机械制图第五章立体的投影课件

1、第5章 立体的投影 立体的投影 立体的投影 5.1基本立体的投影 5.1.1平面立体的投影 5.1.2回转体的投影 5.2平面与立体相交 5.2.1一般性质 5.2.2平面与平面立体相交 5.2.3平面与回转体相交 5.2.4组合截交线 5.3两回转体相交 5.3.1相贯线概述 5.3.2利用积聚性求相贯线 5.3.3利用辅助平面法求相贯线 5.3.4相贯线的特殊情况 5.3.5组合相贯线 5.4立体的尺寸标注 5.4.1基本立体的尺寸标注 5.4.2截断体的尺寸标注 5.4.3相贯体的尺寸标注 立体的投影 立体是由表面按一定规律围成的实体，根据表面的几何性质，基本形体分为平面立体和曲面立体两

2、类。完全由平面围成的立体，称为平面立体，常见的平面立体有棱柱和棱锥，如图5-1a所示；表面有曲面的立体，称为曲面立体。若曲面立体的曲表面是回转面，则称为回转体。常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和环，如图5-1b所示。 (a) 平面立体 (b) 曲面立体 图5-1立体5.1基本立体的投影5.1.1平面立体的投影 平面立体的表面都是多边形，最有代表意义的多边形称为底面，与底面相交的多边形侧面称为棱面，棱柱和棱锥是由棱面和底面围成的。相邻棱面的交线称为棱线，棱柱的棱线相互平行，棱锥的棱线汇聚于一点。绘制平面立体的投影，可归结为绘制组成其表面的各棱面和底面的投影，进一步说是要绘制组成这些面的棱线和顶点的

3、投影。国家标准规定：当轮廓线的投影可见时，画粗实线。当轮廓线的投影不可见时，画虚线。当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。5.1基本立体的投影1) 棱柱 （1）棱柱的投影 棱柱是由上、下底面和棱面组成的，一般棱面垂直于底面，注意摆放位置应使棱柱表面尽可能多地平行或垂直于投影面。根据底面多边形的形状通常可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱等。 图5-2正六棱柱的三面投影及表面上取点5.1基本立体的投影棱柱的投影特征是：在与底面平行的投影面上的投影为一与底面全等的多边形，反映棱柱形状特征，在另外两个投影面上的投影为若干矩形线框。 作图时先画反映底面实形的那个投影，然后再画其它两面投影，最后对棱线的投影

4、判别可见性。 图5-2正六棱柱的三面投影及表面取上点5.1基本立体的投影（2）棱柱表面上取点 【例5-1】 已知正五棱柱的外接圆直径为40mm，高为25mm，底面平行于H面，画 出该五棱柱的三面投影图。图5-3 正五棱柱的三面投影 5.1基本立体的投影2) 棱锥（1）棱锥的投影 (a) (b) 图5-4 正三棱锥的三面投影及表面上取点 (a) (b) 图5-4 正三棱锥的三面投影及表面上取点由此可见，棱锥的投影特征是：在与棱锥底面平行的投影面上的投影的外轮廓为多边形，反映棱锥的特征，轮廓内根据棱锥的边数，为几个三角形。其余两个投影为一个或几个三角形的封闭线框。画三棱锥体的三面投影时,应先画出底

5、面ABC的三个投影，再画出锥顶S的三面投影s、s及s，最后顺次连接锥顶S和底面三个顶点A、B、C的同面投影，即得到三棱锥的三面投影，如图5-4b所示。5.1基本立体的投影（2）棱锥表面上取点如图5-4，已知三棱锥表面的M点和N点的正面投影m、n，求出两点的其他投影。 (a) (b) 图5-4 正三棱锥的三面投影及表面上取点5.1基本立体的投影5.1.2回转体的投影由回转面或回转面与平面围成的曲面立体称为回转体。回转面是一动线绕一定线回转一周后形成的规则曲面，其动线称为母线，其定线称为轴线。母线处在旋转中的某一个位置时称为素线，母线上每一点运动轨迹都是圆，称为纬圆，纬圆平面垂直于回转轴线。画回转

6、体的投影图即画该回转体对各投影面的边缘轮廓线，轮廓线可能是平面的积聚投影，也可能是回转面的转向轮廓线。回转体的转向轮廓线是切于回转面的诸射线与投影面交点的集合，是回转面可见投影与不可见投影的分界线。5.1基本立体的投影1) 圆柱体（1） 圆柱体的形成和投影 圆柱体由圆柱面和上下底面围成。其中圆柱面由一直母线绕与它平行的轴线回转一周而成（图5-5a），上下底面分别为垂直于圆柱面的圆平面。 (a) (b) (c) 图5-5 圆柱体的三面投影5.1基本立体的投影 圆柱体的投影特征：在轴线所垂直的投影面上的投影为圆，其它两个投影是矩形。画圆柱的三面投影时，一般先画出各投影的轴线和中心线，然后画投影为圆

7、的图形，最后再画出其它两个矩形图形，如图所示。5.1基本立体的投影（2）圆柱表面上取点 当点在上下底面时，可按平面上取点的方法，直接求出；当点在圆柱面上，若点在转向轮廓线上时，可利用线上取点的原理，直接作出；若点在圆柱面素线上，可利用圆柱面积聚投影圆来作出点的投影。 (a) (b) 图5-6 圆柱表面上取点5.1基本立体的投影2) 圆锥体（1）圆锥体的形成和投影圆锥体由底面和圆锥面所围成。圆锥面可看成是由一直线绕与它相交的轴线回转一周而成（图5-7a），底面为垂直于轴线的圆平面。 (a) (b) (c) 图5-7 圆锥的三面投影5.1基本立体的投影（2）圆锥表面上取点 圆锥面在三个投影面上的投

8、影都没有积聚性，所以在圆锥面上取点，首先要分析点所处的位置，如果点在转向轮廓线上线上，可利用线上点的投影规律求出，方法与圆柱相似；如果点在圆锥面的一般位置上，可利用其几何特征，通过在圆锥面上作简单辅助线求出。作辅助线的方法有两种：一种是素线法，即过锥顶的直线；另一种是纬圆法，即垂直于轴线的圆。具体作图方法在下面的例题中详细介绍。5.1基本立体的投影【例5-2】 已知圆锥面上点M和N的正面投影m、（n）（图5-8a）,作出点M和N的水平投影和侧面投影。 (a) 题设 图5-8 圆锥表面上取点的方法分析：从点M的正面投影m可知，点M在圆锥面的左前部分上；又从点N的正面投影（n）可知，点N在圆锥面的

9、右后部分上，均需要作辅助线才能求出其他投影，空间分析见图5-8b。(a) 题设 (b) 空间分析 图5-8 圆锥表面上取点的方法(c) 作图5.1基本立体的投影3)球体 (1) 形成和投影分析 (a) (b) (c) 图5-9球的三面投影注意：对球体的各转向轮廓线，只在显示外形轮廓时才画出，在另外两个投影面上，位置均在中心线上，规定不画出其投影。5.1基本立体的投影（2）球面上取点球面在三个投影面上的投影都没有积聚性，所以在球面上取点，首先要分析点所处的位置，如果点在转向轮廓线圆上，可利用平面圆周上点的投影规律求出；如果点在球面的一般位置上，可利用其几何特征，通过在球面上作辅助纬圆求出。 (a

10、) 题设 (b) 空间分析 (c) 作图 图5-10 球面上取点的方法5.1基本立体的投影4）圆环的投影（1）形成和投影分析 圆环由圆环面围成，圆环是由圆母线绕与圆同一平面，但不通过圆心的回转轴回转而成，见图5-11a。图5-11b是铅垂轴线圆环在三投影面体系中空间形状和各投影面上的投影，图5-11c是此圆环展开后的三面投影。 (a) (b) (c) 图5-11 环的三面投影及其表面取点5.1基本立体的投影（2）圆环面上取点 环面的各个投影均无积聚性，若要在环的表面上取点，首先要分析点所处的位置，如果点在转向轮廓线圆上，可利用平面圆上点的投影规律求出；如果点在圆环面的一般位置上，可利用其几何特

11、征，通过在环面上作辅助纬圆求出。 如图所示，已知环面上点M的正面投影m和点N的水平投影n，要求出这两点的其余投影。5.2平面与立体相交5.2.1一般性质如图5-12，平面与立体相交，可认为是立体被平面截切，通常称该平面为截平面，立体被截切后的部分称为截切体，立体被截切后的断面称为截断面，截平面与立体表面的交线称为截交线。截交线的基本性质：（1）截交线既在截平面上，又在立体表面上，是截平面和立体表面的共有线，截交线上的每一个点都是截平面和立体表面共有点。（2）立体是由其表面围成的封闭形体，所以截交线必然是由一条或多条由直线或平面曲线围成的封闭平面图形。（3）截交线的形状决定于立体表面的形状和截平

12、面与立体的相对位置。根据截交线的性质，求截交线可归结为求截平面与立体表面的一系列共有点，然后依次连接即可。求截交线的方法，既可利用投影的积聚性直接作图，也可通过作辅助线的方法求出。 图5-12 平面与立体相交5.2平面与立体相交5.2.2平面与平面立体相交因为平面立体的表面由若干平面围成，所以平面与平面立体相交时的截交线是一个封闭的平面多边形，多边形的顶点是截平面与平面立体棱线的交点，多边形的每条边是平面立体的棱面与截平面的交线。因此求作平面立体上的截交线，可以归纳为先求出截平面与平面立体各棱线的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线。注意：只有两点在同一个表面上时才能连接，可见棱面上的两点

13、用粗实线连接，不可见棱面上的两点用虚线连接。5.2平面与立体相交【例5-3】三棱锥被正垂面截切，完成截切后的各投影（图5-13）。 (a)题设 图5-13 平面与三棱锥相交分析：如图5-13a所示为一三棱锥S-ABC被一正垂面所截切，截交线的正面投影具有积聚性,截交线的其他投影可通过求截平面与各棱面的交线求得。具体作图任务是求正垂面与各棱线的交点、，然后连接成三角形，空间分析如图5-13b。(b) 空间分析 (c)作图注意：完成截交线的投影后，还应整理棱线的投影，棱线的端点应画到与截交线的交点。5.2平面与立体相交5.2.3平面与回转体相交1)平面与圆柱相交截平面位置平行于轴线垂直于轴线倾斜于

14、轴线空间形体截交线形状矩形圆椭圆投影图表5-1圆柱的截交线5.2平面与立体相交【例5-4】已知铅垂轴线的圆柱体被正垂面所截（图5-14a），补全截切圆柱体的投影。 (a)题设 图5-14 平面与圆柱斜交分析： 如图5-14 a所示，圆柱被正垂面所截，由于平面与圆柱的轴线斜交，因此截交线为一椭圆。截交线的正面投影积聚为一斜线，截交线的水平投影积聚于圆周，可直接得到，故只需要补画出截交线的侧面投影，根据表5-1分析其仍是椭圆，可根据截交线正面和水平投影，求点连线画出，空间分析如图5-14b。(b) 空间分析(c) 作图5.2平面与立体相交2) 平面与圆锥相交截平面位置过锥顶垂直于轴线倾斜于轴线倾斜

15、于轴线=平行或倾斜于轴线 或=0空间形体截交线三角形圆椭圆抛物线+直线双曲线+直线投影图表5-2圆锥的截交线5.2平面与立体相交【例5-5】完成侧平面截铅垂轴线圆锥体后截交线的投影（图5-15a）。 (a)题设 图5-15 侧平面与圆锥相交分析： 截平面为侧平面，且与圆锥轴线平行，截交线由双曲线和直线组成，空间分析如图5-15b所示。双曲线的侧面投影反映实形，直线的正面投影积聚在圆锥底面的投影上；它们的水平投影和正面投影均积聚在截平面的投影上。因此，只需求出截交线的侧面投影。(b)空间分析(c)作图5.2平面与立体相交3）平面与球相交截平面位置平行于V面平行于H面垂直于V面空间形体截交线投影正

16、平圆和直线直线和水平圆直线和椭圆投影图表5-3 球表面的截交线5.2平面与立体相交【例5-6】 完成正垂面P截切圆球的截交线（图5-16a）。 (a )题设图5-16 正垂面与圆球相交分析：圆球被正垂面截切，截交线的正面投影积聚为一直线，水平投影和侧面投影均为椭圆。(b)作特殊点 (c )作一般点 (b)整理、连线完成作图5.2平面与立体相交5.2.4组合截交线根据工程设计的需要，截平面与立体的相交形式可分为：单体单面，即一个基本立体被一个截平面所截切而成；单体多面，即一个基本立体被多个截平面所截切而成；多体多面，即几个基本立体组成一个机件，被多个截平面所截切而成。前面已对单体单面截切体的投影

17、进行了讲述，下面举例说明单体多面和多体多面截切体投影的绘制。5.2平面与立体相交【例5-7】求四棱锥被两个平面截切后的水平投影和侧面投影（图5-17a）(a)题设分析：四棱锥被水平面和侧平面组合截切，截交线的正面投影均积聚为直线，水平投影和侧面投影分别为多边形或积聚投影，空间分析如图5-17b所示。 (b)空间分析 (a)题设 (b)空间分析 (c) 求在棱线上的截交点 (d)求两截平面交点 (e) 整理、连线完成全图图5-17 多个平面截切四棱锥5.2平面与立体相交【例5-8】求圆柱体被多个面所截切后的投影（图5-18a）。分析：圆柱表面被侧平面截切产生两条素线FG、HI；被水平面截切产生两

18、段圆弧；被正垂面截切产生一段椭圆弧，空间分析如图5-18b所示。截交线的正面投影均积聚为直线，截交线的水平投影积聚于圆周，可直接得到。截交线的侧面投影可由正面和水平面的投影分别求出。(a)题设图5-18 多个平面截切圆柱体 a)题设 (b)空间分析 图5-18 多个平面截切圆柱体 (c)作图过程 (d)整理、连线5.2平面与立体相交【例5-9】求同轴组合回转体被多个平面截切后的水平投影（图5-19a）(a)题设 图5-19 多个平面截圆锥和圆柱的投影分析：同轴线的圆锥体和圆柱体被两个平面截切，其轴线是侧垂线，截平面分别为水平面和正垂面。水平截面分别截切到圆锥、小圆柱和大圆柱，截交线的正面投影和

19、侧面投影积聚为直线，水平投影反映实形。由于水平截面与圆锥和圆柱的轴线平行，则截交线的水平投影在圆锥部分反映双曲线实形，在两个圆柱上的投影为开口的矩形；正垂截面只截切到大圆柱，截交线的正面投影积聚为一直线，侧面投影积聚在圆周上，水平投影为椭圆的一部分，空间分析如图5-19b所示。(b)空间分析 (c)作图过程 (d)整理、连线 图5-19 多个平面截圆锥和圆柱的投影5.2平面与立体相交【例5-10】完成开槽六棱柱的投影（图5-20a）。 (a)题设图5-20 开槽六棱柱的投影分析：由已知可见六棱柱有一开口朝上的通槽，槽底为水平面，两个槽侧面为侧平面。通槽的正面投影已知，三个面都具有积聚性；水平投

20、影中，槽底是八边形实形，两个槽侧面均积聚为直线；侧面投影中，槽底面积聚成一条直线，槽侧面为完全重叠的矩形，空间分析如图5-20b所示。 (b)空间分析 (c)作图过程 (d) 整理、连线 图5-20 开槽六棱柱的投影5.2平面与立体相交【例5-11】完成开槽圆柱体的各投影（图5-21a）。(a)题设 分析：圆柱体上方的切口槽是由左右对称的两个侧平面和一个水平面组合截切而成的，两个侧平面截圆柱体的截交线都是矩形，其正面投影和水平投影均积聚为直线，侧面投影反映矩形实形。水平面与圆柱面的截交线是两段圆弧，与两个侧平面相交是两段直线，其正面投影和侧面投影积聚为直线，水平投影反映实形，空间分析如图5-2

21、1b所示。(b) 空间分析 图5-21 开槽圆柱体的投影 (c)作图过程 (d)结果 图5-21 开槽圆柱体的投影5.2平面与立体相交圆柱体是机械零件中最常见的基本形体，图5-22是两例与开槽圆柱体非常类似的组合截切体，分析思路和作图可参考例题5-11。 (a)两边切口 (b)穿方孔 图5-22 圆柱体被多面截切常见形式5.2平面与立体相交【例5-12】已知圆锥体如图5-23a所示，完成多面切割后圆锥的投影。(a)题设分析：切割后的圆锥可以看作被上下两个水平面和一个扩展后过锥顶的正垂面所截切的结果。两水平面都垂直于轴线，其截交线为圆；正垂面过锥顶，其截交线为两条素线。(b)空间分析图5-23

22、多面切割圆锥体 (c)作图过程 (d)作图结果 图5-23 多面切割圆锥体5.2平面与立体相交【例5-13】完成开槽半圆球的水平投影和侧面投影（图5-24）。 (a) 题设和空间分析 图5-24 开槽半圆球分析：半球上方的切口槽是由左右对称的两个侧平面P和一个水平面Q组合截切而成的，各截平面与球面的交线都是圆弧，根据截平面对投影面的位置，投影分别是圆弧和直线，空间分析如图5-24a所示。 (b)作图过程 (c)作图结果5.3两回转体相交 两立体相交称为相贯，两立体表面的交线称为相贯线，如图5-25。若有平面立体参与的相贯问题，可用前一节叙述的求截交线的方法解决，本节只讨论如何求两回转体的相贯线

23、。图5-25 相贯线5.3两回转体相交5.3.1相贯线概述1）两回转体的相贯线有以下性质：（1）相贯线是两回转体表面的共有线，也是两回转体表面的分界线，所以相贯线上所有的点是两回转体表面的共有点。（2）一般情况下，两回转体的相贯线是封闭的空间曲线（图5-26a），在特殊情况下可以不封闭，也可能为平面曲线（图5-26b、c），甚至是直线（图5-26d、e）。相贯线的形状，由两相交回转体的表面形状、大小及相对位置决定。5.3两回转体相交2）相贯线的求法 根据相贯线的上述性质，相贯线的画法归结为求两回转体表面的一系列共有点。再依次将各点的同面投影，按可见性区分连成粗实或虚的光滑曲线即可。求相贯线的方

24、法通常可分为两种：（1）积聚投影法相交两回转体，如果有一个表面投影具有积聚性时，就可利用该回转体投影的积聚性作出两回转面的一系列共有点，然后依次连成相贯线。（2）辅助平面法根据三面共点原理，作辅助平面与两回转体相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点。5.3两回转体相交5.3.2利用积聚性求相贯线1）作图方法当相交的两回转体中有一个是圆柱体，且其轴线为投影面垂直线时，则该圆柱的一个投影积聚为圆，相贯线在该投影面的投影积聚在该圆上，为一已知投影，可根据表面上取点的方法作出其他投影。5.3两回转体相交【例5-14】求作轴线垂直相交的两圆柱的相贯线（图5-27）。(a)题设 图5-27两圆柱正交的相

25、贯线分析：由于两圆柱轴线垂直相交，铅垂轴线圆柱的水平投影积聚为圆，则相贯线的水平投影积聚在水平圆上。侧垂轴线圆柱的侧面投影积聚为圆，又因相贯线是两圆柱的共有线，则侧面投影积聚在铅垂小圆柱侧面转向轮廓线之间的侧平圆弧部分，因此只需要求出相贯线的正面投影。 (b)求特殊点 (c)求一般点 （d）整理、连线 图5-27两圆柱正交的相贯线5.3两回转体相交2）讨论圆柱相贯线的几种情况(1）两圆柱相对直径发生变化对相贯线的影响。 如表5-4所示，相贯线总是朝大圆柱的轴线方向弯曲。当小圆柱的直径逐渐增大，直至两圆柱直径相等时，相贯线的正面投影由曲线变成直线。其实是相贯线由空间曲线转变为平面曲线椭圆，当椭圆

26、所在的平面与投影面垂直，投影就积聚成直线。5.3两回转体相交（2）内、外表面参与相交对相贯线的影响。 如表5-5所示，两圆柱体相交可能是两外表面相交、外表面与内表面相交、两内表面相交的三种形式，三种情况中，除了可见性可能不同以外，如果两圆柱体的形状、大小和相对位置均相同，则相贯线的形状和求法也是相同的。5.3两回转体相交【例5-15】已知两圆柱轴线垂直相交，内外表面都相贯，求其正面投影（图5-28）。(a)题设分析：由已知可见，两个圆柱的外表面直径相等，故相贯线是特殊情况，即两段垂直于V面的椭圆弧，投影为两条45直线。内表面上侧垂轴线的圆柱孔直径比铅垂轴线圆柱孔大，因此相贯线向下弯。图5-28

27、 两圆柱内外表面的相贯线 (b)画轮廓线(c)求外表面相贯线 (d) 求内表面相贯线5.3两回转体相交（3）两圆柱轴线的相对位置发生变动对相贯线的影响两轴线垂直交叉两轴线垂直相交两轴线平行表5-6两圆柱轴线的相对位置变动对相贯线形状的影响5.3两回转体相交【例5-16】已知两圆柱轴线垂直交叉，完成其正面投影（图5-29a）。(a)题设 分析：两圆柱轴线垂直交叉，铅垂轴线圆柱直径较小，全部参加相贯，相贯线的水平投影积聚在水平圆上。侧垂轴线圆柱直径较大，部分参加相贯，相贯线侧面投影积聚在铅垂小圆柱侧面转向轮廓线之间的侧平圆弧部分，因此只需要求出相贯线的正面投影，由表5-5可知，偏交圆柱体相贯线正面

28、投影不重叠。图5-29 求两圆柱偏交的相贯线 (b)求特殊点 (c) 求一般点(d)整理、连线5.3两回转体相交3）正交两圆柱相贯线的近似画法 为了简化作图，国家标准规定：在不致引起误解的情况下，图形中的相贯线可以用近似画法，即对当两圆柱正交且直径相差较大时，两圆柱表面的相贯线，允许简化为用圆弧代替。但当两圆柱的直径相差不大时，一般不宜采用这种方法。 (a)定圆心 (b)画圆弧 图5-30 相贯线的简化画法5.3两回转体相交5.3.3利用辅助平面法求相贯线求两回转体相贯线另一个常用的方法是辅助平面法。即假想用一个平面（称为辅助平面），截切两个回转体，平面与两个回转体都产生截交线，两截交线的交点

29、是三面共有点，即相贯线上的点。辅助平面的选择原则是使辅助平面与两回转体表面交线的投影都是最简单的线条（如直线和圆）。5.3两回转体相交【例5-17】求轴线正交的圆柱和圆锥的相贯线（图5-31a）。(a)题设 分析：圆柱与圆锥相交后的相贯线为一封闭的空间曲线，且前后对称。由于圆柱面在侧面投影积聚为圆，所以相贯线的侧面投影积聚在侧面的圆周上，可直接得到。相贯线的正面投影和水平投影需要借助辅助平面，通过求点连线的方法画出。 图5-31 轴线正交的圆柱和圆锥的相贯线 (b)求特殊点 (c)求一般点 (d)整理、连线 5.3两回转体相交【例5-18】求铅垂圆柱与半球相交的相贯线（图5-32）。(a)题设图5-32圆柱与圆球相交分析：由图5-32a可