高一数学必修三,几何概型知识点及题型

1、贾老师数学同步辅导精讲精练教材1D. 第三节几何概型一、基础知识.几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性.古典概型与几何概型的区别与联系(1)共同点：基本事件都是等可能的；(2)不同点：古典概型基本事件的个数是有限的，几何概型基本事件的个数是无限的.几何概型的概率公式_构成事件A的区域长度 面积或体积P(A)=试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.几何概型应用中的关注点(1)关键是

2、要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.考点一与长度有关的几何概型典例(1)(2019安徽知名示范高中联考)某单位试行上班刷卡制度，规定每天8: 30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8: 158: 30), 一名职工在7: 50至IJ8: 30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是(B.82 A31 C.-33D.8(2)在区间0, nt止随机地取一个数.1x,使sin x2的概率为()1B.21 A32 C.3解析(1)该职工在7： 50到8: 30之间到达单位且到达单位的时

3、刻是随机的，设其构成的区域为线11D.6贾老师数学同步辅导精讲精练教材段AB,且AB=40,职工的有效刷卡时间是 8: 15到8: 30之间，设其构成的区域为线段 CB,且CB=15,如图，所以该职工有效刷卡上班的概率D选故3一88-5 O 14=P(2)结合正弦曲线，在0, nt止使sin x2的xC 6 5r ,5兀 兀由几何概型的概率公式，得P=-一6=2.兀一 03答案(1)D (2)C解题技法与长度有关的几何概型(1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为_构成事件A的区域长度P(A)=试验的全部结果所成的区域长度.(2)与时间、不等式等有关的概率问题可

4、转化为几何概型，利用几何概型概率公式进行求解.题组训练(2019包头十校联考)已知函数f(x)=- x2+2x, xC 1, 3,则任取一点xo -1,3,使得f(xo)0 的概率为()1B.33A.41 C.21D.42 1解析：选C 由f(x)0,解得0WxW 2,又xC 1,3,所以f(x0)0的概率为7 = 2.1B.12(2018合肥一检)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播放新闻，时长均为 5分钟，则一个人 在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是()1A.二 14贾老师数学同步辅导精讲精练教材解析：选D 由题意可知，该广播电台在一天内播放新闻的时长为24X2

5、X5= 240分钟，即4个小时，41所以所求的概率为47 = 1,故选D.24 63.已知线段AC =16 cm,先截取AB=4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为 .解析：依题意，设长方体的长为 x cm ,则相应的宽为(12-x)cm,由4x(12x) 128,得x212x+32 贾老师数学同步辅导精讲精练教材 0,解得4x 8,因此所求的概率为8-4 112 =3考点二与体积有关的几何概型典例(1)如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，有一动点在此长 运动，则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为 .方体内随机(

6、2)在棱长为2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体 ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点。的距离大于1的概率为解析(1)设事件M为“动点在三棱锥A-A1BD内”，则 P(M) =V三棱锥A-A BDV三棱锥A -ABD13AAiabdV长方体 ABCD-A BCDV长方体 ABCD-A BCDV长方体 ABCD-A BCD110AA1 ZSE 形 ABCD ,32_1AA1 S矩形 ABCD6.(2)如图，与点。距离等于1的点的轨迹是一个半球面，其体积事件“点P与点。距离大于1的概率”对应的区域体积为2兀3根据几何概型概率公式得， 点P与点

7、。距离大于1的概率P = -2T3V1.兀=1 一12.1兀答案(1)6 (2)1 -12变透练清.变结论 在本例(2)中，条件不变，则点 P到正方体的中心的距离小于1的概率为4337tx 13解析：由题意，点P位于以正方体的中心为球心，以1为半径的球的内部，故所求概率为 -2-工6.变条件在本例(2)中，条件变为：一个底面半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P,则点P到点。的距离大于1的概率为.解析：到点。的距离等于1的点构成一个半球面，如图.则点P到点O的距离大于1的概率为2l T 22 氏 3. TOC o 1-5 h z 2答案：3.一个多面体的直

8、观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴|5衣 蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F-AMCD内的概率为 . 相 /解析：由题图可知 Vf-amcd =1X S 四边形 amcd X DF =1a3, Vadf-bce= 1a3, 3424a3 1所以它飞入几何体 f-amcd内的概率为 =1.1222a3, i答案：2解题技法与体积有关的几何概型问题如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几何体的体积表示，则其概率的计算公式为:构成事件 A的区域体积P(A)=试验的全部结果所成的区域体积一.求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.提醒解决几何概型问题的易错点：

9、(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型；(2)利用几何概型的概率公式时忽略事件是否等可能.贾老师数学同步辅导精讲精练教材考点三与面积有关的几何概型考法(一)与平面几何结合典例(1)(2018烟台高考诊断性测试)七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，这是由五块等腰直角 三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方 形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率是()1 A.4C.8D.136(2)(2019福州质检)如图，在菱形 ABCD中，AB=2, / ABC=60,/以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影

10、部分的概率是.解析(1)不妨设小正方形的边长为1,则两个小等腰直角三角形的边长分别为1,1, 0,y0, x a0作出约束条件y0,x a1公式得所求概率为2 1 _ 12- 0=2. 1a4=孱，3 3 94故两个数中较大的数大于 3的概率P=1-7= 8.34 9，一 一，一 1.如图所不，黑色部分和白色部分图形是由曲线y=-x圆构成的.在圆内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1A.41B.8(y= 一 x 及兀C.4兀D.8解析：选A 根据图象的对称性知,黑色部分图形的面积为圆面积的四分之一，在圆内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是1,选A.4. (2019西安八校联考)从集合(

11、xy)|x2 + y22的概率为解析：如图，先画出圆x2+y2=4,再画出不等式组x2 + y2 2对应的可行域,即图中阴影部分，则所求概率课时跟检测X 4 兀一 ,X 2X 21 . (2018成都毕业班摸底)在区间 4,1上随机地取一个实数4x,右x满足|x| a的概率为5,则头数a的值为()1A.2B. 1C. 2D. 3解析：选D 设集合A= x|X|0),若0vaW1,则A? 4,1,由几何概型的概率公式得P(A) =a a 45 一一，“ I 一、，一，1 a 4 一一* I 一解得2，不符合题意,若a1,则P(A)=-7 = 5解得a= 3符合题中国人民意，故选D.2.(2018

12、湖北八校联考)2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年,6D.7贾老师数学同步辅导精讲精练教材银行发行了以此为主题的纪念币.如图是一枚8克圆形精制金质纪念币，直径为 22 mm,面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（）A.鲁mm25363 兀 2B.0- mmC.噜mm25363 兀 2D.-20- mm2解析：选B 由该纪念币的直径为 22 mm,知半径r= 11 mm,则该纪念币的面积为4,得 2x+24,，x1,而 xC 3,3,故根据几何概型的概率计算公式，得f（x）的值不小于4的概率P

13、= | = 1.6 3.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域”组成,已知在一个显示数字 8的显示池中随机取一点 A1点A落在深色区域内的概率为1.若在一个显本数字0的显布池中随机取一点B,则点B落在深色区域内的概率为（）3A.83B.4贾老师数学同步辅导精讲精练教材解析：选C依题意，设题中全等的深色区域的面积为s,相应的固定的矩形的面积为 S,则有71= 1,S 26s 3即s=14s，因此点b落在深色区域内的概率为 翳4选C5. （2019沈阳质检）刘徽是一个伟大的数学家, 的数学遗产，他所提出的割圆术可以估算

14、圆周率他的杰作九章算术注和海岛算经是中国宝贵冗，理论上能把冗的值计算到任意精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是解析：选B如图，在单位圆中作其内接正六边形,则所求概率13乐边形 4P =x 12X6TtX 122 兀.已知正棱锥 SABC的底面边长为4,高为3,在正棱锥内任取一点 P,使得1Vp-abcc2Vs-abc的概率是（）A.47B.81 C.2iD.4解析：选B由题意知，当点 P在三棱锥的中截面以下时,VS-ABC,故使得 Vp-ABCV 二V&ABC 的概率P =1Vp-abc 20,解得 2Vxi0,in2 2故所求

15、概率P=i07T =2.123答案：3.、 .一.兀 兀 一一1 . (2018开封图二te位考试)已知函数y=cos x, xC / ,则cos xW/的概率是2 ,所以满足条件的xC -23U解析：由 cos xW1,得在 2k 庐 xW5+ 2k Tt, kC Z,又 xC -2, 23323-,故所求概率P =13.11.如图，正四棱锥S-ABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD则这点取自正四棱锥内的概率为解析:1 1X X 2RX 2R RV锥 3 2设球的半径为R,则所求的概率为 P = = 3V球上，在球O内答案:126 一12.在区间0,1上任取两个数，则这两个数之和小于工的概率是 5解析：设这两个数分别是 x, y,则总的基本事件构成的区域是 定的平面区域，所求事件包含的基本事件错误！确0 x 1 ,构成的区域是w yw1，确定的平面区6x+ y(a b)2恒成立”的概率.解：(1)依题意共有小球n + 2个，标号为2的小球n个，从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为 2n 1的小球概率为 弋，得n = 2.n+2 2(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，(a,