高中数学复习提纲总定稿版

1、数学复习提纲总HUA system office room HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-第一章集合与简易逻辑集合及其运算集合的概念、分类：二.集合的特征：确定性无序性互异性三.表示方法：列举法描述法图示法区间法四.两种关系：从属关系：对象、氏集合；包含关系：集合&、冬集合五.三种运算：交集：=并集：AU = v I x e AsSix e B)补集：（；A = x I x e UMx e A六.运算性质:AU0=A， Ap0=0.空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集.若 则 AD8=A,An（LA）=0, AU（A）=U, （；,（；,A）= A.（5）（A）n（ 2）

2、= &（ AU B）,（CL：A）U（CViB） = Cv,（AnB）.集合%,2M3,，”的所有子集的个数为2，所有真子集的个数为2-1,所有非空真子集的个数为2”-2,所有二元子集（含有两个元素的子集）的个数为简易逻辑逻辑联结词：.命题是可以判断真假的语句的语句，其中判断为正确的称为真命题，判断为错误的为假命题.逻辑联结词有“或”、“且”、“非”.不含有逻辑联结词的命题，叫做简单命题，由简单命题再加上一些逻辑联结词构成的命题叫复合命题.真值表：Pq非Pp且qP或q真真假真真真假假真假真真假真假假假假二.四种命题：.原命题：若则逆命题：若P则q,即交换原命题的条件和结论;否命题：若q则P，即

3、同时否定原命题的条件和结论;逆否命题：若P则1Q，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定.四个命题的关系：原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真.三.充分条件与必要条件. “若则/是真命题，记做 =“若则，为假命题，记做分外.若 =9,则称是q的充分条件，夕是的必要条件.若 =9，且，则称是q的充分非必要条件；若p令q ,且 =9，则称是q的必要非充分条件；若 =9，且 =q,则称是6/的充要条件；若p令q ,且，则称是7的既不充分也不必要条件.若的充分条件是则“np：若p的必要条件是则 =.第二章函数指数与对数运算分数指数幕与根式

4、：如果x=a,则称是。的次方根，。的次方根为0,若“W0,则 当为奇数时，”的次方根有1个，记做底；当为偶数时，负数没有 次方根，正数的次方根有2个，其中正的次方根记做心.负的次方 根记做-右.负数没有偶次方根；.两个关系式：而）； =鬻|。| 为偶数3、正数的正分数指数幕的意义：消;行；-21正数的负分数指数幕的意义：4、分数指数幕的运算性质: d)am-an=an； (2)aman=a(3)()=；(4) (a。=1,其中阳、均为有理数，a, b均为正整数二.对数及其运算.定义：若V=N(a0,且awl, N0),则Z; = logN.两个对数: 常用对数:a = 10, b = logN

5、 = lgN；自然对数：a = e、2.71828, = log.N = lnN.三条性质: (D1的对数是0,即log。1=0；底数的对数是1，即k)ga = l；负数和零没有对数.四条运算法则:(l)oga(MN) = oga M +logfl N ；log。 = log. M -log” N ； Nlog. MH =n Iogfl M ； (4)log= log” M .n.其他运算性质：对数恒等式：，产*=；换底公式：1。8f=毡上； log涉log。/? log/, c = logq c ； logn b log/, a = l；(4)log /?, = logflb. m函数的概念

6、映射：设A、B两个集合，如果按照某中对应法则/,对于集合A中的任意一个元素，在集合B中都有唯一的一个元素与之对应，这样的对应就称为从集合A到集合B的映射.二.函数：在某种变化过程中的两个变量X、y,对于X在某个范围内的每 一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，则 称），是x的函数，记做y = /（x）,其中x称为自变量，x变化的范围叫 做函数的定义域，和x对应的），的值叫做函数值，函数值y的变化范围 叫做函数的值域.三.函数y = /（幻是由非空数集A到非空数集B的映射.四.函数的三要素：解析式；定义域；值域.函数的解析式根据对应法则的意义求函数的解析式；例如：已知/（W

7、 + l） = x + 2,求函数/*）的解析式.二.已知函数的解析式一般形式，求函数的解析式；例如：已知/（X）是一次函数，且/（x） = 4x +3,函数/（x）的解析 式.三.由函数/（X）的图像受制约的条件，进而求/（X）的解析式.函数的定义域一.根据给出函数的解析式求定义域:整式：xwR分式：分母不等于0偶次根式：被开方数大于或等于0含0次罂、负指数幕：底数不等于0对数：底数大于0,且不等于1,真数大于0二.根据对应法则的意义求函数的定义域：例如：已知y = /(x)定义域为2,5,求y = /(3x + 2)定义域;已知y = /(3a+ 2)定义域为2,5,求y = /(x)定义

8、域；三.实际问题中，根据自变量的实际意义决定的定义域.函数的值域一.基本函数的值域问题:名称解析式值域一次函数二次函数八皿 Acic-b1a 0 时，,+oo)4aa v 0 时，,4a反比例函数ylyeR,且0指数函数对数函数三角函数二.求函数值域（最值）的常用方法：函数的值域决定于函数的解析式和定义域，因此求函数值域的方法往往取决于函数解析式的结构特征，常用解法有：观察法、配方法、换元法（代数换元与三角换元）、常数分离法、单调性法、不等式法、*反函数法、*判别式法、*儿何构造法和求导 数法等.反函数.反函数：设函数y = /(x) (xeA)的值域是C,根据这个函数中x, y的 美系,用y

9、把x表示出，得到X = (丁).若对于C中的每一y值，通过 x = 9(y),都有唯一的一个工与之对应，那么，x = 9(y)就表示)，是自 变量，x是自变量y的函数，这样的函数x = p(y) (y eC)叫做函数 y = /(x) (xe A)的反函数，记作x = /(y),习惯上改写成y = 1(x).二.函数/(X)存在反函数的条件是：戈、y一对应.三.求函数/(X)的反函数的方法：求原函数的值域，即反函数的定义域反解，用y表示戈，得x = /(y)交换工、y,得产尸结论，表明定义域 四.函数)，= /)与其反函数y = /T(x)的关系:函数y = fM与N = /-,W的定义域与值

10、域互换.若)，= /*)图像上存在点(a/),则，= /-/)的图像上必有点(Am),即若 f(a)=b ,则广(匕) = a.(3)函数y = /(x)与y = /f(x)的图像关于直线y = x对称.函数的奇偶性：定义：对于函数定义域中的任意一个x,如果满足/(x) = /*)，则称函数/为奇函数；如果满足。(f) = /*),则 称函数/G)为偶函数.二.判断函数/。)奇偶性的步骤：.判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称可进一步验证，如 果不对称；.验证/*)与/(x)的关系，若满足/(幻= /),则为奇函数,若满足 /(_幻=/(工)，则为偶函数，否则既不是奇函数，也不是偶函数.

11、二.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.三.已知/*)、g(x)分别是定义在区间M、N (MCINW0)上的奇(偶)函数，分别根据条件判断下列函数的奇偶性.奇奇奇奇奇偶偶X奇偶奇偶XX奇偶偶偶偶五.若奇函数/W的定义域包含。，则/(0) = 0.六.一次函数目(攵W0)是奇函数的充要条件是/? = 0;二次函数y =，+以+c ( w 0)是偶函数的充要条件是=0.函数的周期性:定义：对于函数/（X）,如果存在一个非零常数r,使得当X取定义域内 的每一个值时，都有y（x+T）=f）,则八力为周期函数,7为这个函 数的一个周期.2.如果函数/G）所有的周期中存在一个最小的正数，那

12、么这个最小正数就 叫做/）的最小正周期.如果函数/*）的最小正周期为丁，则函数T/（ax）的最小正周期为函数的单调性定义：一般的，对于给定区间上的函数如果对于属于此区间上的任意两个自变量的值占，G，当王时满足：/（$） /，则称函数/a）在该区间上是增函数；/区） /（），则称函数/）在该区间上是减函数.二.判断函数单调性的常用方法：1.定义法：取值；作差、变形；判断：定论:求2.导数法: 求函数f(x)的导数.*,)；解不等式/(x)0,所得X的范围就是递增区间；解不等式fx) 0,所得x的范围就是递减区间.复合函数的单调性：对于复合函数y = /g(x),设 = g(x),则y = /()

13、，可根据它们的单调性确定复合函数y = /g(x),具体判断如下表：增增减减增减增减增减减增.奇函数在对称区间上的单调性相反；偶函数在对称区间上的单调性相同.函数的图像一 .基本函数的图像.二.图像变换:将)，=fM图像上每一点向上(攵。)或向下(女 0)或向右(力v 0)平移I川个单位，可得y = f(x + /i)的图像将)，=/(a)图像上的每一点横坐标保持不变，纵坐标拉伸 1)或压缩为原来的。倍，可得了 =硬(外的图像将)，=fM图像上的每一点纵横坐标保持不变，横坐标压缩(。 1)或拉伸(02五.如果已知数列的笫1项（或前几项），且任一项勺与它的前一项%一（或前几项）间的关系可以用一个

14、公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.如：在数列“中，=1,其中”=L4t+1即为数歹1J1rl 2 2 B“的递推公式，根据数列的递推公式可以求出数列中的每一项，同时可根 据数列的前几项推断出数列“的通项公式，至于猜测的合理性，可利用数 学归纳法进行证明. TOC o 1-5 h z 37 IS如上述数列根据递推公式可以得到：的=；，3=；，%=，312 -I% =三，进一步可猜测“=、 ioz等差数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用 字母4表示.二.通项

15、公式：若已知、d ,则 4“ = % + 5 -1)；若已知 am、d ,则 an = am + (n-m)d三.前项和公式：若已知出, a ,则S =；若已知、d ,则d 22注：(1)前项和公式S”的推导使用的是倒序相加法的方法.在数列“中，通项公式勾，前顶和公式S”均是关于项数的函 数，在等差数列”“通项公式明是关于的一次函数关系，前项和公式S”是关于的没有常数项的二次函数关系.在等差数列中包含、d、%、S.这五个基本量，上述的公式 中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个, 可以求出其余基本量.四.如果、b、c成等差数列，则称b为与c的等差中项，= . 2五.证明数列伍

16、“是等差数列的方法：.利用定义证明：=d (n2).利用等差中项证明：=色上2.利用通项公式证明：an =an + b.利用前项和公式证明：S = an2 + bn六.性质：在等差数列q中，.若某几项的项数成等差数列，则对应的项也成等差数列，即：若+n = 2k，则 am+ an = 2ak .若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的和也相等,即： 若 m+=&+/, 则 am + an = ak + at.依次相邻每k项的和仍成等差数列，即：5, S-Sk，S3* - S2*成等差数列.勺，。”_2,，生，为仍成等差数列，其公差为4.三.等比数列定义：如果一个数列从第2项起，每一项

17、与前一项的比都是同一个常 数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通 常用宇母t/SwO）表示.通项公式：若已知、q,则勺=4闯”，若已知、q,则为=勺4-”.前项和公式：当公比9 = 1时，S” =叫当公比qWl时，若已知、明、9，则5 =与组1一9若已知可、q、n ,则Sn = - i-q注：等比数列前项和公式s”的推导使用的是错位相减的方法.在等比数列中包含可、q、“、叫、S”这五个基本量，上述的公式 中均含有4基本量，因此在数列运算中，只需知道其中任意3个, 可以求出其余基本量.若a、b、c成等比数列，则称。为“与c的等比中项，且。、b、c满 足关系式 =547.证

18、明数列“是等比数列的方法：.利用定义证明:- = q (n2) an-.利用等比中项证明：.利用通项公式证明：% = W六.性质：在等比数列%中，.若某几项的项数成等差数列，则对应的项成等比数列,即：若 m+n = 2k，则 am - an =ak2.若两项的项数之和与另两项的项数之和相等，则对应项的积相等，即： 若 m + n = k+l, 则am - an = ak a,.若数列公比gw-1,则依次相邻每k项的和仍成等比数列，即S,，Sk，S3”S2&成等比数列。.%，an ,。，。，q仍成等比数列，其公比为 q数列求和.常见数列的前n项和：自然数数列：1, 2, 3,，n,5 =吧?1奇

19、数列：1 3, 5,，2一1,S“ = 2偶数列:2, 4, 6,，2nf Sn = n（n + 1）自然数平方数列：俨，22 , 32 ,，2,s“=（ + l）（2 + l）.等差、等比数列：利用等差、等比数列的求和公式.数列%满足：其中册、勺为等差或者等比数列.方法：拆项，转化成两个等差或等比各项的和(差).数列%满足:也，其中4是公差为d的等差数列；4是公比为乡的等比数列.方法：错位相减.若数列/满足：4=1 ,其中女、。、人均为常数.(kn + a)(kn + b)方法：裂项法，设为= 七)，其中为可 (ku + a)(& + b) kn + a kn + b确定的参数.第四章三角函

20、数角度与弧度制.弧度与角度的互化：产= 180.终边相同角：与角a有相同终边的角的集合可以表示为:.特殊角的集合:各个象限的角的集合第一象限角：al2k;r va + 2k/r,Z eZ 2第二象限角：a|C + 2k;ra% + 2攵；r,k eZ 23第三象限角：a九+ 2k7T ct 二九+ 2k九，k eZ23第四象限角：&I 二4 + 2k 九 a 2 + 2%/r, k eZ) 2角的终边在各个坐标轴上的角的集合终边在X轴的角：ala = A乃次eZ终边在)，轴的角：ala = g + JbrMeZ终边在坐标轴上的角：。诲=攵2,keZ 2终边在第一三象限角平分线上：ala = 2

21、 + A/r,%eZ终边在第二四象限角平分线上：ala = m；r + k况keZ 4.弧长公式和扇形面积公式设扇形的半径为r,圆心角为a，则弧长/ = II-r ,扇形的面积S = -/-r = -lal-r2 22任意角三角函数的定义:定义：以角a顶点为原点0,始边为x轴的非负半轴建立直角坐标系。在角a的终边上任取不同于原点0的一点产（乂），），设P点与原点。的距离为r （一0）, 则|尸0| = / =小+）,2 ,则角。的六个三角函 数依次为：sin a =y 一,rXcos a = - 9 rytan ex =一Xesc a =rsec tz =,cota =XXy二.三角函数的定义

22、域与值域:定义域值域RRR三.三角函数值的符号:四.三角函数线正弦线、余弦线正切线以角。的终边与 单位圆的公共点P作 x轴的垂线PM_Lx 轴，垂足为例，则过点A(1,O)作x 轴的垂线交。的终边 或终边的延长线于r 点，则：同角三角函数基本关系式:倒数关系：sinacscz = l、 cos2secz = l、 tanz cotz = l商数关系:sine tan a =cos acos a cot a =sin a平方关系：sin2 a + cos2 a = 1正弦、余弦的诱导公式:sin(2Z4 + a) = sin a; cos(2Z4 + a) = cos a .sin(4 - a)

23、 = sin a ； cos(乃 一 a) = -cos a .sin( + a) = -sina ； cos( +(x) = -cosa .sin(2 - a) = -sin a ； cos(24 一 a) = cos a .sin(a) = -sin a ； cos(-6z) = cos a .sin(-a)= cos a ； cos(-a) = sina . 22sin( + a) = cosa ； cost + /2 sin(a )44sinc + Qcos。= 2sin(a + ) ； cosx-/3sinx = 2sin(-a) 36.两角和与差的正切公式的变形:二倍角公式一.基本

24、公式: 二.常见关系式:1. 1 + sin 2。= (sin a + cos a)2 1 - sin 2a = (sin a - cos a)2c . 71 - cos 2a )1+cos la. snr a =cos- a =三角函数的图像:正弦、余弦、正切函数的图像:.正弦函数y = sinx.余弦函数），=8$X2.正切函数），=1211.1二.三角函数的图象变换：y = sinx振播变焕”，= Asinx：将y = sinx图象上各点横坐标保持不变， 纵坐标拉伸（A 1）或压缩（OAy = sin cox：将y = sin x图象上各点纵坐标保持不变， 横坐标压缩（G 1）或拉伸（0

25、 。 y = sin（x +。）：将 y = sin x 的图象向右（p 0）平移191个单位得到.函数y = Asin（5 + 0）（A,g0,AW1）的图象可以看作是由函数y = sinx的 图象分别经过下面的两种方法得到：（Dy = sinx 出“ y = sin（x + ）将），=sinx的图象向左（夕 0）或向右（夕 1）或拉伸（0 1）或压缩（0 v A V1）为原来的A倍，可得函数），=Asin（5 + 0）图象.（2） y = sinv 假期变换 = sin 5将y = sin x图象点纵坐标保持不变，横坐标压缩（co 1）或拉伸（0 v刃v 1）为原来的L倍，可以得到函数y

26、= sin 0工图象； co将得到的图象向左（夕 0）或向右（0 1）或压缩（。v A)为向量a的坐标，记做 =(x,y).向量的坐标与起点为原点的向量是一一对应的关系，即：向量a = (x,y)三士向量三对应2 点 A (x, y).平面向量的坐标运算:设。=(N，y), 6 =(孙 )，AwR，则：(Da+b=(xl +x2,yl+y2); _6=(内一工2，)，一乃)；3) Aa =(2和九升).若点力(斗必)，B(x2,y2), !?!| AB = (xz-xI,y2-yl).向量 = (%,%)与7 =(孙必)共线的充要条件是、一工跖= 平面向量的数量积及运算律：1.两个向量的夹角：

27、已知两个非零向量，作&X = Z,砺=6，则NAO3 = e(0180 )叫做向量l与石的夹角.当8 = 0时，与坂同向；当8 = 180时; 与坂反向，如果与办的夹 角是90时，则称二与B垂直，记作Z_lB.2 ,两个向量的数量积:已知两个非零向量与否,它们的夹角为6,则数量lZl-Rlyos8叫做。与B 的数量积，记作B|J： a-b=a I-I/? I-cos .规定：零向量与任一向量的数量积为0,即。工=0.向量数量积的几何意义： i-cos，叫做向量在方向上的投影,其中当e为锐角时,它是正 值，当8为钝角时，它是负值，当8 = 90时，它是0,当 =0时，它是 -b,的几何意义是：数

28、量积7石等于的长度1%与B在的方向上的投 影Ri cos。的乘积.向量数量积的性质：设1、B都是非零向量，夕是与;的夹角，则：(l)d = a-e = a cos0 ( e是与B方向相同的单位向量)。/? 5 = 0当与B同向时，a-b=ab；当1与B反向时，= 特殊的，a-a=a2 ,或者171 =而了(4)cos6 = 一一 a-b(5)一 臼VI力法|.向量的数量积的运算律：(l)a-b = b-a ；(4a) b = A(a b) = a-(Ab)(a + B) c = a c + Z? c.向量数量积的坐标运算：(D设a =(N，y), b =(x2,y2),则。力=% +跖若向量a

29、 = (%, y), =(,乃)垂直的充要条件是xixi + M乃=0 若a = (x,y),则a = x2 + y2 .(4)设 4(冷弘),B(x2,y2),则 I A8I =一 改尸+一,尸.线段的定比分点与平移.点P分胭所成的比：设匕，鸟是直线/上的两点，P是/上不同于鸟的任一点，存在实数 丸，使片户=/尸g,则见叫做点。分福所成的比.定比分点坐标公式：设耳(士加,Egf)，若点P(x,y)分职所成的比为X,则点P(x,y)_ x + Ax2的坐标满足：1 + .、一1+L1 + 2.中点坐标公式：2若点尸(%,y)为4即必),，(。2)的中点，则.平移公式:x =x + h若点尸(x

30、,y)沿向量=仇公平移至点则 yf = y + k第六章不等式不等式的性质.两个实数比较大小的依据：a-hOOab.反对称性：如果那么 V4;如果4V，则.传递性：如果且 C,那么4C.加法性质：如果4。，那么4 + C + C.推论1：如果4+C,那么推论 2：如果 /?, c d ,那么 ” + c + d.推论 3：如果 /?, cd 那么 a-d -c.乘法性质：如果/?, c0,那么如果a 。，c v0 ,那么改。0 , c J 0,那么推论2：如果那么且 1).推论3：如果ab 0 ,那么 a b*推论4：如果 0 , od 0,那么色 d c.开方性质：如果那么 底(n w N

31、,且 1). a2 +h2 2ab (a.b e R) ； a + b (a.b 0).注：当且仅当时取到等号；小1/a + b- .+久2l)ab； ab 0第1步：将的最高次项的系数化为正数，并分解为若干一次因式的乘积，即：(x + 3)(x +1)2 (a- - l)(x - 2)3(x - 5) 0第2步：将方程x) = 0的根标在数轴上，并从右上方依次穿过各点画 曲线，且奇穿过，偶回头。第3步：根据曲线显示的/*)的值的符号的变化规律，写出不等式的 解集。xl-3x -1或一1 vx00/(x)g(x)0；300/(x).g(x)oo|/Ww-； -ooy(x).g)og(x) g(

32、x)w。 g(x) g(x)wo3.红)？) mg(x)-g(x)0 g(X)5.含绝对值的不等式：L I /(x) I g(x) /(x) lg(x)l f(x) + g(x) /(x)-g(x)0 x-a + x-b on (a 0)或a xb或(x - a) + (b - x) v m (x 一 a) + (x-/?)a/b .r.定义：如果一条直线1和一个平面a相交，并且和平面Q内 的任意一条直线都垂直，我们就说直线1和平面a互相垂直.其中直线1叫做平面的垂线，平面a叫做直线1的垂面.交点叫做垂足.直线I与平面a垂直记作：_La.直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的 两

33、条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于平面,那麽这两条直线平行.点到平面的距离的定义：从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.直线和平面的距离的定义：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意 一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直.PO a,O ea推理模式：PACa = A =a_LAO. a u a.

34、a AP注意：三垂线指PA, PO, AO都垂直Q内的直线包其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理.要考虑a的位置，并注意两定理交替使用.二.空间平面与平面没有公共点一一两平面平行.两个平面的位置关系有两种:有一条公共直线一一两平面相交线都平行于一个平面，那么这两个平面平行.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直au 0定理的模式：9alia b/a推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交 直线，那么这两个平面互相平行.a(b = Pya u c,Z?u = P；u u 0,b u p. a/ a,b/Zb9 = all 0.两个平面平行的性质

35、:（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【附】.证明两平面平行的方法：（1）利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，则它们必相交，再 导出矛盾。（2）判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两 个平面平行，这个定理可简记为线面平行则面面平行。用符号表示是：an b, aC a , b（= a , a B , b F ,则。6.（3）垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：aa , a_LB 则。.（4）平行于同一个平面的两个平面平行.all p,ally pily.两个平面平行

36、的性质有五条:（1）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为：“面面平行，则线面平行”。用符号表示是：aB, aUQ,则（2）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行，这 个定理可简记为：“面面平行，则线线平行”。用符号表示是：a A y=a, P n y 二b, Rlj a/7b.（3） 一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则它也垂直于另一个平 面。这个定理可用于证明线面垂直。用符号表示是：aa ,则a（4）夹在两个平行平面间的平行线段相等。（5）过平面外一点只有一个平面与已知平面平行。.两个平面垂直的定义： 相交成直二面角的两个平面叫做互

37、相垂直的平面。.两平面垂直的判定定理：（线面垂直=面面垂直） 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。.两平面垂直的性质定理：（面面垂直=线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 一个平面。三.空间向量及运算.空间向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量.注：空间的一个平移就是一个向量.向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向 量.空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下运算律：加法交换律：a+b = b+a(2 功口法结合律：(a

38、 + b) + c = a + (b+c)数乘分配律：A(a + b) = Ail + Ab.共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.不平行于6记作当我们说向量7、6共线(或时，表示7、6的有向线段所在的 直线可能是同一直线，也可能是平行直线.共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量7、b (6工6) , 73的充要条件是存在实数1，使7 =推论：如果/为经过已知点月且平行于已知非零向量7的直线，那么对 于任意一点。点尸在直线/上的充要条件是存在实数t满足等式OP =OA+t a.其中向量不叫做直线/的方向向量.向量与平面平行：已知

39、平面。和向量），作次=五，如果直线QA平行于a或在a内，那 么我们说向量）平行于平面a,记作：alia.通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.说明：空间任意的两向量都是共面的.共面向量定理：如果两个向量不共线，p与向量,万共面的充要条件是存在实数 x, y 使 = xii + yb.推论：空间一点P位于平面M48内的充分必要条件是存在有序实数对 使砺=入而+ y该或对空间任一点0,有9=两+八柘+ 丁痂式叫做平面的向量表达式.空间向量基本定理：如果三个向量,石曰不共面，那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z，使 =坛+）石+法推论：设O.A,8,C是不共面的四点，则对空

40、间任一点P,都存在唯一的 三个有序实数乂y,Z，使丽= xE + WS + z反.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量7/；,在空间任取一点0,作。4 =%方= /；,则NAO8 叫做向量不与5的夹角，记作；且规定0方,6乃，显然有=;若v%B=二，则称)与坂互相垂直，记作：alb.2.向量的模：设函=2,则有向线段函的长度叫做向量)的长度或模，记作：京1.向量的数量积:a-b = a-b-cos.已知向量方=不和轴/, ?是/上与/同方向的单位向量，作点A在/上 的射影A,作点3在/上的射影力,则 W叫做向量而在轴/上或在？上的 正射影.可以证明血；的长度1初1=1而lcosvM1TMZI

41、.空间向量数量积的性质：ire =ii cos . (2) a Lb /? =0 . (3) al2=ci -a .空间向量数量积运算律:（Aa）-b=A（a-b） = a-（Ab）. （2） a-b=b a （交换律）（3）a-（b+c） = a b+ci-c （分配律）.四.空间向量的坐标运算（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.令a = （4,&,氏），1 =（仇也也），则 a + b = （aIb 1 02b2。3b J 4a =（而】及2,幽3）（% 金r）4 =d+。2。2+。33 a b。=肪,肪

42、）.。3=劝3（/ w R）= a -L =Qd+。）/?）+。383= 0 % b2 byR =屈=la、J （用到常用的向量模与向量之间的转化：p|2 = n-n = p| = yja a ）O空间两点的距离公式：d = Jd9+（乃f ）2+（Z2-ZI）2.（2）法向量：若向量Z所在直线垂直于平面%则称这个向量垂直于平面,记作;如果;；_La那么向量;叫做平面a的法向量.（3）用向量的常用方法: o利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面。的法向量，AB是平面a的一条射线，其中Aca,则点B到平面a的距离为理上.1/?1o利用法向量求二面角的平面角定理：设二冠分别是二面角aT-尸

43、中平面 的法向量，则二无所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（二三方向相同，则为补角，二;T反方，则为其夹角）.。证直线和平面平行定理：已知直线平面a, A Bea,C Da ,且CDE三点不共线，则aa的充要条件是存在有序实数对加使通=2方+3.（常设荏=沅5+茄求解4若儿存在即证毕,若大不存在，则直线AB与平面相交）.五.空间的角.异面直线。力所成角的定义：已知两条异面直线a、b,经过空间任一点 0作直线a /a, bb,由于a和b所成角的大小与点0的选择无关, 我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角 （或夹角）.直线与平面所成角。:（1）直线与平面平行或直线在平

44、面内，则8 = 0度（2）直线与平面垂直，则6 = 90度.（3）直线是平面的斜线，则6定义为一个平面的斜线和它在这个平面内 的射影的夹角，叫做斜线个平面所成的角（或斜线和平面的夹角）.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。.二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。.二面角的平面角：一个平面垂至于二面角a T-B的棱1,且与两个半平面 的交线分别是射线OA、0B, 0为垂足，则A0B叫做二面角a-l-B的平面角。（二面角的大小范围是0度180度）六.空间距

45、离.点到平面的距离：一点到它在一个平面内的正射线的距离叫做这一点到这 个平面的距离。.直线到平面的距离：一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做 这条直线到平面的距离。.两个平面的距离：两个平行平面的公垂线的长度，叫做两个平行平面的距 离。.异面直线间的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离。七.空间角.空间距离综合八.棱柱L棱柱.直棱柱侧面积：5 = 0 （。为底面周长，力是高）该公式是利用直棱柱的侧 面展开图为矩形得出的.斜棱住侧面积：s = w（G是斜棱柱直截面周长，/是斜棱柱的侧棱长） 该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.四棱柱 n 平行六面体

46、o 直平行六面体n长方体 n 正四棱柱 n 正方体.直四棱柱 c 平行六面体二直平行六面体.棱柱具有的性质：o棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的/T7各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形.o棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.o过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：。棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱.（X）（直棱柱不能保证底面是银形可如图）o （直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.。平行六面体：定理一：幸行夫而祢向舟府经女手，支，并且在交点处互相平分.注:四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对

47、角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为则cos2 a + cos2 /7 + cos2 7 = 1 推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为a/j，则cos2 a + cos2 万 + cos2 y = 2 .注:。有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（X）（斜四面体的两个平行 的平面可以为矩形）。各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（X）（应是各侧面都是正 方形的宣棱柱才行）。对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（X）（只能推出 对角线相等，推不出底面为矩形）。棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与

48、底面的 两条边垂直.（两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要 条件）九.棱锥棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.注:一个棱锥可以四各面都为直角三角形.一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以Vg=Sh =3V峰.o正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.注:。.正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）。.正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正侧棱与底棱不一定相等iii.正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.正棱锥的侧面积：s = _Lch （底面周长为c,斜高为/）

49、 2 TOC o 1-5 h z qS底o棱锥的侧聊与底面积的射影公式：S侧二区二（侧面与底面成的二面附：以知C_L/, cosa a = b , a为二面角S底则 S=q/。 , S）= l b , cosaa=。 = o o o 得 Sriij =.2- 2cosa注：S为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.o棱锥具有的性质：正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上 的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的 高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.o特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：0棱锥的侧棱

50、长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.。棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形 的外心.-棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形 内心.o棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内 心.o三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.o三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.o每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径;o每个四面体都有内切球，球心/是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.注:。.各个侧面都是等腰三角形，且底面

51、是正方形的棱锥是正四棱锥.D（X）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）A .。.若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然简证：ABJ_CD, ACJ_BD = BCJ_AD.令瓦=3而=2n得就=元-氟而=三就方=立二已知羡仁=0花/二）=0=ac-bc = O则丽.石=o。.空间四边形0ABC且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形 一定是矩形.。.若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一 定是正方形.简证：取AC中点。，则必_L4C,8OAC = AC_L平面OOB = AC上BO = NFGH = 90易知EFGH为平行四边形= EFGH为长方形.若对角线等

52、，则上万= AG = AG 为正方形.十.圆柱.圆锥图形定义轴直线06直线so有关线母线底面圆圆平行于圆圆有底关面的截面轴截面全等的矩形全等的等腰三角形侧面及展开图十一.球球：。球的截面是一个圆面.球的表面积公式：S=4冰t球的体积公式：V=g砥3.o纬度、经度：纬度：地球上一点P的纬度是指经过P点的球半径与赤道面所成的角的 度数.经度：地球上A8两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所 确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A的经线是本初子 午线时，这个二面角的度数就是8点的经度.附：圆柱体积：1/=2力3为半径，力为高）圆锥体积：V =（，为半径，力为高）0锥形体积6（S为

53、底面积，力为高）4343 44344（3）.0内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a,力=”,注：球内切于四面体：VB.ACD=1-SM R 3 + -Ss-R=Sc-h0外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.十二立体几何综合问题第八章直线和圆的方程直线的方程1、倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为0z）.斜率：当直线的倾斜角不是90时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan 0在平面直角坐标系中表示 直线Ax+8），+C = 0某一侧的所有点组成的平面区域（半平面）不含边界 线.不等式Av+ 5），+。之0所表示的平面区域（半平面）包括

54、边界线.（2）对于直线Ax+ By+C = 0同一侧的所有点（x, y）,使得Ax + By + C 的值符号相同。因此,如果直线Ar+8.v+C = 0一侧的点使Av + By + C0,另一侧的点就使Ar + By + C 0 （或Ax+ 3）+ C0).特殊地，当=。=0时，圆心在原点的圆 的方程为：x2+/=r2.2、圆的一般方程/+)，2+。1 + +/=0,圆心为点半径22ylD2+E2-4F r =其中。2+七24/0.3、二元二次方程A/+8町+ C）c+h +y+b=0,表示圆的方程的充要条件是：、/项）,2项的系数相同且不为0,即4=。工0；、没有xy项，即 B=0；、D2

55、+E2-4AF0. y* * 尸CCS夕4、圆。：*一，）2+。，一）2=/的参数方程为 ,（。为参数）.特y = b + rsinO殊地，x2 + ）,2 = r2的参数方程为F = rCOSf （ 0为参数）. y = rsind五.直线与圆的位置关系将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为,圆心C到直线L的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切Ud=r A =0相交OdGO A0相离 dr A 02、圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R和r,圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下关系:外离 dR+r外切Od=R+r相交 OR-rdR+r内切 Ud=Rr内含Od |F

56、F/)的点的轨迹1.到两定点R.R的距 离之差的绝对值为定 值 2a (02a|FRl)的 点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0el）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程22二十 1 = 1(4 0)少 b-22二一二=1 (a0,b0) cr b-y-2px参数方程卜=”广（t为参数） y = 2 Pt范围一a?x?a, b?y?b|x|?a, y?Rx?0中心原点0 (0, 0)原点0 (0, 0)顶点(a, 0),(一(a, 0), (a, 0)(0, 0)a, 0), (0, b), (0, b)对称轴X轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴；实

57、轴长2a,虚轴长2b.X轴隹占J、 J、FMCFKc, 0)FKCFKc,。)焦距2c Cc=ya2 -b )2c (c=y/a2 +h2 )离心率e=l准线x cX二土右 c渐近线b y= x焦半径通径2p焦参数P.椭圆的定义：第一种定义:平面内与两个定点玛、艮的距离之和等于常数(大于I FR I )的 点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.第二种定义:平面内一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的 比是小于1的正常数，这个动点的轨迹叫椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫 做椭圆的准线.椭圆的标准方程：22-r + r = 1( /? 0),焦点：R (c,

58、 0), Fc(c, 0),其中 c= y/(r b .cr b-22- = l(f/ /? 0),焦点：F (0, -c), F2(0, c),其中 c- -b- . lr cr.椭圆的参数方程：F = cse,(参数0是椭圆上任意一点的离心率). y = sin。.椭圆的儿何性质：以标准方程二十二=1( b 0)为例：cr b-范围：x Wa, y Wb;对称性:对称轴x=0, y=0,对称中心为0(0, 0);顶点 A(a,0),A (-a,0),B(0,b),B (0,-b);长轴 AA |=2a,短轴BB =2b;离心率:e=二0el; a2准线x= ; c焦半径：PRUa+ex,

59、iPFzUa-ex,其中P(x,y)是椭圆上任意一点.二.双曲线L双曲线的定义(1)双曲线的笫一定义：平面内与两定点艮、艮的距离差的绝对值等于常数2a(02al)2.双曲线的标准方程22(1)焦点在 x 轴上：二一二=1(00),焦点坐标为 R(-c, 0), F：(c, 0), cr b-c = -Ja2 +b2 .2焦点在y轴上：二一二=1(。 0功 0),焦点坐标为K (0, _ b-c), F：(0, c). c = y/a2 +b2 .双曲线简单儿何性质：以标准方程二-二=1(0,/7 0)为例. a b(1)范围:x 2a;即 xNa, xW-a.(2)对称性:对称轴为x=0, y

60、=0;对称中心为0 (0, 0).(3)顶点：4(-a, 0),A：(a, 0)为双曲线的两个顶点;线段A,k叫双曲线的实轴,BB叫双曲线的虚轴，其中 B：(0,b),B(0,b). AA =2a, B&二2b.(4)渐近线:双曲线渐近线的方程为y=2x;（5）准线:x=土土 ; c（6）离心率：e二二，eL a.等轴双曲线高-y三土,实轴长等于虚轴长,其渐近线方程为y二士x,离心率 e=/2三.抛物线.抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨 迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线1叫做抛物线的准线，定点不在 定直线上.开口向右、向左、向上、向下的抛物线及其标准方程