横截面上的应力三课件

1、第四章 扭转4.1 概述（目录）4.1 概 述一、定义二、工程实例三、两个名词4.1 概述一、定义一、定义 变形形式，扭转变形 作用下，杆的各横截面产生相对转动的在一对大小相等、转向相反的外力偶矩简称扭转。4.1 概述二、工程实例钻床的钻杆二、工程实例钻床的钻杆4.1 概述二、工程实例机器中的传动轴二、工程实例机器中的传动轴4.1 概述二、工程实例机器中的传动轴二、工程实例机器中的传动轴4.1 概述二、工程实例机器中的传动轴二、工程实例轴4.1 概述二、工程实例直升机的旋转轴二、工程实例直升机的旋转轴4.1 概述二、工程实例汽车的转向轴二、工程实例汽车的转向柱管4.1 概述二、工程实例汽车的转

2、向轴二、工程实例汽车的转向柱管4.1 概述二、工程实例汽车的转向轴二、工程实例汽车的转向柱管4.1 概述三、两个名词三、两个名词外扭矩(Me)使得杆产生扭转变形的外力偶矩扭转角( )两个横截面的相对转角第四章 扭转4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形（目录）4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形一、横截面上的内力二、横截面上的应力三、扭转变形4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形一、横截面上的内力一、横截面上的内力 扭矩矢量指离截面为 + ，指向截面为 - 。符号规定：用矢量表示，采用右手螺旋法则：绕轴线旋转的由截面法扭矩(T)内力偶矩4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形扭矩图 扭矩图扭矩沿轴线的变化图线

3、 2.正值画在上方，负值画在下方。扭矩图的画法： 1.横轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩；一、横截面上的内力4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形例1（1.求扭矩AB段）例1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，1.求扭矩解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。试画此轴的扭矩图。 对AB段：(设正法) 例1（1.求扭矩BC段） 对BC段：例1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，1.求扭矩解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。试画此轴的扭矩图。4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形 对AB段：(设正法) 4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形例1（2.画扭矩图）2.

4、画扭矩图例1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，1.求扭矩解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。试画此轴的扭矩图。 对AB段： 对BC段：(设正法) 例1（3.讨论）(1)画扭矩图的规律4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形例1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。试画此轴的扭矩图。3.讨论 从左到右，上上下下。例1（3.讨论）结论： 为了减小传动轴内的扭矩，应合理的安排主动轮与从动轮的位置。(2)将轮B与轮C的位置对调4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形例1 某传动轴受力如图所示，已知：MeA=350Nm，解： M

5、eB=1000Nm，MeC=650Nm。试画此轴的扭矩图。3.讨论(1)画扭矩图的规律 从左到右，上上下下。4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（1.实验分析）二、横截面上的应力刚性平截面假设：1.实验分析 横截面在变形后仍保持为平面，且形状和大小不变，半径仍保持为直线。推论：横截面上没有正应力，只有切应力。变形现象： 任意两个横截面之间的距离没有改变，相对转动了一个角度4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（2.应力公式推导（1）变形几何方面）2.应力公式推导 取微段dx研究式中(1)变形几何方面单位长度扭转角即： (1)对给定的横截面，与成正比。二、横截面上的

6、应力4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（2.应力公式推导（2）物理方面）(2)物理方面 由剪切胡克定律即： 的方向：与半径垂直 (2)对给定的横截面，与成正比。二、横截面上的应力 与转向一致4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（2.应力公式推导（3）静力学方面）(3)静力学方面由合力矩定理即：式中 GIp圆杆的抗扭刚度 (3) 反映了圆杆抵抗弹性扭转变形的能力二、横截面上的应力4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（2.应力公式推导切应力公式） 将(3)式代入(2)式，得到式中 T 所求切应力点的横截面 所求切应力点到圆心的距离 上的扭矩注意：切

7、应力公式的适用范围：max p Ip横截面对圆心O的极惯性矩二、横截面上的应力4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（3.最大切应力）3.最大切应力即：式中与横截面的形状和尺寸有关，是横截面的几何性质二、横截面上的应力抗扭截面系数单位：m34.2 等直圆杆扭转时的应力和变形二、横截面上的应力（极惯性矩环形截面）常用截面的抗扭截面系数(1)环形截面(2)圆形截面 在环形截面中，令 = 0，得到4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形三、扭转变形（1.单位长度扭转角）三、扭转变形1.单位长度扭转角单位：rad/m 由(3)式，即4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形三、扭转变形（2.扭转角）2

8、.扭转角 相距 dx 的两横截面间的相对扭转角为 相距 l 的两横截面间的相对扭转角为单位：rad三、扭转变形4.2 等直圆杆扭转时的应力和变形三、扭转变形（2.扭转角）对于扭矩为常量的等直圆杆对于扭矩分段为常量等直圆杆或等直阶梯圆杆注意：变形公式的适用范围：maxp三、扭转变形第四章 扭转4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度的计算（目录）4.3 等直圆杆扭转时的强度一、外扭矩的计算二、强度条件三、刚度条件 和刚度的计算四、扭转超静定问题*4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算一、外力偶矩的计算一、外扭矩的计算 n 转速， 单位：r/min P 传递功率， 单位：kW式中由此可见：汽车上坡应该用

9、慢挡。4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算二、强度条件二、强度条件式中材料的许用扭转切应力1.强度条件 (2)选择截面； (1)校核强度； (3)确定许用载荷。2.强度计算的三类问题4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算三、刚度条件三、刚度条件式中许用单位长度扭转角，常用单位：/m。1.刚度条件 (2)选择截面； (1)校核刚度； (3)确定许用载荷。2.刚度计算的三类问题4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例2例2 一直径为D1的实心圆轴和另一外径为 D2、内径为d2 许用扭转切应力= 50MPa。若两轴在两端承受相 (d2/D2 = 0.8)的空心圆轴，长度和所用材料均相同， 同的外扭

10、矩均为Me = 5kN.m作用，试求： 1.两轴所用的材料之比； 2.两轴的重量相同时，两轴的最大相对扭转角之比。4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例2（1.求直径求Wp）解：1.求两轴所用的材料之比 由强度条件可得 (1)求D1、D2和d24.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例2（1.求直径求D1、D2、d2） a)实心圆轴 b)空心圆轴4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例2（1.求直径（3）所用材料之比）(2)所用材料之比即：两轴的横截面面积之比计算表明：空心轴比实心轴省材4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例2（2.求相对扭转角之比）2.求两轴的重量相同时两轴的最大相对扭转角

11、之比 两轴的重量相同，即A实= A空，故由得到，于是有计算表明：空心轴的扭转变形比实心轴小4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例2（结论）结论： 在扭转变形中，采用空心轴比采用实心轴合理。4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例3（1.计算外扭矩）例3 某传动轴的转速为 n = 183.5r/min，输出功率为 = 40MPa， = 1.5/m。试设计轴的直径 d。 PA = 0.756kW，PC = 2.98kW，材料的 G = 80GPa，解：1.计算外扭矩由，得到4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例3（2.画扭矩图，3.按强度条件求d）2.画扭矩图，确定危险截面由扭矩图可知由和3.

12、按强度条件求 d得到4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例3（4.按刚度条件求d）4.按刚度条件求 d由和得到 取 d = 29.5 mm。 可见：此轴的直径是由刚度条件控制的4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算四、扭转超静定问题四、扭转超静定问题扭转超静定问题仅由平衡方程不能求出支反力偶矩 1.平衡方程； 或扭矩的扭转问题解扭转超静定问题需要从三方面考虑，即： 2.变形协调方程； 3.物理方程。4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例4（1.求支反力偶矩）例4 两端固定的阶梯形圆轴AB，在C处作用一外力 试求轴两端的支反力偶矩和C截面的扭转角C。 偶矩。已知CB段轴的抗扭刚度为AC段的二

13、倍，解：1.求支反力偶矩(1)平衡方程(2)变形协调方程(3)物理方程 (1) (2) (3)为一次超静定问题4.3 等直圆杆扭转时的强度和刚度计算例4（2.求扭转角） 将(3)式代入(2)式，并考虑到由(1)和(4)式求得可得 (4)2.求C截面的扭转角第四章 扭转4.4 非圆截面杆的扭转（目录）4.4 非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆扭转的概念二、矩形截面杆的自由扭转4.4 非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆扭转的概念（1.实验分析）一、非圆截面杆扭转的概念1.实验分析4.4 非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆扭转的概念（1.实验分析）一、非圆截面杆扭转的概念1.实验分析变形现象：横向和周向线已变成

14、空间曲线实验表明：矩形截面杆扭转时，横截面不再保持为平面 即：发生翘曲4.4 非圆截面杆的扭转一、非圆截面杆扭转的概念（2.非圆截面杆扭转的类型）一、非圆截面杆扭转的概念2.非圆截面杆扭转的类型自由扭转各横截面的翘曲不受任何限制的扭转 即：横截面上只有切应力，没有正应力。约束扭转各横截面的翘曲受到约束限制的扭转 各横截面的翘曲程度不同 各横截面的翘曲程度相同 即：横截面上不仅有切应力，还有正应力。4.4 非圆截面杆的扭转二、矩形截面杆的自由扭转（切应力分布特点1）二、矩形截面杆的自由扭转切应力分布特点： (1)横截面周边上各点的切应力 方向与周边相切； (2)横截面四个角点上的切应力 为零。4

15、.4 非圆截面杆的扭转二、矩形截面杆的自由扭转（切应力分布特点2）根据弹性力学的分析结果，可知： (1)切应力沿横截面周边形成与 (2)最大切应力发生在长边中点短边中点的切应力为 T 同向顺流二、矩形截面杆的自由扭转4.4 非圆截面杆的扭转二、矩形截面杆的自由扭转（单位长度扭转角）单位长度扭转角为式中矩形截面杆的抗扭刚度 、是与 h/b 有关的系数，如表4-1所示。二、矩形截面杆的自由扭转4.4 非圆截面杆的扭转二、矩形截面杆的自由扭转（狭长矩形截面杆）对于h/b10 的狭长矩形截面杆： = = 1/3， = 0.74故二、矩形截面杆的自由扭转第四章 扭转4.5 密圈螺旋弹簧的计算（目录）4.

16、5 密圈螺旋弹簧的计算一、密圈螺旋弹簧二、弹簧的内力三、弹簧的应力四、弹簧的变形4.5 密圈螺旋弹簧的计算一、密圈螺旋弹簧一、密圈螺旋弹簧 螺旋角d 簧丝横截面的直径密圈螺旋弹簧 螺旋角5时的圆柱形弹簧R 弹簧圈的平均半径4.5 密圈螺旋弹簧的计算一、密圈螺旋弹簧一、密圈螺旋弹簧4.5 密圈螺旋弹簧的计算一、密圈螺旋弹簧一、密圈螺旋弹簧4.5 密圈螺旋弹簧的计算二、弹簧的内力二、弹簧的内力 用过弹簧轴线O-O的截面将弹簧截开4.5 密圈螺旋弹簧的计算二、弹簧的内力（剪力和扭矩）二、弹簧的内力 用过弹簧轴线O-O的截面，将弹簧截开可近似地认为： 该截面为弹簧的横截面 剪力 扭矩4.5 密圈螺旋弹

17、簧的计算三、弹簧的应力（1.FQ对应的切应力）三、弹簧的应力1.FQ 对应的切应力1 按照实用计算法则， 认为1在横截面上均匀分布即：4.5 密圈螺旋弹簧的计算三、弹簧的应力（2.T对应的切应力）三、弹簧的应力2.T 对应的切应力2 认为2在横截面上的分布与等直圆杆相同即：4.5 密圈螺旋弹簧的计算三、弹簧的应力（3.FQ和T对应的切应力）三、弹簧的应力3.FQ 和 T 对应的切应力 等于1和2的矢量和4.5 密圈螺旋弹簧的计算三、弹簧的应力（4.最大切应力）三、弹簧的应力4.最大切应力 max即： max发生在截面的内侧B点处4.5 密圈螺旋弹簧的计算三、弹簧的应力（4.最大切应力修正公式）

18、 当考虑弹簧曲率的影响时式中 修正系数 弹簧指数三、弹簧的应力4.5 密圈螺旋弹簧的计算三、弹簧的应力（5.强度条件）5.弹簧的强度条件式中 弹簧材料的许用切应力三、弹簧的应力4.5 密圈螺旋弹簧的计算四、弹簧的变形四、弹簧的变形弹簧的变形弹簧在轴向拉(或压)力作用下沿弹簧 轴线O-O的伸长(或缩短)4.5 密圈螺旋弹簧的计算四、弹簧的变形（取微段）四、弹簧的变形 取出微段ds就是簧杆的横截面 忽略FQ的影响 近似认为微段两端的截面4.5 密圈螺旋弹簧的计算四、弹簧的变形（1.微段的变形）四、弹簧的变形1.微段ds的变形4.5 密圈螺旋弹簧的计算四、弹簧的变形（2.整个弹簧的变形）四、弹簧的变形2.整个弹簧的变形弹簧的有效圈数(n)考虑支承的影响，扣除两端 与簧座接触部分后的圈数弹簧簧杆的有效长度(s)弹簧展开后的长度即：两个名词：4.5 密圈螺旋弹簧的计算四、弹簧的变形（弹簧刚度）四、弹簧的变形令上式可写成式中K弹簧刚度，反映了弹簧抵抗弹性变形的能力即：使弹簧产生单位长度弹性变形所需要的力 可通过改变d、R、n和G来调整， 单位：N/m。4.5 密圈螺旋弹簧的计算例5（1.校核弹簧强度）1.