样条插值函数的收敛性课件

1、2022/7/241第五章 函数插值问题提出 1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需要计算许多点处的函数值 2 仅有采样值, 而又需要知道非采样点处的函数值 上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或者未知函数的一个便于计算的近似表达式. 2022/7/242内容提要插值问题插值多项式的构造方法分段插值法2022/7/243一、插值问题1. 定义2022/7/2442 . 几何意义、内插法、外插法内插外插2022/7/2453. 多项式插值问题对于不同的函数族的选择，得到不同的插值问题当为一些三角函数的多项式集合时:三角插值; 当为一些有理分式集合时：有理插值；当为一些多项式集合时：多项式插值

2、 2022/7/2464 . 存在惟一性分析 对于多项式插值问题，插值条件（1）等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组 定理1(存在惟一性) 满足插值条件(1)的不超过n次的插值多项式是存在惟一的.2022/7/2475. 误差估计引理 已知函数f(x)在a,b上具有m-1阶连续导函数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至少存在一个零点。2022/7/248误差估计(续1)分析：2022/7/249误差估计(续2)2022/7/2410RemarkRemark3 可以通过求解线性方程组得到插值多项式. Remark1 插值误差

3、与节点niix0=和点x之间的距离有关, 节点距离x越近,插值误差一般情况下越小. 2022/7/2411二、插值多项式的构造方法由于插值多项式的存在惟一性，无论是用何种方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断误差也都相同。内容提要Lagrange插值法Newton插值法等距节点插值公式带导数的插值问题2022/7/2412 Lagrange 方法1.1 辅助问题2022/7/24131.1 辅助问题 2022/7/24141.2 Lagrange型插值公式上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之为Lagrange插值多项式。2022/7/24

4、15例题2022/7/24161.3 反插值法分析2022/7/2417问题求解2022/7/2418单值性条件不可缺少用反插值法时必须满足单值性条件2022/7/24192. Newton插值法Lagrange 插值公式的特点：形式对称通常用于理论分析当增加插值节点时，在计算实践中不方便 分析 Ln+1(x) 与 Ln(x) 差别2022/7/24202.1 Lagrange插值多项式间的关系AA是Lk(x)的首项系数。2022/7/24212.2 Newton型插值公式2022/7/2422Newton插值公式（续）k=1,2,n2022/7/24232.3 差商的另一种计算方法k=1:2

5、022/7/2424计算方法(续1)k=2:2022/7/2425计算方法(续2)i, j, k互不相同一般地，k阶差商：2022/7/2426差商表2022/7/24272.4 误差估计 如果f(x)充分光滑，则有估计不足：对函数的光滑性要求高；需估计导函数的最值；偏保守。导数型误差估计2022/7/2428误差估计（续） 差商型误差估计导数和差商的关系2022/7/2429差商型误差估计特点对被插值函数光滑性要求不高；不适用于实际计算。例2022/7/2430例题求解解 1）建立差商表1.01.52.00.84150.99750.9093 0.312-0.1764-0.48842）插值#2

6、022/7/24313. 等距节点插值公式当节点等距分布时简化Newton插值公式2022/7/24323.1 常用算子定义恒等算子移位算子2022/7/2433向前差分算子2022/7/2434向后差分算子2022/7/2435中心差分算子2022/7/24363.2 差分与差商之间的关系一般地2022/7/2437（续）一般地差分与导数的关系2022/7/24383.3 Newton向前插值公式记x=a+th， x-xi=(t-i)h2022/7/24393.4 差分表2022/7/2440例题解2022/7/2441续#2022/7/24423.5 Newton向后插值公式类似于向前差分

7、，也可以得到差商与向后差分的关系：将插值节点从大到小排列，即类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面一个斜行的数值进行计算。2022/7/2443 带导数的插值问题这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题 2022/7/24444.1 辅助问题及Hermit插值2022/7/24454.2 辅助问题（1）的求解2022/7/2446（续）2022/7/24474.3 辅助问题（2）的求解2022/7/24484.4 Hermite插值问题解函数的存在惟一性 存在性： 惟一性：02022/7/24494.5 误差估计分析：2022/7/24

8、50（续）函数零点（从小到大）至少2n+1个零点至少1个零点2022/7/24514.6 带不完全导数的插值问题举例分析（方法1）：误差：2022/7/2452（续1）方法2：（用带有重节点的差商表）2022/7/2453一个类似问题举例（续2）2022/7/24543.1 高次插值的评述 在实际应用中, 很少采用高次插值。.在两相邻插值节点间, 插值函数未必能够很好地近似被插值函数。三、分段插值法.对于等距节点的牛顿插值公式, 函数值的微小扰动可能引起高阶差分有很大的变化.2022/7/2455（1）.函数 在区间-5,5上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例. 在区

9、间上分别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。 随着插值次数的提高, 在 范围内的近似程度并没有变好, 反而变坏. 高次插值并不一定带来更好的近似效果. 高次插值的评述(续)2022/7/2456(a) 高次插值的评述(续)2022/7/2457(b) (c) 函数 的等距节点插值公式 在区间0, 5上的近似程度示意图 高次插值的评述(续)2022/7/2458高次插值的评述(续)（2）高次多项式插值的稳定性。对于一组节点 由函数值 以及近似值 以某种方法构造出的插值多项式分别记为 和 . 如果对任意正数 ,存在不依赖于n的正数, 使得当 时有 , 则称该插值方法是数值稳定的. 否则

10、就是不稳定的.2022/7/2459由 和 构造出的插值多项式分别记为 和 . 于是有 插值多项式的扰动就是由节点函数值扰动得到的插值多项式. 因而函数插值的稳定性转化为分析扰动 关于节点 的高阶差商的大小。 高次插值的评述(续)2022/7/2460当节点是等距分布时, 只需分析 的高阶差分. 设在节点 处有 , 其它节点处的扰动均为零. 知高次插值法不稳定。及高次插值的评述(续)2022/7/24613.2 分段插值 设 已知节点 上的函数值 若 满足 则称 为分段插值函数。 是整体插值区间上的连续函数, 随着子区间长度 变小, 不提高子区间上的插值幂次便可以满足给定的任意精度要求.但一般

11、说来, 在子区间的端点处导数是不存在的. 2022/7/2462（1） 等距节点分段二次插值的误差估计 设f(x)在插值区间a,b 上具有三阶连续的导函数, 将 a,b均分成n个子区间, 记 ，区间端点为若在每个子区间 上采用二次的等距节值 , 插值节点为 、 和 , 插值多项式 2022/7/2463设 , 上式可简化为 等距节点分段二次插值的误差估计（续） 子区间 上的插值余项 2022/7/2464 设 , 由于这一估计与 无关, 对 有等距节点分段二次插值的误差估计（续） 2022/7/2465对任意近似精度要求 , 可解得当 趋于零时, 分段插值函数 在整体插值区间 上一致地收敛到被

12、插值函数 .等距节点分段二次插值的误差估计（续） 2022/7/2466（2） 分段二次插值多项式的基表示 对于 定义如下分段二次函数 2022/7/2467关于节点 的分段二次插值多项式有如下基表示: 分段二次插值多项式的基表示（续） 2022/7/2468 是关于节点 的分段二次插值基函数,图形如下所示：分段二次插值基函数示意图 分段二次插值多项式的基表示（续） 2022/7/24693.3 三次样条插值 分段插值法具有一致的收敛性, 它只保证插值函数整体的连续性, 但在连接处不一定光滑，不能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的外形曲线设计）对函数光滑性的要求。早期的工程技术人员在绘

13、制给定点的曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数学上的三次样条插值曲线。2022/7/2470（1） 样条插值的定义 .在小区间 上是不超过m次的多项式. .在节点 处具有 阶连续的导数;则称s(x)是关于分划 的 次样条函数.定义 给定区间 的一个分划 若实值函数s(x)满足若还满足. , 则称s(x)是f(x)关于分划 的 m次样条插值函数 。2022/7/2471三次样条插值函数 在每一个小区间上是不超过3次的多项式, 在整个插值区间上有

14、4n个系数. 且有4n-2个约束: 内节点 边界节点样条插值的定义 （续）2022/7/2472要确定4n个系数，还需附加2个约束条件. 常用的约束条件有以下三类：此时一般有 成立.周期性边界条件 , .弯矩边界条件 特别的称 为自然边界条件. 转角边界条件 样条插值的定义 （续）2022/7/2473（2） 三弯矩构造法记 , 基本步骤如下：.取 为待定参数，并用s(x)的插值条件写出 的表达式。.代入s(x)的表达式，得各个区间上的表达式。.用 在内节点 的连续条件及边界条件导出关于 的方程组。.求解后得到 。 2022/7/2474式中 。 对 积分两次, 并利用插值条件 , 确定两个积

15、分常数, 得到 三弯矩构造法（续）2022/7/2475计算 类似可以得到 三弯矩构造法（续）2022/7/2476 两边同乘以 , 得 令 , 有式中 , . 三弯矩构造法（续）2022/7/2477若附加弯矩约束条件, 得系数矩阵严格对角占优, 故系数矩阵非奇异, 上述线性方程组有唯一解，可用追赶法求解。将解带回到子区间上的表达式中（用二阶导表示），即有s(x)在每个区间上的表达式。 三弯矩构造法（续）2022/7/2478若附加转角边界条件, 得线性方程组为 三弯矩构造法（续）2022/7/2479对于周期性边界条件, 得：即式中 , . 三弯矩构造法（续）2022/7/2480线性方程组为: 将 当作已知参数, 从后 个方程中求解出用 表示的后 个参数, 然后将它们代入第一个方程解得 , 最终得到其它参数. 三弯矩构造法（续）2022/7/2481（3）样条插值函数的收敛性 对于转角边界条件、弯矩边界条件、周期性边界条件的三次样条插值函数是存在惟一的。 三次样条插值函数对被插值函数的逼近也是收敛的、数值稳定