概率论与数理统计-课件3

1、第一节 二维随机变量及其分布第二节 二维随机变量的边缘分布与独立性第三节 二维随机变量的条件分布第四节 二维随机变量函数的分布第三章多维随机变量及其分布CONTENTS 在第二章中，主要讨论了用一个随机变量所描述的随机现象，即一维随机变量及其分布问题。但是在实际问题中，有许多随机试验的结果，仅用一个随机变量来是无法表示出来的。例如，某人向平面靶射击，弹着点的确切位置就涉及两个随机变量：弹着点离靶心的水平和垂直方向上的有向距离 X 和 Y ；飞机在空中飞行时的位置，是一个三维空间中的点，需要用三个随机变量 X，Y，Z 来确定等。对于这些随机试验的研究，就需要引入二维或者多维随机变量的概念。本章将

2、主要讨论二维随机变量及其分布，然后再推广到 n 随机变量的情况。第一节 二维随机变量及其分布一、二维随机变量的概念定义1 设 是随机试验 E 的样本空间。若对于任意的 ，都有确定的两个实数 和 与之对应，则称有序二元总体 （ ， ）为一个二维随机变量（或称为二维随机向量），简记为 ；并称 X 和 Y 是二维随机变量 的两个分量。实际上，对于试验的每一个结果，二维随机变量 的取得可以看成是平面点集上的一个点 。随着试验结果不同，二维随机变量 在平面点集上随机取点。为了更全面地描述二维随机变量取值的规律，我们也定义了二维随机变量的分布函数。二、联合分布函数定义2 设 是一个二维随机变量，对任意的

3、x，y，称定义在整个实平面上的二元函数 （3-1）为二维随机变量 的联合分布函数，简称分布函数。其中， 表示事件 与事件 的乘积。二维随机变量 的联合分布函数是一个定义在平面点集上的二元实函数，在概率上，表示为对任意的 ，两事件 与 同时发生的概率；在几何上，表示为二维随机点 落在平面点集中坐标点 左下方的无穷矩形区域内的概率，如图3-1所示，故亦可表示为 。这时，点 落入任一矩形区域 （见图3-2）的概率，即可由概率的加法性质求得： 。 （3-2）图 3-1图 3-2由此可见，只要知道了 的联合分布函数，那么 取值与任一区域 G 内的概率即可求得。这也说明联合分布函数完全刻画出了二维随机变量

4、的概率分布规律。与一维随机变量分布函数的性质类似，不难推得，联合分布函数 具有以下性质：性质1 分别是变量 x 和变量 y 的单调不减函数。性质2 非负有界，即 。性质3 对于任意固定 x ， ； 对于任意固定 y ， ； 且 。性质4 分别是变量 x 和变量 y 右连续，即 。 综上所述，二维随机变量的分布函数 具有上面性质 1 至性质 4 ；反之，具有上面性质 1 至性质 4 的二元函数 也必定是某个二维随机变量的分布函数。 下面，分别对离散型和连续型两种二维随机变量进行讨论。三、二维离散型随机变量定义3 设二维随机变量 的所有可能取值为 ，且取各个可能值的概率为 ， （3-3）或者如表3

5、-1所示。表 3-1则称 为二维离散型随机变量，式（3-3）为二维离散型随机变量 的联合分布列或联合分布律，简称分布列或者分布律。易见，联合分布列具有以下基本性质：（1） 。（2） 。由二维离散型随机变量 的联合分布列，可求得 的联合分布函数为 ，其中和式是对满足 且 的那些 求和。例1 一个袋中装有 5 个球，其中 2 个红球，3 个白球。每次从中不放回地随机抽取 1 个，连续抽取两次。定义随机变量 X 和 Y 如下： 求：（1） 的联合分布列； （2） 。解 （1） 的所有可能取值为 。解 （1） 的所有可能取值为 。 。表 3-2 X Y0100.30.310.30.1 因此 ， 。 的

6、联合分布列如表 3-2 所示。（2）因为 相当于 的取值为 ， ， ，所以 。四、二维连续型随机变量与一维连续型随机变量相似，对于二维连续型随机变量 ，引入联合概率密度来描述其概率分布规律。定义4 设二维随机变量 的分布函数为 ，如果存在非负函数使得对于任意的实数 ，都有 ， （3-4）则称 为连续型随机变量，其中 称为 的联合概率密度函数，简称为联合概率密度或联合分布密度。根据定义，联合概率密度 具有如下性质：性质1 。性质2 。性质3 对于任意 ， ，且 ， ，则 落在矩形区域 内的概率为 。 （3-5）更一般地，设 G 为一平面区域，则 落在 G 内的概率为 。 （3-6）性质4 二维连

7、续型随机变量的联合分布函数 在整个平面上是连续的，特别在 的连续点处有 。 （3-7）在几何上， 表示空间中的一张曲面，称为分布密度曲面。性质1表示分布密度曲面总位于 Oxy 平面上方；性质 2 表示介于分布密度曲面和 Oxy 平面之间的空间区域的全部体积等于 1 ；性质 3 表示 落在平面内任意区域 G 上的概率等于以 G 为底，以曲面 为顶的曲顶柱的体积。例2 设二维随机变量 具有概率密度 试求：（1）常数 C ；（2） 的联合分布函数；（3） 落在区域 内的概率。解 （1）根据联合概率密度 的性质 2 ，有 ，即 ，得出 。（2）由（1）得 根据联合分布函数的定义 ，得：当 或者 时，都

8、有 ；当 ， 时，有 。所以 的联合分布函数为 （3）由概率密度的性质 3 可知 。对于二维连续型随机变量，主要介绍两种重要的分布，分别是二维均匀分布和二维正态分布。定义5 设 G 是平面上的有界区域。若二维随机变量 的联合分布密度为 （3-8）其中， 是区域 G 的面积，则称二维随机变量 在 G 上服从均匀分布。此时， 只可能在区域 G 内取值，并且 取 G 内任何子区域的概率与该子区域的面积成正比，而与该子区域的具体位置无关。可见，二维均匀分布描述的就是第一章所讲的二维几何概率。例3 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，求 的分布函数。解 易得区域 G 的面积 ，所以 的联合概率密度为

9、 由于 的概率密度只在区域 中取非零值，因此以下分成五个区域来讨论分布函数的情况，如图 3-3 所示。（1）当 或 时，即 时， ；（2）当 ， 时，即 时，有 ；（3）当 ， 时，即 时，有 ；（4）当 ， 时，即 时，有 ；（5）当 ， 时，即 时，有 。综上所述得 图3-3定义6 若二维随机变量 的联合概率密度为 ，其中， 是 5 个参数（这些参数的实际意义，将在第四章中讨论），则称 服从二维正态分布，并记为 。 二维正态分布的概率密度函数 的几何图形是一张以 为极大值点的单峰钟形曲面，如图 3-4 所示。图 3-4第二节 二维随机变量的边缘分布与独立性 之所以要把同一随机试验所相应的两

10、个随机变量 作为一个二元整体 加以研究，而不去分别研究单个随机变量 X 及 Y ，是因为 的联合概率密度不仅仅依赖于各分量各自的概率分布规律，而且还依赖于各分量之间内在的联系问题在于联合概率密度能否确定单个变量的分布规律？反过来，单个变量的分布规律又能否确定联合概率密度？这就是本节要讲的边缘分布和独立性问题一、边缘分布定义1 设二维随机变量 具有分布函数 ，则随机变量 X 的分布函数 （3-9）称为二维随机变量 关于 X 的边缘分布函数。类似地， （3-10）称为二维随机变量 关于 Y 的边缘分布函数。图 3-5 图 3-6几何上，边缘分布函数 和 分别表示 落在如图 3-5 和图 3-6 中

11、阴影部分的概率。下面分别讨论离散型随机变量和连续型随机变量的边缘分布。1.离散型随机变量的边缘分布若已知二维离散型随机变量 的联合分布律，就相当于知道了 的全部概率规律，则可确定出两个一维离散型随机变量 X 和 Y 的分布律。设 的联合分布律为 ，则 关于 X 和 Y 的边缘分布函数分别为 ， 。于是，X 的分布律为 ，记为 ；Y 的分布律为 ，记为 。表 3-3 如果 的联合分布律用表格表示，通常就将两个边缘分布律填写在该表格的边缘上，如表 3-3 所示，这就是边缘分布律名称的由来。例1 把两封信随机地投入已经编号的 3 个邮筒里，设 X 和 Y 分别表示投入第 1，2 个邮筒内的信的数量，

12、求 的联合分布律及边缘分布律。解 由题意得 各自可能得取值为 0，1，2 。 取 ， ， 都是不可能的，所以相应的概率均为 0 。再由古典概率计算得 ； 。 可通过对称性求得，计算结果如表 3-4 至表 3-6 所示。表 3-4表 3-5表 3-6设 是二维连续型随机变量。一般来说，其两个分量 X 和 Y 都是一维连续型随机变量。若已知 的联合概率密度 ，如何求得 X 及 Y 各自的概率密度 和 呢？由式（3-9）得到：X 的分布函数 ，即 。于是有 。 （3-11）同理 。 （3-12）通常，又称 和 分别为 关于 X 和 Y 的边缘概率密度，统称为 的两个边缘概率密度。2二维连续型随机变量

13、的边缘分布例2 设二维随机变量 具有概率密度 求 的两个边缘概率密度 和 。解 时， ；当 时， ，故 。于是 同理可解得 例3 设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，求边缘概率密度 ， 。解 由均匀分布定义易得 的联合概率密度为则 由例 3 可以看出，二维随机变量 服从均匀分布，但是它们的边缘分布却不是均匀分布。二、二维随机变量的独立性定义2 设 是二维随机变量，如果对于任意 有 ， （3-13）则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。 如果记 ，那么上式为 ；可见， 相互独立的定义与两个事件相互独立的定义是一致的。由 的联合分布函数、边缘分布函数的定义，可得 ，该式可用来判断 的相互独立

14、性。定理1 设 是二维离散型随机变量， 依次是 的概率分布，则 相互独立的充要条件是：对于 所有可能的取值 ，都有 ，即对所有的 ，都有 。表 3-7 YX 012301/271/91/91/2711/92/91/9021/91/90031/27000例4 设 的联合分布律如表 3-7 所示。试求 关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 是否相互独立？表3-8解 表 3-7 可按行加得 ，按列加得 ，如表 3-8 所示。表 3-9因此，关于 X 的边缘分布如表 3-9 所示。关于 Y 的边缘分布如表 3-10 所示。表 3-10由于 ，而 ，所以 互不独立。定理 2 设 是二维连续型随机变量

15、， 分别是联合密度函数与边缘密度函数，则 相互独立的充要条件是：对任意的实数 ，都有 。例5 设二维随机变量具有密度函数 试求：（1）常数 C ；（2） 落在如图 3-7 所示三角区域 D 内的概率；（3）关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 是否相互独立。图 3-7解 （1） ，所以 。（2） 。（3）关于 X 的边缘分布密度函数为 。当 时， ；当 时， 。故有 同理可求得关于 Y 的边缘分布密度函数为 因为对任意的实数 ，都有 ，所以 相互独立。图 3-8例6 设 服从域 D 上的均匀分布，如图 3-8 所示，求关于 X 和关于 Y 的边缘分布，并判断 是否相互独立。解 由均匀分布的

16、定义， 的联合分布密度函数为 关于 X 的边缘分布密度函数为 关于 Y 的边缘分布密度函数为 在 的连续点 处，由于 ，所以 不相互独立。第三节 二维随机变量的条件分布 对于二维随机变量来说，要描述 整体的统计规律，可用联合分布；要描述单个分量的统计规律，可用边缘分布；而当一个分量固定取一个值时，在此条件下考虑另一个分量的统计规律，这就是所谓的条件分布。以下同样分别从离散型和连续型随机变量来讨论它们的条件分布。一、离散型设 是二维离散型随机变量，其分布率为 。 关于 X 和 Y 的边缘分布率为 。 。设 ，考虑在事件 已经发生的条件下事件 发生的概率，由条件概率公式可得 。易知上述条件概率具有

17、分布率的性质：（1） ；（2） 。于是引入下面的定义。定义1 设 是二维离散型随机变量，对于固定的 j ，若 ，则称 （3-14）为 条件下随机变量 X 的条件分布率。同样，对于固定的 i ，若 ，则称 （3-15）为在 条件下随机变量 Y 的条件分布率。条件分布率就是在边缘分布率的基础上都加上“另一个随机变量取定某值”这个条件。从定义易知，条件分布率也满足非负性和规范性。例1 设 的联合分布率如表 3-12 所示。求在 条件下，X 的条件分布率； 条件下 Y 的条件分布率。表 3-12 YX01200.10.30.110.20.20.1解 ； 。因此，在 的条件下，X 的条件分布率如表 3-

18、13 所示。同样可得 的条件下 Y 的条件分布率如表 3-14 所示。表 3-13 表 3-14 二、连续型设 是二维连续型随机变量，这时由于对任意的 有 ， ， ，因此不能直接用条件概率公式引入“条件分布函数”了。 考虑 ，当 很小时，在某些条件下有 。因此，给出以下定义。定义2 设 的概率密度为 ， 为 Y 的边缘密度，对于固定的 y ， 为在 条件下 X 的条件概率密度，记为 ， （3-16）并称 为在 条件下 X 的条件分布函数。类似地，可以定义 （3-17）及 。例2 设二维随机变量 具有概率密度 求 。解 于是，对符合 的一切 y ，有 第四节 二维随机变量函数的分布 在实际问题中

19、，有些随机变量往往是两个或者两个以上随机变量的函数。例如考虑全国年龄在 40 岁以上的人群，用 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知 Z 与 X ，Y 的函数关系式为 ，现在希望通过 的分布来确定 Z 的分布。此类问题就是我们将要讨论的二维随机变量函数的分布问题。 在本节中，重点讨论两种特殊的函数关系：（1） ；（2） 和 ，其中 X 与 Y 相互独立。 应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 n 个随机变量函数的分布问题只是表达和计算复杂程度的提高，并没有本质差异。一、 的分布设二维离散型随机变量 的分布律为 。若随机变量 Z 是 X 和 Y 的和，

20、即 ，则 Z 的任一可能值 是 X 的可能值 和 Y 的可能值 的和： 。由上式及概率的加法公式，有 ， （3-18）或者 。 （3-19）表3-15例1 设二维离散型随机变量 的分布律如表 3-15 所示。求 的分布律。解 由 X 和 Y 的可能取值知 Z 的可能取值为 ，0，1，2，且有 ， ， ， 。所以 Z 的分布律如表 3-16 所示。对于连续型随机变量，若 的联合密度为 ，则如何求 的密度函数呢？先求 Z 的分布函数：由分布函数的定义知对任意 z 有 ，由于事件 等价于事件 ，于是 ，所以（见图3-9） 。表 3-16在积分 中，z 和 x 是固定的，令 ，则得 。由概率密度的定义

21、，得 。由于 的对称性，也有 。图 3-9上两式为 密度函数的一般公式。特别地，当 相互独立时，由于对一切 都有 ，此时 的密度函数公式为 或 。 （3-20）上式称为卷积公式。例2 设 ， ，且 X 与 Y 相互独立，求 的概率密度。解 由式（3-20）有 。令 ，则有可见 是正态随机变量的密度函数，从它的结构可以看出 。这个结论还可以推广到 n 个随机变量和的情况。定理 1 设 相互独立，且 ，则其和 仍服从正态分布，且 。例3 两台同样自动记录仪，每台无故障工作时间服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当期发生故障时停用而另一台自行开动，试求两台记录仪无故障工作的总时间 T 的概率密度函数 。解 设第一台和第二台无故障工作时间分别为 和 ，它们是两个相互独立的随机变量，且它们的分布密度均为 而 ，由式（3-20）可得 T 的概率密度函数 为 。令 ，则 所以，两台记录仪无故障工作的总时间 T 的密度函数 为 二、 及 的分布设随机变量 X，Y 相互独立，其分布函数分别为 和 ，由于 不大于 z 等价于 X 和 Y 都不大于 z ，故有