机械优化设计及应用第一章

1、第一章 优化设计概述第一节 人字架的优化设计一、问题求：h D使 m min求使但应满足：强度约束条件：稳定性约束条件：二、强度、稳定条件钢管所受的压力：压杆失稳的临界条件：其中：钢管所受的压应力：钢管所受的临界力：因此，强度约束条件可以写成：稳定性约束条件可以写成：三、解析法假定使人字架总质量 为最小的最优解时，刚好满足强度条件，即：从而可将设计变量D用设计变量h表示：代入根据极值必要条件：即得：把所得参数带入稳定性条件，可以证明：即稳定约束条件得到满足，所以这两个参数是满足强度约束和稳定约束，且使结构最轻的最佳参数。四、作图法在设计平面D-h上画出代表两条曲线。五、讨论 对于具有不等式约束

2、条件的优化问题，判断那些约束是起作用的，那些约束是不起作用的，对求解优化问题是很关键的。第二节 机械优化设计问题示例 在优化设计中，通常是根据分析对象的设计要求，应用有关专业的基础理论和具体技术知识进行推导来建立相应的方程或方程组。 对于机械类的分析对象来说，主要是根据力学、机械设计基础知识和各专业机械设备的具体知识来推导方程或方程组，这些方程反映结构诸参数之间的内在联系，通过它可以研究各参数对设计对象工作性能的影响。例1平面四连杆机构的优化设计已知当机构的期望输出角：机构的实际输出角：相应的约束条件为：1）曲柄与机架共线位置时的传动角又所以：2）曲柄存在条件3）边界约束条件：综上：使例2生产

3、计划的优化示例某车间生产甲、乙两种产品， 消耗产品 材料（kg) 耗电（kw) 工时 利润（元） 甲 9 4 3 60 乙 4 5 10 120问：每天生产甲、乙两种产品各多少件，才能获得最大的利润？ 由以上例题不难看出，不论哪个专业范围内的问题，都可以按照如下的方法和步骤来建立相应的优化设计问题的数学模型：1）根据设计要求，应用专业范围内的现行理论和经验等，对优化对象进行分析，必要时需要对传统设计中的公式进行改进，并尽可能反映该专业范围内的现代技术进步的成果。2）对结构诸参数进行分析，以确定设计的原始参数、设计参数和设计变量。3）根据设计要求，确定并构造目标函数和相应的约束条件，有时要构造多

4、目标函数。4）必要时对数学模型进行规范化，以消除诸组成项间由于量纲不同等原因导致的数量悬殊的影响。第三节 优化设计的数学模型一、设计变量 一个设计方案可以用一组基本参数的数值来表示。这些基本参数可以是构件长度、截面尺寸、某些点的坐标值等几何量，也可以是重量、惯性矩、力或力矩等物理量，还可以是应力、变形、固有频率、效率等代表工作性能的导出量。 对于某个具体的优化设计问题，并不是要求对所有的基本参数都用优化方法进行修改调整。设计常数：根据已有经验预先取为定值。设计变量：在优化设计中不断修改、调整，一直处于变化状态。又叫优化参数。 设计变量的全体实际上是一组变量，可用一个列向量表示：称作设计变量向量

5、 这些设计变量可以是一些结构尺寸参数，也可以是一些化学成分的含量或电路参数等，一旦规定了这样一种向量的组成，这其中任意一个特定的向量都可以说是一个“设计”。 由n个设计变量为坐标所组成的实空间称作设计空间。 一个“设计”可以用设计空间中的一点表示，此点可以看成是设计变量向量的端点，（始点取在坐标原点），称作设计点。二、约束条件设计空间是所有设计方案的集合。 如果一个设计满足所有对它提出的要求，就称可行（或可接受）设计。反之称为不可行（或不可接受）设计。 一个可行设计必须满足某些设计限制条件，这些限制条件称为约束条件，简称约束。按约束性质分：性能约束侧面约束（边界约束）针对性能要求而提出的限制条

6、件对设计变量的取值范围加以限制按数学表达式分：等式约束不等式约束 约束是对设计点在设计空间中活动范围所加的限制。 凡满足所有约束条件的设计点，它在设计空间的活动范围称为可行域。三、目标函数 用来使得设计得以优化的函数称为目标函数。 用它可以评价设计方案的好坏，所以又称作评价函数。记作目标函数是n维变量的函数，它的图像只能在n+1维空间中描述出来，为了在n维空间中反映目标函数的变化情况，常采用目标函数等值面的方法。其数学表达式为：四、优化问题的数学模型 优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象，在明确设计变量、约束条件、目标函数之后，优化设计问题就可以表示成一般数学形式。求设计变量向量使且

7、满足约束条件利用可行域的概念，可将数学模型的表达式进一步简练：求 使：在实际优化问题中，目标函数一般有两种形式：按有无约束分：无约束优化问题约束优化问题按约束函数和目标函数是否同时为线性：线性规划问题非线性规划问题按问题规模分：大型中型小型五、优化问题的几何解释 无约束优化问题的极小点即为等值面的中心。 约束优化问题是在可行域内对设计变量求目标函数的极小点，此极小点在可行域内或在可行域边界上。第四节 优化问题的基本解法两种方法：解析法数值的近似解法 都分别具有针对无约束条件和约束条件的具体解法。按对函数导数计算的要求，数值方法分为：需要计算函数二阶导数需要计算函数一阶导数需要计算函数0阶导数在机械优化设计中，大致可分为两类设计方法：优化准则法数学规划法对角矩阵 一元函数求极值的过程简称为一维搜索过程。它是确定 的值使 取极值的过程。数学规划法的核心建立搜索方向计算最佳步长 收敛性是指某种迭代程序产生的序列 收敛于点列 收敛的必要和充分条件是：对于任意指定的实数 ，都存在一个只与 有关而与 无关的自然数 ，使得当两自然数 时，满足： 根据这个收敛条件，可以确定迭代终止准则，一般采用以下几种迭代终止准则：1）当相邻两设计点的移动距离已达到充分小时，若用向量模计算它的长度，则：2）当函数值的下降量已达到充分小时，即：或用其相对值：3）当某次跌代点的目标函数梯度以达到充分小时，即作