多元函数极限和连续课件课件

1、关于多元函数的极限与连续课件第一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月第8章 多元函数微分法及其应用上册已经讨论了一元函数微积分.但在自然科学、工程技术和经济生活的众多领域中,往往涉及到多个因素之间关系的问题.这在数学上就表现为一个变量依赖于多个变量的情形,因而导出了多元函数的概念及其研究与应用.本章在一元函数微分学的基础上,数的微分方法及其应用.讨论多元函以二元函数为主,但所得到的概念、性质与结论都可以很自然地推广到二元以上的多元函数.同时, 还须特别注意一些与一元函数微分学显著不同的性质和特点.第二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月28.1 多元函数的极限与连续平面点集多元函数

2、的概念多元函数的极限多元函数的连续性小结 思考题 作业 function of many variables第三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月3一、平面点集实数组(x, y)的全体,即建立了坐标系的平面称为坐标面. xOy坐标面坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作二元有序第四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月4邻域 (Neighborhood) 设P0(x0, y0)是 xOy 平面上的一个点,几何表示Oxy. P0令有时简记为(“开”意味着 将邻域去掉中心,称之为去心邻域.它是以P0为中心、为半径的开圆也称为不包括边界),注几何表示一元函数中邻域的概念

3、: 也可将以P0为中心的某个矩形内(不算周界)的全体点称之为点P0邻域.第五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月5 (1) 内点显然, E的内点属于E. (2) 外点如果存在点P的某个邻域则称P为E的外点.(3) 边界点如点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,称P为E的边界点.任意一点与任意一点集之间必有以下四种关系中的一种:设E为一平面点集,若存在称P为E的内点.E的边界点的全体称为E的边界,记作使U(P)E = ,下面利用邻域来描述点和点集之间的关系.第六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月6(4) 聚点如果对于任意给定的P的去心邻域内总有E中的点则称P是E的聚点.

4、(P本身可属于E, 也可不属于E ),聚点从直观上讲: 这点附近有无穷多个E的点.例如, 若则P为E的边界点,E的边界则P为E的内点;也是E的聚点;若或也是E的聚点;或设点集第七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月7 开集若点集E的任意一点都是E的内点,例称E为E1为开集.下面再定义一些重要 闭集若点集E的边界称E为闭集.例E2为闭集.例E3既非开集,也非闭集.根据点集所属点的特征,的平面点集的概念. 开集.第八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月8区域(或开区域)连通的开集称为连通集.如果点集E内任何两点,都可用折线连且该折线上的点都属于E,称E是区域或开区域.连通集结起来,闭区

5、域开区域连同其边界一起所构成的点集,称为闭区域.都是闭区域.如第九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月9是区域吗?不是区域.因为不连通.连结两点的任何折线都与相交点不属于E.y轴相交,练习连通的开集称为区域或开区域.是区域.第十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月10有界集否则称为总可以被包围在一个以原点为中心、大的圆内的区域,称此区域为半径适当 (可伸展到无限远处的区域 ).有界集.集例无界是有界闭区域;是无界开区域;是无界闭区域.第十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月11OxyOxyOxy Oxy有界开区域有界半开半闭区域有界闭区域无界闭区域第十二张，PPT共五十一页

6、，创作于2022年6月12二、多元函数的概念1. 二元函数的定义例有如下的关系为正的常数).在西方经济学中称此函数关系为 Cobb-Douglas在生产中, 产量Y与投入资金K和劳动力L 之间, 生产函数.当投入资金K和劳动力L的值分别给定时, 产量Y就有一个确定的值与它们对应.上述关系式,按照第十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月13例它们之间具有如下的关系设R是电阻R1, R2并联后的总电阻. 由电学当电阻R1, R2取定后, 知识知道, R的值就唯一确定了.第十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月14点集D称为该函数的定义8.1称映射为定义在D上的二元(点)函数,设D是

7、R2的一个非空子集,记为称x, y为数集称z为自变量,因变量.定义域,的值域,称为该函数记为或第十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月15二元及二元以上的函数统称为多元函数定义域:定义域为符合实际意义的自变量取值的全体.记为f (x0, y0)函数 z = f (x, y) 在点P0(x0, y0)处的函数值或f (P0).类似,可定义n元函数.多元函数.实际问题中的函数:的自变量取值的全体.纯数学问题的函数:定义域为使运算有意义多元函数的自然定义域.第十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月16例1 求下面函数的定义域解Oxy无界闭区域即定义域为第十七张，PPT共五十一页，创作

8、于2022年6月17解Oxy定义域是有界半开半闭区域练习第十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月182. 二元函数的几何意义 研究单值函数二元函数的图形通常是一张曲面.第十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月19如,由空间解析几何知,函数的图形是以原点为中心, R为半径的上它在xOy平面上的投影是圆域:D就是函数的定义域.半球面.第二十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月20 的图形是双曲抛物面(马鞍面).又如,它在xOy平面上的投影是全平面.第二十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月21从一元函数到二元函数,在内容和方法上都会出现一些实质性的差别,而多元函数之间

9、差异不大.因此研究多元函数时,将以二元函数为主.第二十二张，PPT共五十一页，创作于2022年6月22三、多元函数的极限 讨论二元函数z = f (x, y), 怎样描述呢? Oxy (1) P (x, y)趋向于P0(x0, y0)的回忆: 一元函数的极限 路径又是多种多样的.注方向有任意Oxy多个,恒有第二十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月23(2) 变点P (x, y) 这样, 可以在一元函数的基础上得出二元函数极限的一般定义.总可以用来表示极限过程:与定点P0(x0, y0)之间的距离不论P(x, y)趋向于P0(x0, y0)的过程多复杂,记为第二十四张，PPT共五十一页

10、，创作于2022年6月24记作定义8.2有成立.的极限. 设二元函数 f (P ) = f (x, y)的P0(x0, y0)是D的聚点.定义域为D, 如果存在常数 A,也记作如果对于任意给定的P的去心邻域内总有E中的点(P本身可属于E, 也可不属于E ), 则称P是E的聚点.恒有第二十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月25 说明(1) 定义中(2) 二元函数的极限也叫(double limit)的方式是任意的;二重极限. 关于二元函数的极限概念可相应地推广到n元函数上去.第二十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月26 相同点 多元函数的极限与一元函数的极限的一元函数在某点的

11、极限存在的?定义相同.差异数必需是点 P 在定义域内以任何方式和途径而多元函趋于P0时,相同点和差异是什么充要条件是左右极限都存在且相等; f (P)都有极限,且相等.第二十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月27多元函数的极限的基本问题有三类:(1) 研究二元函数极限的存在性.常研究若其依赖于k ,则欲证明极限存在,*特别对于*不存在.常用定义或夹逼定理.欲证明极限不存在(通过观察、猜测).常选择两条不同路径,求出不同的极限值. 找一条特殊路径, 使函数沿此路径的极限不存在.第二十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月28多元函数的极限的基本问题有三类:(2) 求极限值.常按一

12、元函数极限的求法求之.(3) 研究二重极限与累次极限(二次极限)间的(洛必达法则除外)关系.如极限的保号性、无穷小与有界量的乘积仍极限的四则运算、夹逼定理、等价无穷小替换乘除因子定理.两个重要是无穷小、极限、第二十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月29则当例2证取有证毕.用定义.用P与O分别表示点(x, y)与(0,0),定义8.2有因为第三十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月30则当例3证取有证毕.用P与O分别表示点(x, y)与(0,0),因为用定义.定义8.2有第三十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月31例4 求极限 解其中用夹逼定理.所以第三十二张，PPT共

13、五十一页，创作于2022年6月32解故原式 =练习第三十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月33设函数证明:当P(x, y)沿x轴的方向当P(x, y)沿y轴的方向也有证函数的极限不存在.无限接近点(0,0)时,同样,无限接近点(0,0)时,例4第三十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月34函数的极限存在且相等.当P (x, y) 沿直线 y = kx 的方向其值随 k 的不同而变化.所以, 极限不存在.说明函数取上面两个无限接近于点(0,0)时,另一方面,无限接近点(0,0)时,设函数证明:函数的极限不存在.特殊方向第三十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月35极限

14、是否存在?练习取解当P(x, y)沿x轴的方向无限接近点(0,0)时, 当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,错!所以第三十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月36 极限不存在.取极限 是否存在?此时可断言 f (x, y)在点P0(x0, y0)找两种不同趋近方式,但两者不相等,处极限不存在.当P(x, y)沿y轴的方向无限接近点(0,0)时,思考:还有别的方法?第三十七张，PPT共五十一页，创作于2022年6月37求极限 解将分母有理化, 得 练习第三十八张，PPT共五十一页，创作于2022年6月38求答: 0答:不存在.答:不存在.二次极限都不存在时, 注练习存在.

15、二次极限与二重极限有本质的区别,但二重极限也可能二次极限与二重极限是两个不同的概念.第三十九张，PPT共五十一页，创作于2022年6月39四、多元函数的连续性 设二元函数 f (P ) = f (x, y)的定义域为D, 则称函数f (x, y)在点P0(x0, y0)连续.定义8.3如果如果函数 f (x, y)在D的每一点处都连续,连续函数.P0 (x0, y0)是D的聚点, 例如, 函数 在(x, y)平面上处处连续.如果对于任意给定的P的去心邻域内总有E中的点(P本身可属于E, 也可不属于E ), 则称P是E的聚点.则称函数 f (x, y)在D上连续,或者称函数 f (x, y)是D

16、上的第四十张，PPT共五十一页，创作于2022年6月40例 5 证令 证明: f ( x, y)在点(0,0)连续.显然有于是 所以f ( x, y)在点(0,0)连续.第四十一张，PPT共五十一页，创作于2022年6月41设函数 f (x, y)的定义域为D, 则称点P0(x0, y0)为函数f (x, y)的间断点.定义8.4是D的聚点, P0 (x0, y0)如果函数 f (x, y)在点P0 (x0, y0)不连续, 的间断线.(0,0)是函数 的(0,0)点是该函数的间断点. 函数函数的极限不存在,前面已证)例如,的间断点;是函数例如, 第四十二张，PPT共五十一页，创作于2022年

17、6月42在空间直角坐标系下,平面区域E上的二元连续函数 z = f (x, y)的图形是在E上的一张“无孔无缝”的连续曲面.(分母不为零)及复合仍是连续的.同一元函数一样,多元函数的和、差、积、商每个自变量的基本式子表达的函数称为初等函数经有限次四则运算和有限次复合,由一个指包含在定义域内的区域或闭区域.一切多元初等函数在其定义区域内是结论连续的.多元初等函数.第四十三张，PPT共五十一页，创作于2022年6月43例6 求极限 解是初等函数,而(1,0)在其定义域内,故 f (x, y)在(1,0)点处连续,所以由多元初等函数的连续性,代入法如果要求它在点P0 处的极限, 而该点又在此函数的定

18、义区域内, 则极限值就是函数在该点的函数值, 即第四十四张，PPT共五十一页，创作于2022年6月44想一想 如何证明 f (x, y)在? 证xOy面上处处连续 ?是初等函数,f (x, y)处处连续.下面证明也连续.第四十五张，PPT共五十一页，创作于2022年6月45又于是即证明了f (x, y)在 由于xOy面上处处连续.证明 f ( x, y)在xOy面上处处连续?从而 f (x, y)也连续,夹逼准则第四十六张，PPT共五十一页，创作于2022年6月46有界闭区域上连续的多元函数的性质:最大值和最小值. 性质8.1(有界性与最大值最小值存在性)性质8.2(介值存在性)在有界闭区域上连续的多元函数必有界,且有在有界闭区域上连续的多元函数必能取到介于最