《正弦、余弦函数的图象》课件

1、正弦函数、余弦函数的图象 三角函数三角函数线正弦函数余弦函数正切函数正切线AT1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象yxxO-1xPMA(1,0)Tsinx=MPcosx=OMtanx=AT注意：三角函数线是有向线段！正弦线MP余弦线OM复习回顾y=sin x x0,2的图象的几何作法O1 O yx-11描图：用光滑曲线 将这些正弦线的终点连结起来AB作法：（1）等分（2）作正弦线（3）平移（4）连线新课讲授如何作出y=sin x，xR的图象？ 因为终边相同的角有相同的三角函数值，即sin(x+2k)=sinx，kz所以函数y=sinx，x2k，2(k+1)），kz且k0的图象与函数y=sinx

2、，x0,2）的图象的形状完全一致，我们只要将函数y=sin x，x0,2）的图象向左，向右平行移动（每次2个单位长度），就可以得到正弦函数y=sinx，xR的图象，即正弦曲线。 x6yo-12345-2-3-41正弦曲线探究： 你能根据诱导公式，以正弦函数的图象为基础，通过适当的图形变换得到余弦函数y=cos x的图象吗？提示： 由诱导公式六，我们有y = cos x = sin( + x)，xR，即y = cos x的图象就是y = sin( + x)的图象，那么y = sin x与y = sin( + x)的图象又有什么区别？x6yo-12345-2-3-41余弦函数的图象 正弦函数的图象

3、 x6yo-12345-2-3-41y=cosx=sin(x+ ), xR余弦曲线正弦曲线形状完全一样只是位置不同正弦曲线、余弦曲线的特征：（1）图象为光滑的曲线，形如横“S”型的连接（2）图象每隔2都会重复出现（3）图象是夹在y = 1与y = -1之间的曲线yxo1-1在作出正弦函数的图象时，应抓住哪些关键点？(0,0)( ,1)( ,0)( ,-1)( 2 ,0)五点画图法简图作法：（1）列表（列出对图象形状起关键作用的五点坐标）（2）描点（定出五个关键点）（3）连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）yxo1-1 找出余弦函数y = cosx，x 【0，2】图象的五个关键点？(0,1)( ,

4、0)( ,-1)( ,0)( 2 ,1)五点法(0,1)( ,0)( ,-1)( ,0)( 2 ,1)探究：例1 画出函数y=1+sinx，x0, 2的简图： x sinx 1+sinx 0 2 010-101 o1yx-12y=sinx，x0, 2y=1+sinx，x0, 2步骤：1.列表2.描点3.连线解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来： 1 210练习1：画出y=1-sinx，x0，2的简图 x sinx 1-sinx 0 2 010-10 1 0 1 2 1 o1yx-12y=sinx，x0, 2y=1-sinx，x0, 2解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线

5、连接起来：例2 画出函数y= - cosx，x0, 2的简图： x cosx - cosx 0 2 10-101-1 yxo1-1y= - cosx，x0, 2y=cosx，x0, 2解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来：-1010 x sinx 0 2 10-101 练习2：在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx，x0, 2 和 y= cosx，x , 的简图：o1yx-12y=sinx，x0, 2y= cosx，x , 向左平移 个单位长度 x cosx100-10 0 解：按五个关键点列表：描点并将它们用光滑曲线连接起来：小结1. 正弦曲线、余弦曲线几何画法

6、 五点法2.注意与诱导公式、三角函数线等知识的联系yxo1-1y=sinx，x0, 2y=cosx，x0, 2作业：课本46页，第1题1.4 正弦余弦函数的性质(1)周期性举例： 生活中“周而复始”的变化规律。 日出 日落 、白天 黑夜 、四季更替 问题：三角函数值是否具有“周而复始”的变化规律？公式(一)诱导公式sin(x+2) =sinx,的几何意义xyoXX+2XX+2正弦函数值是按照一定规律不断重复地出现的 能不能从正弦、余弦函数周期性归纳出一般函数的规律性？正弦曲线xyo1-1-2-234-2-o23x-11y余弦曲线如何用数学语言刻画周期性对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当

7、 取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数 就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期。1、周期的定义正弦函数和余弦函数的周期都是 2k1sinx，cosx 的周期是2 4 6 -2-4-62k.2如果T是函数f (x) 的周期，那么2T 3T kT也是函数f(x)的周期.3 对周期函数定义中的“定义域中的每一个值x ”的要求，而不是某一个值.思考：一个周期函数的周期有多少个？练习：判断下列说法是否正确（1） 时， 则 一定不是 的周期 （ ）（2） 时， 则 一定是 的周期 （ ） 2、最小正周期的定义对于一个周期函数 如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做 的最

8、小正周期。 说明：我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；例 求下列函数的周期：(1)y=3cosx, xR;(2)y=sin2x, xR;解:(1)是以2为周期的周期函数.这里的周期指的是最小正周期!的周期为. (3)的周期为例 求下列函数的周期：(2)y=sin2x,xR;(1)y=3cosx,xR;解:(2)若 则 归纳总结一般地，函数 及 （其中 为常数，且 ）的周期是(1) 求下列函数的最小正周期练习：P36 练习 1, 21.周期函数、最小正周期的定义； 小结：和型函数的周期的求法。函数 y = tan x是周期函数吗？如果是，那么它的最小正周期是多少

9、？课后思考正弦函数、余弦函数的性质（二）y = sin x ( xR) y = cos x ( xR) 定义域周期性RT = 2复习引入:正弦、余弦函数的图象-1y1xo-1y1xo-1y1xoy = sin x ( xR) 由诱导公式sin( -x )= 正弦曲线关于坐标原点O对称奇偶性正弦函数 y = sin x，（xR）是奇函数-sin x，-1y1xoy = sin x ( xR) 奇偶性 由诱导公式cos( -x )= 余弦曲线关于 y 轴对称 y = cos x (xR) -1y1xo余弦函数 y = cos x，（xR）是偶函数cos x ,y = sin x ( xR) -1y

10、1xo-1y1xoy = sin x ( xR) y0 x1-1单调性 x sin x 0 -1 0 1 0 -1 正弦函数 y = sin x 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数 单调性 正弦函数 在每一个闭区间 上都是增函数，其值从-1增大到1；-1y1xo y = sin x ( xR) 在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到-1-1y1xox cos x - 0 -1 0 1 0 -1 y = cos x ( xR) -1y1xo单调性y0 x1-1 余弦函数 在区间上 是增函数，在区间上 是减函数 y = cos x (xR) -1y1xo单调性余弦函数在每一个闭区间 上都

11、是增函数，其值从 -1增大到1； 在每一个闭区间 上都是减函数，其值从1减小到-1例1. 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：解：（1）因为正弦函数 在区间上是增函数，所以例题解：即因为 ，且函数 是减函数，所以例题练习1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：答案：正弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1；y = sin x ( xR) -1y1xo最大值与最小值余弦函数当且仅当 时取得最大值1，当且仅当 时取得最小值-1最大值与最小值-1y1xo y = cos x ( xR) 例2.下列函数有最大、最小值吗？如果有，请写出取最大、最小值时的自变量 x 的

12、集合，并说出最大、最小值分别是什么.解：这两个函数都有最大值、最小值.（1）使函数 取得最大值的 x 的集合，就是使函数 取得最大值的 x 的集合 使函数 取得最小值的 x 的集合，就是使函数 取得最小值的 x 的集合 函数 的最大值是1+1=2；最小值是 -1+1=0.例题解：因此使函数 取最大值的 x 的集合是同理，使函数 取最小值的 x 的集合是函数 取最大值是 3，最小值是 -3.令 z =2x ，使函数 取最大值的 z 的集合是 由得例题对于形如 的函数，一般通过变量代换（如设 ）化归为 的形式，然后求解方法总结：练习 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并写出最大值、最小值各是多少（1）y = 2sin x，x R 答案：(1）当 时，函数取得最大值2.当 时，函数取得最小值-2.（2）当 时，函数取得最大值3.当 时，函数取得最小值1.例3.求函数 的单调递增区间. 解：令 函数y = sin z的单调递增区间是由 得 设 例题易知所以函数 的单调递增区间是求函数 的单调递减区间练习3答案： 求函数 的单调递增区间.思考？课堂小结：-1y1xo-1y1xo y = cos x (xR) y = sin x ( xR) 奇偶性正弦函数是奇函数