建筑力学第10章课件

1、 建筑力学 学习目标理解压杆稳定的概念及临界荷载的意义。 掌握欧拉公式的使用条件及应用。 理解并掌握临界应力的计算步骤。 能够对不同条件下压杆的临界应力进行计算。 能够熟练应用稳定条件求解各种问题。 第10章 压杆稳定 10.1 压杆稳定的概念 10.1压杆稳定的概念 工程实际中把受轴向压力的直杆称为压杆。实践表明，这一结论只对短而粗的受压杆件是成立的。当轴向压力增大到一定数值时，在强度破坏之前，压杆会突然产生侧向弯曲变形而丧失工作能力，如图10-1所示。这种细长压杆在轴向受压后，其轴线由直变弯的现象，称为丧失稳定，简称失稳。失稳是不同于强度破坏的又一种失效形式，它会导致整个结构不能正常地工作

2、，给结构带来很大的危害，造成严重的工程事故。 10.1 压杆稳定的概念 10.1压杆稳定的概念 综上所述，短粗的压杆只考虑强度问题，而细长的压杆除了强度问题外，还应考虑稳定性问题，这也是设计中首先要考虑的问题，如图10-2所示桁架中的压杆、图10-3所示托架中的压杆及钢结构中的立柱等。因此在设计压杆时，进行稳定性计算非常重要。 10.1 压杆稳定的概念 10.1压杆稳定的概念 10.1 压杆稳定的概念 10.1压杆稳定的概念 除了压杆有失稳现象外，截面窄而高的梁、受外压力作用的薄壁壳形容器等，也有失稳现象发生。本章仅讨论压杆的稳定问题。 以图10-4（a）所示的细长压杆为例，它的一端固定，一端

3、自由。当用一个微小的干扰力横推压杆时，杆变弯，如图10-4（b）所示。但当干扰力除去后，杆轴线将在摆动中逐渐恢复直线状态，如图10-4（c）所示。若当轴向压力F增大到某一数值时，轴线仍可暂时维持直线平衡状态，但稍受干扰，杆就变弯，即使排除干扰后，压杆也不能恢复原有的直线平衡状态，而处于微弯的平衡状态，如图10-4（d）所示。 10.1 压杆稳定的概念 10.1压杆稳定的概念 当压力F增大到某一临界值Fcr时，弹性压杆将由稳定平衡过渡到不稳定平衡，对应的状态称为临界态，对应的临界值Fcr称为压杆的临界力或临界荷载，它标志着压杆由稳定平衡过渡到不稳定平衡的分界点。于是，压杆保持稳定的条件为FFcr

4、，失稳的临界条件为F=Fcr。不难看出，压杆的稳定性取决于临界力的大小：临界力越大，压杆的稳定性越强，压杆越不容易失稳；而临界力越小，压杆的稳定性越差，压杆越容易失稳。解决压杆的稳定性问题关键是要确定压杆的临界力。 10.1 压杆稳定的概念 10.1压杆稳定的概念 第10章 压杆稳定 10.2临界力、临界应力10.2.1临界力10.2.2临界应力10.2.3欧拉公式的适用条件 10.2.1 临 界 力 10.2临界力、临界应力 临界力是反映压杆稳定的承载能力指标，临界力越大，压杆的稳定性越好。当材料服从胡克定律时，压杆临界力的计算公式为 Fcr=2EI/(l)2 （10-1） 式中，Fcr为临

5、界力；EI是抗弯刚度；为支座长度系数，数值取决于杆两端的约束形式（见表10-1 压杆的长度系数表）；l为杆的长度。 式（10-1）称为欧拉公式，它说明压杆的临界力与杆的长度、截面形状尺寸、两端的约束形式及材料有关。细长的杆临界力小，稳定性差。 10.2.1 临 界 力 10.2临界力、临界应力 10.2.2 临 界 应 力 10.2临界力、临界应力 临界应力是指在临界力作用下压杆横截面上的压应力。材料服从胡克定律的条件下，压杆临界应力的欧拉公式为 （10-2） 其中 （10-3） 式中，cr为临界应力；E为材料拉（压）弹性模量；为压杆的柔度；i为惯性半径；I为轴惯性矩；A为杆横截面面积。 10

6、.2.2 临 界 应 力 10.2临界力、临界应力 是一个无量纲的值，取决于杆端约束情况、杆长和截面的形状与尺寸。压杆越细长，值就越大，临界应力将越小，说明压杆越容易失稳；反之，压杆越粗短，就越小，cr就越大，表明压杆的稳定性越好。10.2.3 欧拉公式的适用条件10.2临界力、临界应力 欧拉公式是在材料服从胡克定律的条件下推导出来的，因而压杆的应力不能超过比例极限p，即式（10-2）的适用条件为 （10-4） 令 （10-5） 则上述条件可写为 p （10-6） 式中，p是柔度的界限值。10.2.3 欧拉公式的适用条件10.2临界力、临界应力 只有当压杆的实际柔度值p时，临界应力的欧拉公式即

7、式（10-2）才适用。满足p的压杆称为大柔度杆。 当压杆的柔度值小于p时，欧拉公式不成立。对于塑性材料，令 （10-7）10.2.3 欧拉公式的适用条件10.2临界力、临界应力 根据压杆的实际柔度值，临界应力的计算公式如下。 （1）p，杆是大柔度杆，欧拉公式成立，计算公式为式（10-2），即cr=2E/2 (2) sp杆是大柔度杆，欧拉公式成立，临界应力为10.3压杆稳定条件及计算10.3.1压杆的稳定条件10.3.2稳定条件的应用 第10章 压杆稳定 10.3.1 压杆的稳定条件 10.3压杆稳定条件及计算 经前面的学习可知，在工程设计中，对于细长压杆除要进行强度计算外，还要考虑稳定性问题。

8、在工程设计中，稳定计算常用两种方法，即安全系数法和折减系数法。本节只介绍折减系数法。 10.3.1 压杆的稳定条件 10.3压杆稳定条件及计算 压杆的稳定条件是受压杆的最大工作应力不超过压杆稳定许用应力w，即 （10-8） 为了简化校核计算，将稳定许用应力w与强度许用应力的比值定义为折减系数，并用表示，即 ，则 （10-9） 10.3.1 压杆的稳定条件 10.3压杆稳定条件及计算 折减系数是一个小于1的系数，值取决于压杆的柔度和材料。几种常用材料的值见表10-3。这样，压杆的稳定安全条件可以写成 （10-11） 式（10-11）称为压杆稳定条件，利用稳定条件可进行稳定校核、截面设计及求许可荷

9、载等三个方面工作。 10.3.1 压杆的稳定条件 10.3压杆稳定条件及计算10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算 【例10-2】 如图10-6所示为一两端铰支的矩形截面木梁，杆端作用轴向压力F，已知F=48 kN， =10 MPa，截面尺寸为120 mm180 mm，折减系数=0.19，试校核该压杆的稳定性。例 题10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算 【解】本题是一个压杆稳定问题。 由 可知 此压杆不满足稳定性要求。10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算 【例10-3】 某锰钢架其尺寸、受

10、力如图-7（a)所示。已知AB杆、BC杆都为圆截面钢杆，AB杆直径d=60 mm，BC杆直径d=50 mm，许用应力为=160 MPa，求构架能承受的最大荷载P。10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算 【解】按强度条件估算最大荷载P。 （1）外力分析。B点受力图如图10-7（b）所示，列平衡方程以求两根杆所受的外力。 Fix=0 FABFBCcos 30=0 Fiy=0 FBCsin 30P=0 求得FAB=1.732P，FBC=2P。 （2）内力分析。 杆AB轴力为压力：FNAB=FAB=1.732P 杆BC轴力为拉力：F

11、NBC = FBC =2P10.3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算 （3）强度计算。 由 ，解得P261.2 kN。由 ，解得P157.1 kN。 能同时满足以上两个不等式的解为P157.1 kN，所以构架按拉（压）强度条件能承受的最大荷载为P=157.1 kN（1） 根据稳定条件估算最大荷载P。AB杆是压杆，因此需要AB杆进行稳定分析。 i=d/4=15 mm，=l/i=12 000/15=133，用插入法得=0.268。 由压杆稳定条件，即 ，得 由（1）和（2）可知，当P100.51 kN时，刚架能同时满足强度和压杆稳定的要求，因此构架能承受的最大荷载为100 kN。10.

12、3.2 稳定条件的应用10.3压杆稳定条件及计算10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算 根据前面的分析、推导可知，要想提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力和临界应力。由临界应力的计算公式可知，临界应力的大小取决于杆的尺寸及截面形状、杆两端的约束形式及材料的性质等，因此，可从下面几点出发来提高压杆的稳定性。10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算1.合理选择材料 由欧拉公式可知，大柔度杆的临界应力与材料的弹性模量成正比，所以选择弹性模量大的材料可以提高杆的临界应力，从而提高压杆的稳定性。但是，各种钢材的弹性模量值差别不大，选用高强度钢并不能明显提高大柔度杆

13、的临界应力，却会提高造价，故大柔度杆一般选用普通碳钢即可。中、小柔度杆的临界应力则与材料的强度有关，因此，选用高强度钢可以提高这类杆件的稳定能力。10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算2.降低杆的柔度1）选用合理的截面形状 在截面面积和其他条件相同的情况下，选择合理的截面形状能提高临界应力，则压杆的稳定性增大。 由临界应力的计算公式可知，临界应力与惯性矩成正比，增大截面的惯性矩，可以降低杆的柔度，从而提高压杆的稳定性。这说明在横截面面积相同的情况下，应尽可能使截面的材料远离形心轴，以获得较大的惯性矩。也就是说，在截面相同的情况下，空心截面要比实心截面合理，稳定性更好，如图10

14、-8所示。10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算2.降低杆的柔度1）选用合理的截面形状10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算2.降低杆的柔度1）选用合理的截面形状 此外，由于压杆总是在柔度较大的纵向平面内首先失稳，因此应尽可能使压杆在各个纵向平面内的柔度都相等，以使其获得较高的稳定性。例如，在图10-9所示的两种型钢的组合截面中，图10-9（a）的稳定性不如图10-9（b）。10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算2.降低杆的柔度1）选用合理的截面形状10.4 提高压杆稳定性的措施10.3压杆稳定条件及计算2.降低杆的柔度2）减小压杆的长度 柔度大的杆容易失稳，而柔度与杆的长度成正比，因此，在满足工程需要的情况下，应尽可能减小压杆的长度，以降