）恒成立. X /ig（x） = lnx + -,贝=xx x x故g（x）在（01）上是减函数，在1.包）上是增函数，所以g（R的最小值是8。）=1，所以。的取值范围是（-8，1.15 .已知函数/3 = 3-匕川-2，若函数工）在2上单调递增

15、，则实数。的取值范围是【答案】（-X，-1【解析】根据函数外）在；鼻上单调递增，则/（力=；-2 20在上恒成立,即】一。：一 2气0在 _ 2 上恒成立，所以一2止0恒成立，即4：=（泊-1在闺上所以a1，故实效的取值范围是（f ,-1 .16,已知关于t的不等式1。8,（而/一工+ ；）0在1,2上恒成立，则实数，的取值范围为【答剽（,）明引【解析】当0 V ? 1时，函数/（、） = log J ?/ 7十：|外层单调递减,内层二次函数：当工1,即！/0 ,解得:?:； 72 o当,=1,即?时，/无意义；2m2当即时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减, 2m 42则需/0

16、 /(2)0 ,无解；当上之2,即00/fg.当机 1时，函数f (x) = log,” (亦一 X +提外层单调递增，0，解得：心:综上娥 ：-/n?. 282三、解答题17 .设函数/(x) = ln(x + l) + a(/_R)，其中awR ,(【)讨论函数f (x)极值点的个数，并说明理由；(2)若八0, 7320成立，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2) 0a0 ,函数”x)在(T+x)为增函数，无极值点. x + 1当40时，=/-8(1-。)= 91-8。t若00 ,设g(x) = O的两个不相等的实数相5 ,三，且玉工，且& + 毛=_；，而g(-l) = l0，则_1

17、 &o，/(工)0 , “X)单调递增；当工七(.工),g(x)0 , f，(x)0 , /*(.0 , /(工)单调递增.因此此时函数入)有两个极值点； 当avO时0 ，但g(-1) = 10，玉 0 , T(x)0 , /(x)单调递增；当xe(,e) , g(x)0 ,广(x)|时, /(X)的有两个极值点.(2)由(T)可知当时x)在(0,+8)单调递增，而0) = 0 ,则当xw(0,+oo)时，/(x)0 ,符合题意;Q当京al时，?(0)0，毛40 , /在(0,内)单调递增，而/ (0) = 0 ,则当XW(0.+8)时，/()0 ,符合题意;当时，g(0)0，所以函数/(X)

18、在(0,4)单调递减，而/(0) = 0 ,贝IJ当xw(O.七)时，/(x)0 , % + 1 1+x人(X)在(0,+oc)单调递增，因此当 xw(0,+oo)时人(4)a(0) = 0 , lll(x+1)A-,于是/(力1时“F+(1 -。)工 v 0 ,此时/(.)。，于是/(X)为单调递增函数，.xe(f,0)时，/(x)0 , x0 ,.73在(-,0)单调递减，在(0,口)单调递增.(2 )若不等式|/(内)-/伍)区6-1恒成立，则|/(内)-/(工)L4e-1，Q/U)在卜 1,1连续，.J(x)在-1,1有最大最小值，|/(七)-/ (工)L=/ (心-/ (Q，由(1)可知“X)在(TO)单调递减，在(0)单调递增，.J(x)mm=/(0