测量误差及测量平差概述和定律

1、测量误差及测量平差概述和定律5.1 测量误差概述5.2 衡量测量精度的指标5.3 误差传播定律5.4 等精度观测的直接平差5.1 测量误差概述一、误差的现象及定义二、误差来源三、误差的分类 误差现象 距离多次丈量 l1 l2 l3 , 三角形内角和 A+B+C180 水准测量 大量测量实践发现，测量结果中不可避免的普遍存在误差，具体表现在： 1. 对同一量多次观测，其观测值不相同。 2. 观测值之和不等于理论值 ABC不符值闭合差 真误差：观测值与客观真实值之差。 公式：目的: 找出误差产生的原因，制定减弱误差的措施，保证测量成果达到必需的精度。误差的定义二、测量误差来源（1）仪器的原因 原因

2、：固定的精确度、仪器构造不完善（2）人的原因 原因：感觉器官的局限性；技术水平、工作态度（3）外界环境的影响 原因：温度、气压等的变化通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境统称为观测条件。等精度观测观测条件相同的各次观测。不等精度观测观测条件不同的各次观测。三、测量误差的分类 测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可分为系统误差、偶然误差和粗差 。定义特点消除办法粗差系统误差偶然误差 举例 ： 钢尺 尺长、温度、倾斜改正 分析产生的主要原因： 是仪器设备制造不完善。 系统误差：在相同的观测条件下，对某量进行了一系列地观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化。思考：

3、水准仪 i角1. 系统误差水准仪：视准轴不平行于水准管轴（i角）结论：i角误差与前后视距差成正比。 消除和削弱的方法: （1）用计算的方法加以改正；（2）用一定的观测方法加以消除；（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器） 注意：系统误差具有积累性，对测量成果影响较大。 观测者的技术水平，外界环境的影响 举例 ：读数误差、瞄准误差 分析产生的主要原因： 偶然误差：在相同的观测条件下，对某量进行了一系列地观测，如果误差出现的大小和符号均不定，称为偶然误差（随机误差）。2. 偶然误差三角形内角和误差分布表偶然误差的特性有界性密集性对称性抵偿性：即 就单个值而言，偶然误差在观测前不能预知其大小和

4、符号。但就大量偶然误差总体来看，具有一定的统计规律。随着观测次数的增多，统计规律越明显。偶然误差不能消除，只能通过改善观测条件加以控制。注意：频率直方图每一误差区间上的长方形面积表示误差在该区间出现的相对个数（频率）。所有长方形面积之和等于1。 密度函数法因其符合正态分布，也称为正态分布曲线。 当 时，如果将误差区间 无限缩小，则矩形上部的折线，就趋向于一条以纵轴对称的光滑曲线，称为误差分布曲线。密度函数法 正态分布曲线的数学方程式： 式中 0，表示与观测条件有关的参数。 观测质量的好坏用误差分布的密集和离散程度来表示。三、测量误差的分类在观测结果中，有时会出现错误（读错、记错或测错等），统称

5、为粗差。杜绝办法：认真仔细作业，采取必要的检核措施 对距离进行往、返测量，对角度重复观测 对几何图形进行必要的多余观测，用一定的几何条件来检核3. 粗差 通过检核的方法发现粗差； 舍弃含有粗差的观测值，并重新进行观测。 按其产生的原因和规律加以改正、抵消和减弱。 根据误差特性合理的处理观测数据减少其影响。四、误差处理的原则1.粗差：2.系统误差：3.偶然误差： （1）用计算的方法加以改正；（2）用一定的观测方法加以消除；（3）将系统误差限制在允许范围内。（校正仪器） 测量平差3.2 衡量精度的标准精度：在相同的观测条件下，对一个量进行一组观测，各观测值之间的密集和离散程度。 在相同的观测条件下

6、所进行的一组观测，由于它们对应着同一种误差分布，因此，对于这一组中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。评定精度的标准 中误差 极限误差 相对误差一、中误差设对某一未知量x进行了n次等精度的观测，其观测值为l1、l2、ln，相应的真误差为1、2、n，则定义该组观测值的方差D为： 12+ 22+. + n2 i=lix（i1、2、3、.、n） x为未知量的真值。式中：由于D2，所以 称为中误差，在数理统计中称为标准偏差。当n为有限时，的估值为 在测量中常用m来代替中误差的估值，即设有不同精度的两组观测值结论：说明中误差值越小，观测精度越高。m1=2.7，m2=3.6式中：例：试根据下表数据，分别

7、计算各组观测值的中误差。解：第一组观测值的中误差：第二组观测值的中误差： 说明第一组的精度高于第二组的精度。说明：中误差越小，观测精度越高。用中误差作为衡量精度的指标，代表了观测值的密集和离散程度。相同观测条件下进行的一组观测，对应的是同一种误差分布，即一组观测值中的每一个观测值都具有相同的精度。中误差不等于每个观测值的真误差，而是一组真误差的代表值，代表了一组测量结果中任一观测值的精度，通常把m称为观测值中误差或一次观测中误差。二、极限误差根据偶然误差的第一个特性，在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，该限值称为极限误差（限差、允许误差）。极限误差是偶然误差限制值，用作观测成

8、果取舍的标准。理论和实验研究表明，大于两倍中误差的偶然误差个数约占总数的4.5%，大于三倍中误差的偶然误差个数约占总数的0.3%。测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；即 容=2m 或容=3m极限误差的作用：区别误差和错误的界限。返回 中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。在有些情况下，中误差并不能全面反映观测精度。 例如：分别丈量两段不同距离，一段为100m，一段为200m，中误差都是。此时是否能认为两段距离观测结果的精度相同？ 为了更客观地反映实际测量精度，必须引入相对误差的概念。 相对误差K：中误差的绝对值 m 与相应观测值 D 之比，通常以分母为1的分

9、式来表示，称其为相对（中）误差。即: 一般情况，角度、高差的误差用m表示，量距误差用K表示。三、相对误差 与相对误差相对应，真误差、中误差、容许误差称为绝对误差。例 已知：D1=100m, m1，D2=200m, m2，求： K1, K2解：K1K2,说明： 第二组的量距精度高于第一组的精度。 或然误差：将一组误差按其绝对值的大小排序， 取居中的一个误差值作为精度指标，以r表示。 平均误差：误差绝对值的平均值，用v表示。 实践数据表明： 从数值大小看，或然误差和平均误差都小于中误差，所以常用中误差来作为衡量精度的指标。5.3 误差传播定律 直接观测的量，经过多次观测后，可通过真误差或改正数（节

10、内容讲述）计算出观测值中误差，作为衡量观测值精度的标准。 概念 误差传播定律：倍数函数和差函数一般线性函数非线性函数函数形式 阐述观测值的中误差与观测值函数中误差的关系的定律。一、线性函数1. 倍数函数设有函数Z=kx，x为直接观测值，中误差为mx，k为常数，Z为观测值x的函数。如果对x作n次等精度观测，真误差分别为x1、 x2、. xn，对应的函数真误差为Z1、 Z2、. Zn，观测值与函数间的真误差存在如下关系：将上述关系式平方、求和、除以n得：式中： 在1：500地形图上,量得A,B两点间的距离Sab，其中误差mSab，求实地平距SAB和中误差mSAB。解： 设有函数Z= x y，x、y

11、是两个相互独立的观测值，均作n次观测，中误差分别为mx和 my，真误差关系式为2. 和差函数将上述关系式平方、求和、除以n得：由于x、y是相互独立的，偶然误差x、 y出现正负符号的机会相等，且正负符号互不相关，乘积x y也具有正负机会相同的性质。根据偶然误差的第三、第四特性，当n趋于无穷大时，第三项趋于零。即所以推广到n个独立观测值代数和差：当n个独立观测值是等精度观测时：CABD解：所以3. 一般线性函数根据倍数函数与和差函数的中误差公式： 设非线性函数的一般式为： 为独立观测值； 为独立观测值的中误差。 求函数的全微分二、 非线性函数式中： 用“”替代“d”，得 式中： 是函数 f 对 的

12、偏导数，当函数式与观测值确定后，它们均为常数，因此上式是线性函数，其中误差为：例已知：测量斜边Sm，测得倾角=15000030求：水平距离D的中误差？解：1.函数式 2.全微分 3.求中误差 1.列出观测值函数的表达式： 2.对函数式全微分，得出函数的真误差与观测值 真误差之间的关系式： 式中： 是用观测值代入求得的值。 三、运用误差传播定律的步骤 3.根据误差传播律计算观测值函数中误差： 注意： 在误差传播定律的推导过程中，要求观测值必须是独立观测值。例如，设有函数z = xy，而y=3x。 因为 x 与 y 不是独立观测值，不论 n 值多少，恒有因此，应把 z 化成独立观测值的函数，即 z

13、=x+3x=4x上式中 x与 3x两项是由同一个观测值X 组成的，必须先并项为z = 4x,而后求其中误差，即 mz= 4 mx例 题1.已知 设 L1 和 L2 为独立观测值，且中误差均为m，试求X、Y、Z 的中误差。解：（1）函数式：（2）取全微分：（3）根据误差传播定律：X = L1+L2解：（1）函数式： （2）取全微分： （3）根据误差传播定律：Y =（L1- L2）/2Z = X - Y解：（1）函数式： （2）取全微分： （3）根据误差传播定律： 误差传播定的几个主要公式：函数名称函数式函数的中误差倍数函数和差函数线性函数一般函数5.4 等精度直观测的直接平差 一、求最可靠值 二、用改正数计算中误差 三、精度评定 四、算术平均值中误差mL一、求最可靠值设对某未知量进行了一组等精度观测，其真值为X，观测值为l1、l2，ln，中误差为m，则其算术平均值L 为未知量的最可靠值（最或然值） 设未知量的真值为X，可写出观测值的真误差公式为 将上式相加得 故 两边取极限为 推导过程 由偶然误差第四特性知道，当观测次数无限增多时，即 所以 即 说明：n 趋近无穷大时，算术平均值即为真值。 当n为有限值时，通常取算术平均值为最可靠值，作为未知量的最后结果。二、用改正数计算中误差 上式即为利