应力状态分析强度理论课件

1、第13章 应力状态分析 强度理论1 平面应力状态分析2 极值应力与主应力3 复杂应力状态的最大应力4 广义胡克定律 本章主要内容一、问题的提出：为什么要研究一点的应力状态和强度理论？1、轴向拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁的强度条件： 13.1 一点的应力状态概念 许用应力由测得的极限应力比上大于1的安全因子得到的。 2、同一截面上不同点的应力是不相同的；通过同一点的不同方位的截面上应力不同。轴向拉伸时斜截面上的应力FkkFp斜截面方向上的应力：(1) = 00 时， (2) = 450 时， (3) = -450 时，(4) = 900 时，通过同一点所取截面方位不同，应力的大小也不同为什么可以

2、建立强度条件呢？ 对于轴向拉压及平面弯曲中的正应力，由于杆件危险点横截面上的正应力是通过该点所有方位截面上正应力的最大值，而且是单向应力状态，所以可将其与材料在单向拉伸(压缩）时的许用应力比较建立强度条件。 3、但是以上强度条件并非万能，对于构件内既有正应力又有切应力的点，不能用以上两个强度条件，需综合考虑正应力与切应力的影响。（不是所有的应力状态上述强度条件都能解决）54321 4、对于既有正应力又有切应力的点，需要研究通过该点，各不同方位截面上应力的变化规律，从而确定该点处的最大正应力和最大切应力及其所在截面的方位。（即研究一点的应力状态）两个特殊应力状态的强度条件： 5、对于复杂应力状态

3、，需探求材料破坏的规律，确定材料破坏的共同因素，则可通过较简单的应力状态下的试验结果，来确定该共同因素的极限值，从而建立相应强度条件。（即需要研究强度理论）复杂应力状态：应力的组合有无限多的可能性，不可能用直接试验的方法来确定每一种应力组合情况下材料的极限应力。 故如果我们再用实验测得的极限应力比上安全因子得到许用应力显然不合适。 低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如左图及右图所示，脆性材料扭转时沿45螺旋面断开!(a)低碳钢(b)铸铁低碳钢和铸铁的扭转实验不同的材料在相同的受力情况下，失效的原因是不一样的相同材料在不同的受力情况下，失效的原因是不一样的二、应力状态的概念一点的应力状

4、态：通过构件内一点不同方位截面上的应力情况，称为这点的应力状态。三、应力状态的表示方法 1、单元体：构件内点的代表物，是围绕被研究点的无限小的正六面体。 任意一对平行平面上的应力相等，且代表通过所研究的点并与上述平面平行的面上的应力2、单元体特征单元体的尺寸无限小，每个面上应力均匀分布 单元体6个面上的应力就代表通过所研究的点的三个互相垂直截面上的应力画出下列图中A、B、C点的已知单元体. 画出如图所示梁S截面的应力状态单元体. 54321Fl/2l/2Fl/2l/2S截面254321543211x1x1x2x222333同一截面上，不同点上的应力不同3、主平面：单元体中切应力为零的平面4、主

5、应力：主平面上的正应力 三个主应力分别记为 1 ,2 , 3 且规定按代数值大小的顺序来排列, 即：1235、主单元体：一般情况下构件内每一点都可以找到相互垂直的主平面和与之对应的主应力，这个单元体称为主单元体 四、应力状态的分类1、空间应力状态 三个主应力1 、2 、3 均不等于零2、平面应力状态 三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零3、单向应力状态 三个主应力 1 、2 、3 中只有一个不等于零312231221111平面应力状态的普遍形式如图所示 .单元体上有x ,xy 和 y , yx13-2 平面应力状态分析 主应力 xxyzyxyyxxyxyyx 在微单元体的六个侧面上，仅在

6、四个侧面作用有应力，而且这些应力的作用线均平行于微单元体不受力表面，这种应力状态称为平面应力状态。一、任意斜截面上的应力1、截面法 假想地沿斜截面 ef 将单元体截开,留下左边部分的单体元 eaf 作为研究对象xyaxxyxxyefnefaxxyyxynxyaxxyxxyefn(1) 由x轴转到外法线n，逆时针转向时则为正（2)正应力仍规定拉应力为正（3)切应力对单元体内任一点取矩，顺时针转为正2、符号的确定efaxxyyxyn 设斜截面的面积为 dA , ae的面积为 dAcos ,af 的面积为 dAsinefaxxyyxyn 3、任意斜截面上的应力对研究对象列 n和 t 方向的平衡方程得

7、:xyaxxyxxyefn考虑切应力互等和三角变换化简以上两个平衡方程最后得：不难看出即两相互垂直面上的正应力之和保持一个常数二、最大正应力及方位1、最大正应力的方位令0 和 0+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在的平面.2、最大正应力利用得到 max 和 min (主应力）极值正应力就是主应力！下面还必须进一步判断0是 x 轴与哪一个主应力间的夹角!求出 sin2a0 和 cos2a0 带入下列公式:进一步判断0是x与哪一个主应力间的夹角!(1)当x y 时 ， 0 是x与max之间的夹角 (2)当xy 时 ， 0 是x与min之间的夹角(3)当x

8、=y 时 ，0 =45，主应力的方向可由单元体上 切应力情况直观判断出来.则确定主应力方向的具体规则如下:若约定 | 0 | 45即0 取值在45范围内三、最大切应力及方位1、最大切应力的方位令1 和 1+90确定两个互相垂直的平面，一个是最大切应力所在的平面，另一个是最小切应力所在的平面.2、最大切应力将 代入公式：得到 max和min 比较和可见即极值切应力所在平面与主平面之间的夹角互呈45度.xyxy 例题13-1 图示单元体，已知 x =-40MPa， y =60MPa，xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况及主应力和主单元体的方位.n30ef(1) 求 ef 截面上的应力(

9、2) 求主应力和主单元体的方位x = -40MPa y =60 MPa x = -50MPa=-30因为 x y ，所以 0= -22.5 与 min 对应xyxy22.513例题13-2 简支梁如图所示.已知 mm 截面上A点的弯曲正应力和切应力分别为 =-70MPa， =50MPa .确定A点的主应力及主平面的方位.并讨论其他点的应力状态。AmmalA解：把从A点处截取的单元体放大如图因为 x 0，例题13-3 讨论园轴扭转时的应力状态（求平面纯剪切应力状态的主应力及主平面方位）.并分析铸铁试件破坏现象。xy所以0= -45与 max 对应。45（2）求主应力1 = ， 2 = 0 ， 3

10、 = - 13铸铁抗拉强度较低，因此沿第一主应力方向拉断？四、应力圆-图解法一、莫尔圆将斜截面应力计算公式改写为：把上面两式等号两边平方，然后相加便可消去2，得 因为x ，y ，xy 皆为已知量，所以上式是一个以，为变量的圆周方程。当斜截面随方位角 变化时, 其上的应力 ， 在 - 直角坐标系内的轨迹是一个圆 .1、圆心的坐标2、圆的半径此圆习惯上称为 应力圆 或称为莫尔圆（由德国工程师 Otto Mothr引入）第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力(1) 建 - 坐标系 ,选定比例尺o二、应力圆作法1、步骤xyxxyxxyyy第11章 应力状态 强度理论11.2 平

11、面应力状态分析 主应力Dxyo(2) 量取OA= xAD = xy得 D 点xyxxyxxyxAOB= y(3) 量取BD= yx得 D 点yByxD(4) 连接 DD两点的直线与 轴相交于 C 点 (5)以C为圆心, CD 为半径作圆,该圆就是相应于该单元体的应力圆C第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力(1)该圆的圆心 C 点到 坐标原点的 距离为 (2)该圆半径为DxyoxAyByxDC证明：第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力三、应力圆的应用1、求单元体上任一 截面上的应力 从应力圆的半径 CD 按方位角 的转向 转动 2 得到半径 C

12、E.圆周上 E 点的坐标就依次为斜截面上的正应力 和切应力 。DxyoxAyByxDC20FE2xyaxxyxxyefn第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力DxyoxAyByxDC20FE2第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力证明：点面之间的对应关系：应力圆对应的是单元体，单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。应力圆与单元体对应关系：AB夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上对应两截面夹角的两倍。两者的转向一致。2OCBA第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力2、求主应力数值和主平面位置(1)

13、主应力数值A1 和 B1 两点为与主平面对应的点，其横坐标 为主应力 1 ，2 12DxyoxAyByxDC20FE2B1A1第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力20DxyoxAyByxDC12A1B1（2）主平面方位由 CD顺时针转 20 到CA1 所以单元体上从 x 轴顺时针转 0 （负值）即到 1对应的主平面的外法线0 确定后， 1 对应的主平面方位即确定第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力3、求最大切应力G1 和 G 两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力20DxyoxAyByxDC12A1B1G1G2因为最大最小切应力等于应力圆的半径

14、第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力o例题11-4 从水坝体内某点处取出的单元体如图所示,x = - 1MPa , y = - 0.4MPa , xy= - 0.2MPa , yx = 0.2MPa , (1)绘出相应的应力圆(2)确定此单元体在 =30和 = - 40两斜面上的应力。xyxy解: (1) 画应力圆量取OA= x= - 1 , AD = XY= - 0.2,定出 D点;ACBOB =y= - 0.4和， BD = yx= 0.2 , 定出 D点 . (-1,-0.2)DD(-0.4,0.2)以 DD 为直径绘出的圆即为应力圆。第11章 应力状态 强度理

15、论11.2 平面应力状态分析 主应力将 半径 CD 逆时针转动 2 = 60到半径 CE, E 点的坐标就代表 = 30斜截面上的应力。(2) 确定 = 30斜截面上的应力E60(3) 确定 = - 40斜截面上的应力将 半径 CD顺时针转 2 = 80到半径 CF, F 点的坐标就代表 = - 40斜截面上的应力。F80ADCBoD 3040 403030= - 0.36MPa30= - 0.68MPa40= - 0.26MPa-40= - 0.95MPa第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力 例题11-5 两端简支的焊接工字钢梁及其荷载如图所示，梁的横截面尺寸示于图

16、中。试绘出截面 c 上 a , b 两点处的应力圆，并用应力圆求出这两点处的主应力。12015152709zab250KN1.6m2mABC第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力+200kN50kN+80kN.m解: (1) 首先计算支反力, 并作出 梁的剪力图和弯矩图Mmax = MC = 80 kNmFSmax =FC左 = 200 kN250KN1.6m2mABC第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力12015152709zab(2)横截面 C上a 点的应力为a点的单元体如图所示axxxyyx第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状

17、态分析 主应力由 x ， xy 定出 D 点由 y ， yx 定出 D 点以 DD为直径作应力圆OC(3)做应力圆 x =122.5MPa， xy =64.6MPa y=0， xy =-64.6MPaAB(122.5 , 64.6)D(0 , - 64.6)DA113A2A1，A2 两点的横坐标分别代表 a 点的两个主应力 1 和 3 A1 点对应于单元体上 1 所在的主平面第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力 axxxyyx01312015152709zab(4)横截面 C上b点的应力b点的单元体如图所示bxx第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析

18、主应力b 点的三个主应力为1所在的主平面就是 x 平面 , 即梁的横截面 Cbxx(136.5 , 0)D(0 , 0)D1第11章 应力状态 强度理论11.2 平面应力状态分析 主应力11-3 特殊三向应力状态的极值应力 第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 一、一般的空间应力状态 已知受力物体内某一点处三个主应力 1、2、3 利用应力圆确定该点的斜截面上的应力、最大正应力和最大切应力。我们仅仅研究特殊空间应力状态下的斜截面上的应力、最大正应力和最大切应力31223113 【1】首先研究与其中一个主平面 (例如与主应力3平行 )的斜截面上的应力122 用截面法，沿

19、求应力的截面将单元体截为两部分，取左下部分为研究对象21 主应力 3 所在的两平面上是一对自相平衡的力， 因而该斜面上的应力 , 与 3 无关, 只由主应力 1 , 2 决定 因此，与 3 平行的斜截面上的应力可由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表示123321第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 该应力圆上的点对应于与3 平行的所有斜截面上的应力. 同理：A1O2B 【2】与主应力 2 平行的斜截面上的应力, 可用由 1 ,3 作出的应力圆上的点来表示.C3 【3】与主应力 平行的斜截面上的应力 , 可用由 2 ,3作出的应力圆上的点来表示.第11章 应力状态

20、强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 该截面上应力 和 对应的 D点必位于上述三个应力圆所围成 的阴影内. abc 截面表示与三个主平面斜交的任意斜截面.abc12123第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 A1O2BC3 弹性理论可证明 三个应力圆圆周上的点及由它们围成的阴影部分上的点的坐标代表了空间应力状态下所有截面上的应力 该点处的最大正应力(指代数值)应等于最大应力圆上A点的横坐标 1第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 A1O2BC3 最大切应力则等于最大的应力圆的半径 最大切应力所在的截面与 2 平行，并与1和 3所在

21、的主平面成 450角。第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 例题11-6 单元体的应力如图所示 ,作应力圆, 并求出主应力和最大切应力值及其作用面方位.解: 该单元体有一个已知主应力 因此与该主平面正交的各截面上的应力与主应力 z 无关, 依据 x 截面和 y 截面上的应力画出应力圆. 求另外两个主应力:40MPaxyz20MPa20MPa20MPa第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 由 x ， xy 定出 D 点由 y ， yx 定出 D 点以 DD为直径作应力圆A1，A2 两点的横坐标分别代表另外两个主应力 1 和 3 A1A2DO

22、DC13 1 =46MPa 3 =-26MPa该单元体的三个主应力 1 =46MPa 2 =20MPa 3 =26MPa根据上述主应力，作出三个应力圆第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 第11章 应力状态 强度理论11.3 特殊三向应力状态的极值应力 一、各向同性材料的广义胡克定律（1） 正应力：拉应力为正, 压应力为负1、符号规定（2） 切应力：对单元体内任一点取矩,若产生的矩为顺时针，则为正；反之为负 （3） 线应变：以伸长为正, 缩短为负； （4） 切应变：使直角减小者为正, 增大者为负. 11-4 广义胡克定律与应变能密度第11章 应力状态 强度理论11.

23、4 广义胡克定律与应变能密度 关于这样一个空间应力状态，对于各向同性材料，沿着各方向的弹性常数E、G、均分别相同。当变形很小且在线弹性范围内时，线应变只与正应力有关，而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关，切应力只引起同平面的切应变。第11章 应力状态 强度理论11.4 广义胡克定律与应变能密度第11章 应力状态 强度理论11.4 广义胡克定律与应变能密度第11章 应力状态 强度理论11.4 广义胡克定律与应变能密度上述六个公式为各向同性材料的广义胡克定律第11章 应力状态 强度理论11.4 广义胡克定律与应变能密度二、各向同性材料的体积应变123a1a2a3构件每单位体积的体积

24、变化, 称为体积应变，用表示.如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3变形后的边长分别为变形后单元体的体积为a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3V1=a1(1+ a2(1+2 a3(1+3第11章 应力状态 强度理论11.4 广义胡克定律与应变能密度体积应变为: 特例1、纯剪切应力状态下的体积应变即在小变形下，切应力不引起各向同性材料的体积改变. 特例2、三向等值应力单元体的体积应变三个主应力为单元体的体积应变mmm这两个单元体的体积应变相同。mmm123a1a2a3右边单元体的三个主应变相等：三、应变能密度一、应变能密度的定义二、应变能密度的计算公式1、单向应力状态下, 物

25、体内所积蓄的应变能密度为物体在单位体积内所积蓄的应变能.将广义胡克定律代入上式, 经整理得2、三个主应力同时存在时, 单元体的应变能密度为 用 vd 表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度, 称为畸变能密度。用 vV 表示单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为 体积改变能密度，它与体积应变有关。应变能密度 v等于两部分之和3、体积改变能密度 和形状改变能密度 一般情况下，单元体受力同时发生体积改变和形状改变。 (a)1 2 3(b)mm m=(1+ 2+ 3)/3代之以m图 a 所示单元体的三个主应力不相等，因而，变形后既发生体积改变也发生形状改变.图 b 所示单元体的三个主应力相等，

26、因而，变形后的形状与原来的形状相似，即只发生体积改变而无形状改变.图(c)所示单元体没有发生体积改变，仅仅发生形状的改变。(c)+图 b 所示单元体的体积改变能密度图a单元体的应变能密度为图a所示单元体的体积改变能密度为 空间应力状态下单元体的形状改变能密度1 2 3例题13-10 边长 a = 0.1m 的铜立方块，无间隙地放入体积较大， 变形可略去不计的钢凹槽中, 如图所示. 已知铜的弹性模量 E=100GPa，泊松比 =0.34，当受到F=300kN 的均布压力作用时，求该铜块的主应力、体积应变以及最大切应力.解：铜块横截面上的压应力aaaFzyxzxy铜块受力如图所示变形条件为解得铜块

27、的主应力为最大切应力体积应变为bhzb=50mmh=100mm课堂练习 已知矩形外伸梁受力F1，F2作用. 弹性模量 E=200GPa， 泊松比 = 0.3 , F1=100KN ， F2=100KN。求：（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3（2）A点处的线应变 x ， y ， zaAF1F2F2l解：梁为拉伸与弯曲的组合变形. A点有拉伸引起的正应力和弯曲引起的切应力.（拉伸） （负）Ax = 20 x = 30（1）A点处的主应变 1， 2 ， 3（2）A点处的线应变 x， y， z练习题 简支梁由18号工字钢制成. 其上作用有力F= 15kN ，已知 E=200GPa , = 0.3.

28、0.50.50.25FA04590求：A 点沿 00 ，450，900 方向的线应变h/4解： yA ，Iz ，d 查表得出为图示面积对中性轴z的静矩zAh/4AA = 50.8A = 68.80.5F13500.50.25A04590h/4AA = 50.8A = 68.81. 脆性断裂 : 无明显的塑性变形下突然断裂.二、材料破坏的两种基本类型（常温、静载荷条件下）2.屈服失效：材料发生显著的塑性变形而使结构丧失其正常 的工作能力.一、强度理论的概念强度理论：关于材料破坏决定性因素的各种假说 13-6 强度理论 1、 最大拉应力理论（第一强度理论） 认为最大拉应力 t 是引起材料发生脆断破坏的因素.【1】第一类强度理论（断裂强度理论）强度条件:1 当最大的拉 应力达到材料的极限应力 u时，构件发生脆性断裂破坏.（由伽利略1638年提出）脆断破坏的判据： 1 = u 优点：与某些脆性材料的拉伸试验结果相符合，适合破坏形式为 脆性断裂破坏的构件。 缺点：没有考虑另外两个主应力1和2的贡献，不太合理。2、最大伸长线应变理论（第二强度理论) 认为最大伸长线应变 t 是引起材料脆断破坏的因素. 当材料的最大伸长线应变t 达到材料的极限值u时，构件发生脆性断裂破坏. （1682年，由马里奥