静定结构位移计算与虚功原理PPT（52页）

1、第5章 静定结构的位移计算与虚功原理 内容提要 实际结构在广义荷载作用下，将产生变形、位移。本章将从功能的角度，利用虚功原理，采用单位荷载法，建立杆系结构位移计算公式，讨论结构在广义荷载作用下的位移计算，并推出线性体系的几个互等定理.5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移一、结构位移计算概述计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（1）荷载 （2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移以上都是相对位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便二、虚功原理 1、实功与虚功 实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 实

2、功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。P1P2112212荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。P11P1实功：再加P2，P2在自身引起的位移22上作的功为：在12过程中，P1的值不变，12与P1无关dTOABKj位移发生的位置产生位移的原因abABCP=1ABCab三、虚力原理已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其

3、虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移四、支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求: 所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程BABA1AB虚功方程：BABA1A 例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在ii方向的位移 。 例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在ii方向的位移 。 例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在方向的位移 。BABABA1由平衡条件：虚功方程

4、： 当截面B同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移，即是三者的叠加，有：6-2 结构位移计算的一般公式变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导局部到整体。一、局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设 微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d即前例的结论。或二、结构位移计算的一般公式一根杆件各个微段变形引起的位移总

5、和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。dsdsK 1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：三、位移计算的一般步骤:K

6、 1实际变形状态虚力状态(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；(2) 求虚力状态下的内力及反力表达式;(3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。2、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移有关的因素，称为广义位移。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量Pm3）若广义力是等值、反向的一对力PttABBA这里是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶 mABmmAB这里是与广义力相应的广义位

7、移。表示AB两截面的相对转角。2-1、图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。（ ）ABP=1/lP=1/lP=1/lP=1/lllC ABP=1/lP=1/llABP=1/lP=1/ll（ ）AB杆的转角AB连线的转角AB杆和AC杆的相对转角5-3 荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。一、计算步骤（1）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载内力应力应变 过程推导应变表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k-为截面形状系数1.2(3) 荷载作用下的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架（2）桁架（3）拱qAC

8、B(a) 实际状态P=1ACB(b) 虚设状态AC段CB段例1. 试计算悬臂梁A点的竖向位移。1）列出两种状态的内力方程：AC段CB段2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段CB段设为矩形截面 k=1.23）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比 , 由材料力学公式 。 设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式PP1111.51.5-4.74-4.42-0.910.50.5-1.58-1.58001.51.52P2P例2 计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB11

9、11.51.5-4.74-4.42-0.910.50.5-1.58-1.58001.51.5ADDCDE材料杆件lA钢筋砼钢CEAEEGABCDEFGPP=1例3：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。解：1）虚拟单位荷载虚拟荷载3）位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土结构G0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001DDMND4001DMQD2=DMNARI2412=DDMQRhGAREIk 可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101R如Pl/2l/2EIABx1x2例4

10、：求图示等截面梁B端转角。解：1）虚拟单位荷载m=1积分常可用图形相乘来代替2）MP 须分段写5-5 图乘法 位移计算举例kidsEIMM=kiCEIdxMMEI1=DPEIydxEIMM0w=yEI01w=xtgEI01wa=BAkdxxMtgEI1aBAkMdxxtgMEIi1a是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。几种常见图形的面积和

11、形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线=hl/3二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：a）曲杆或EI=EI（x）时，只能用积分法求位移；b）当EI分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4ql2/2MPMPP=1llqAB例：求梁B点转角位移。例：求梁B点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。PPaaa例：求图示梁中点的

12、挠度。PaPaMPP=13a/4a/2a/2Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2l/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853=Pl65llEIyC22210=Dw5Pl/6？非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/312y1y2()bcadbdacl+=226dc+323bl+2dc+332al=2yydxMMki+=2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。S = 9/6（262+243+63+42） =111（1）32649S = 9/6（262+203+6302） =

13、9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（4）2369labdch+bah232dchl+()226bcadbdaclS+=b)非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2例： 预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。已知：板宽1m，厚2.5cm，混凝土容重为25000N/m3，求C点的挠度。q=625 N/m2.2m0.8mA

14、BC解：q=2500010.025625 N/ m折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2200378P=10.8MPq=625N/m2.2m0.8mABC1y13y32y2P=111ly1y2y323=ly3221=yly12832323=qllqlw42212321=qllqlww8321232432414222=+=EIqllqllqllqlEI()1332211+=DMyyyEIwwwqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MP122BNP=ql/2NP=0900193434832101222122423=DD=lhbhMNlhbhlAlIEIqlEAql2122=

15、DPNEAqlEAlqlEAlNN求AB两点的相对水平位移。36189MPP=1P=163)()=EI-756+3322318-+EI643636311+-2639632(+-+-=DEI618336318263626616kN2kN/m2kN/m 6m3m3mABEI=常数99999994kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB求B5kN12844MPkN.m1kN.mqllEIB1ql2/83ql2/2MPl求B点竖向位移。5m5m5m5m5m2kN/m7kN10kNABGCDEF15kN50kN.m253510201kN2kN10101020m求A点水平位移。P=1MPql2

16、/2 ll/2A B2EIEIl/2求B点的竖向位移。EIql256174=lllqlEI25.023232212+-lqllqllqllqllEI8222822265.0212222+lqlEIlB432831122=DEIqlllqlEIB843231142=DylqlEIB283312102+=DLq？ql2/8l/2？ql2/32y0求DVPPP4m3=12m3mABDC5P8PP=15/34/3000000000013P-+llPllPdxEIMMdxEIMM1111+=llPlPdxEIMMdxEIMM11201+=DllPlPdxEIMMdxEIMM11201()-llPdxMM

17、MEI1211=lPdxMMEI011MPMPxqll11M1M2例：试求等截面简支梁C截面的转角。ql/5 4l/52ql2/25ql2/8MP11/54/51=qllqll125853225252122+-lqlEIC2183212=qEIql100333=静定结构由于温度改变而产生的位移计算1）温度改变对静定结构不产生内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。2）假设：温度沿截面高度为线性分布。t1t2t0hh1h23）微段的变形 dsdt0ds = t/h=0 该公式仅适用于静定结构=t0t1dst2ds例11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。aa0+10+10CP=1P=

18、11aN+D=DthtNMc0wawa=-=Dt10010ooo=+=t520100oo()-+a5a+-=haa315a-=ah23102a5-6 静定结构由于支座移动而产生的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0，g=0。代入得到：仅用于静定结构abl/2l/2h1 10=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX0=AY1=BhX0=BY=1AhX应用条件：1)应力与应变成正比; 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。P1P2F

19、1F2N1 M1 Q1N2 M2 Q2一、功的互等定理+dsGAQkQEIMMEANN121212=D=FW1221 +=dsGAQkQEIMMEANN212121D=PW2112功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W216-7 互等定理二、位移互等定理P1P2 位移互等定理：在任一线性变形体系中，由荷载P1所引起的与荷载P2相应的位移影响系数21 等于由荷载P2所引起的与荷载P1相应的位移影响系数12 。或者说,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。2112jijijPdD=PPD=D121212PPD=D212121称为位移影响系数，等于Pj=1所引起的与Pi相应的位移。注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。三、反力互等定理c1c2R11R21R22R12jijijcRr=cRcR=212121RcR+=221120cRR+221110称为反力影响系数，等于cj=1所引起的与ci相应的反力。 反力互等定理：在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21 等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r12 。或者说,由