量子试题与习题

1、文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持量子力学习题第一章绪论由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 与温度T成反比，即mT=b （常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。氮原子的动能是E=3kT/2 （k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氮原子的 德布罗意波长。利用玻尔一索末菲的量子化条件，求：一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子Mb=9X10-24焦耳/特斯拉，试计算动能 的量子化间隔 E,并与T=4K及T=100K的热运动

2、能量相比较。1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定调方程由下列两定态波函数计算几率流密度：1=ekr/r,（2） 2=e-ikr/r.从所得结果说明1表示向外传播的球面波，2表示向内（即向原点）传播的球 面波。一粒子在一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。一粒子在一维势阱中运动，求束缚态（0EU。）的能级所满足的方程。一一 - 一 2 一对于一维无限深势阱（0 xa）中的定态n（x）,求x、x和x,并与经典力学结果比较。粒子在势场中运动，求存在束缚态（E2

3、m从左方入射，遇势垒2 d22mR2 d 2求反射系数、透射系数。EV0情形分别讨论H?质量为m的粒子只能沿圆环（半径R）运动，能量算符文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持为旋转角。求能级(En)及归一化本征波函数 n(),讨论各能级的简并度。第三章基本原理3.1一维谐振子处在基态2、，2(x), ie-12U势能的平均值12一 x2；T动能的平均值动量的几率分布函数。3.2设t=0时，粒子的状态为1 (x)=Asin2kx+ 2 coskx,求此时粒子的平均动量和平均动能。在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为 a,如果粒子的状态由 波函数(x)=Ax(a-x)描

4、写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。证明：如归一化的波函数(x)是实函数，则=i /2;如=(r)(与,无关)，则 = 3/2 。计算对易式x, Ly, pz, Lx,并写出类似的下标轮换式(x y, y乙z x)。证明算符关系设F为非厄米算符(F+ F),证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄 米算符。求A、B与F、F+之关系。1一维谐振子(Vi=2kx2)处于基态。设势场突然变成 V2=kx2,即弹性力增 大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。有线性算符L、M、K, L, M=1, K=LM。K的本征函数、本征信记为 n、n (n=1,

5、2,.)。证明：如函数M n及L n存在，则它们也是K的本征函数， 本征信力(n 1)。2证明：如H= p /2m+V( r),则对于任何束缚态=0。2粒子在均匀电场中运动，已知 H= p /2m-q x。设t=0时又=0, Px=po,求又，px(t)0文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持一2粒子在均匀磁场B=(0, 0, B)中运动，已知 H= p /2mLz, =qB/2mCo设 t=0 时=(po, 0, 0),求 t0 时 。粒子在势场V(r)中运动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则 束缚态能级下降。第四章中心力场证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球

6、极坐标中的分量是Jer=Je =0,e m 2nlmJe =r sin0由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的。(1)求一圆周电流的磁矩。(2)证明氢原子磁矩为原子磁矩与角动量之比为这个比值，称为回转磁比率。设氢原子处于状态求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和 这些力学量的平均值。利用测不准关系估计氢原子的基态能量。对于类氢离子的基态100,求概然半径(最可几半径)及r，r2 o对于类氢离子的nlm态，证明1= 2 = En o对于类氢离子的基态100,计算x, px,验证不确定关系x Px/2。单价原子中价电子(最外层电子)所受原子实(原子

7、核及内层电子)的 库仑作用势可以近似表示成试求价电子能级。与氢原子能级比较，列出主量子数n的修正数公式。提示：22将V(r)中第二项与离心势合并，记成l(l 1) /2 r，计算(l I)之值，.。 第五章表象理论设n, k是厄米算符H?的本征态矢，相应于不同的本征值。算符白与H?对易。证明=0。质量为 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，设能级是离散的。证明能量文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持表象中求和规则(EnnEk)(nei x2（为实数）。5.3P。对于一维谐振子的能量本征态 n,利用升、降算符计算T、V、x、5.4设J为角动量，n为常矢量，证明J ,n -

8、 J =i n x J对于角动量J的jm）态（J2, Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx2、Jy2等平 均值，以及Jx、 Jyo设n （单位矢量）与z轴的夹角为，对于角动量J的jm）态，计算Jn（即n J的平均值）。以lm）表示L2 , Lz共同本征态矢。在1=1子空间中，取基矢为 11）, 10, 1 1）,建立L2, Lz表象。试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并 求其本征值及本征态矢（取 =1）。*5.8对于谐振子相干态（a =，为实数），计算n, n，E, E,X，x, p, p o第六章微扰理论如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为ro,电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原

9、子基态能量的一级修正。转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场 中，如果电场较小， 用微扰法求转子基态能量的二级修正。设一体系未受微扰作用时只有两个能级 E01及E02,现在受到微扰H?的 作用。微扰矩阵元为H12=H21=a, H11=H22=b; a, b都是实数。用微扰公式求能 量至二级修正值。一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场 作用，设电场沿正x方向：（1）用微扰法求能量至二级修正；（2）求能量的准确值，并和（1）所得结果比较。设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设 单色光的电场可以近似地表示为 sin t,及 均为常量；电离后电子的波函数近文档来源为：

10、从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率。基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降， 即求经过长时间后氢原子处在2P态的几率。计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。求线性谐振子偶极跃迁的选择定则。粒子(质量)在无限深势阱0 x0)中作一维运动。试用变分法求基态 能量近似值。建议取试探波函数(/尸Aexp( 2r2)。某量子力学体系处于基态i(x)。t0后受到微扰作用，H x,t)=F(x)e ,试证明：长时间后(t)该体系处于激发态n(x)的几率为第七章自旋7.1证明1 0 TOC o 1-5

11、h z 1 (sz)& ?求在自旋态2 中，Sx和Sy的测不准关系：S? _01 K3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已 知其能量算符为文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持H = Sz + v Sx(，丫 0,? 丫)(a)求能级的精确值。(b)视丫 Sx项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱(0 x0 TOC o 1-5 h z 2220,即 F +G K3、(a) , (b)各 10 分100 1H = Sz + YSx = 2 01+2 丫 10=2文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持H =E

12、,= b,令 E= 2 ,则ab =0, | = 2- 2- 2 =022 一;,Ei = - 222、1/2(1+)22. 二 2,E= 2 N22(1+2 2 ) = +22Ei - 2 +2 ,g=2 +2 H = Sz + y Sx = H o+ H , H o= Sz , H = y SxH o本征值为2 ，取 Ei()= - 2, E2 =201相当本征函数(Sz表象)为1(0)= 1 ,2(0)=。H之矩阵元（Sz表象）为E1=E/0)4、E1 =a2一1x= 0px = -IxPx = -|H 11=0,，2H 21+ 小1+ E1(0)e20)，2H 12+ H22+ e20

13、)22 _ 2 2maxdxddx（0）E1H 22 =0,1=-21（X）=axsIn0 x .dx a1dx2aH 12 = H 21 =1224+0-Id1x 一 dx1dx2一 xd(sIn a02sIn0 x0, xd(1sin2 )2 aax x、 xsm - d(sm )a。文档来源为：从网络收集整理,word版本可编辑.欢迎下载支持a1 r . 2 x a 2 x】x sin sin dx a a 0_ o a12 dx -210 a=0+ 2 0四项各5分5、，(ii)各10分体系波函数应交换对称。(i) s=0,为玻色子,(ri,有：a(ri)ab共6种。1s= 2,单粒子态共01a 0 a 1 b 0 ) ) )任取两个，可构成体系(：aS)b(r1) b(r2)c(r1)ccaccb6种：010b 1 c 0 c 1 ， ， W换)反对称态，如c(r2),a(r1)b(r2)_ b(r1)a(2) 0 1 0 22体系态共有C6 15种