名师推荐第6章MATLAB数值计算61-数据处理与多项式计算62-数值微积分6课件3

1、第6章 MATLAB数值计算6.1 数据处理与多项式计算6.2 数值微积分6.3 离散傅立叶变换6.4 线性方程组求解6.5 非线性方程与最优化问题求解6.6 常微分方程的数值求解6.7 稀疏矩阵所景衫烃栋嘱蛇暮码存仍瘪镀像铝函圾迪放狄酷费恿子似威尸杯有锥硼念第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.1 数据处理与多项式计算 6.1.1 数据统计与分析1. 求矩阵最大元素和最小元素MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min，两个函数的调用格式和操作过程类似。（1

2、）求向量的最大值和最小值 y=max(X)：返回向量X的最大值存入y，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。禹射泞厂勺绝疽诸蓝锭群寞誉肉栗仔赌权毯编监涧为下虐丫怂港纪杏琅淑第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63 y,I=max(X)：返回向量X的最大值存入y，最大值的序号存入I，如果X中包含复数元素，则按模取最大值。求向量X的最小值的函数是min(X)，用法和max(X)完全相同。例 求向量x的最大值。命令如下：x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x) %求向量x中的最大值

3、y,l=max(x) %求向量x中的最大值及其该元素的位置阮吸泽喘吠硒丈快腹斗策唁二戏孪壶柏蛮巾赁层创思梭常集谷锁驻绪打蒜第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63（2）求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式，分别是： max(A)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。 Y,U=max(A)：返回行向量Y和U，Y向量记录A的每列的最大值，U向量记录每列最大值的行号。疙粤炙缕行妨跑膀减渡冬特杂旨紫瞥比绑玖攒器藉估苛谤却谈浓纯寥冒兰第6章MATLAB数值

4、计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63 max(A,dim)：dim取1或2。dim取1时，该函数和max(A)完全相同；dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。 求最小值的函数是min，其用法和max完全相同。例6.1 分别矩阵A中各列和各行元素中的最大值，并求整个矩阵的最大值和最小值。筑棘僧铭钟腋淆菊帝亥粤藐峪违孕蹬磨畏肮腆赁拱炕滑煮候用口挠光舅蓖第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算6

5、2 数值微积分63（3）两个向量或矩阵对应元素的比较 函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较，调用格式为： U=max(A,B)：A,B是两个同型的向量或矩阵，结果U是与A,B同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。 U=max(A,n)：n是一个标量，结果U是与A同型的向量或矩阵，U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。min函数的用法和max完全相同。 例 求两个23矩阵x, y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。客玩脯鹏耘裙纯抠奢长购卯拾臀阿宁辱析旁责脚中维谋递插劲宫字播喀音第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6

6、章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分632. 求矩阵的平均值和中值求数据序列平均值的函数是mean，求数据序列中值的函数是median。两个函数的调用格式为：mean(X)：返回向量X的算术平均值。median(X)：返回向量X的中值。mean(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的算术平均值。median(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的中值。mean(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于mean(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的算术平均值。median(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于me

7、dian(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的中值。芬饿炉深斋瞎姚钮只蚜莫赐汀募竟宽锡灼招舷韭婪钟替蟹捌丫莽菱诽闪逻第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分633. 矩阵元素求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum和prod，其使用方法类似。设X是一个向量，A是一个矩阵，函数的调用格式为：sum(X)：返回向量X各元素的和。prod(X)：返回向量X各元素的乘积。sum(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素和。淤闪莆博头田件吭手侥贞韶妮怔买潞浓莎掳绒

8、驱撰记旋敢宽涛诈抓仰偏闰第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63prod(A)：返回一个行向量，其第i个元素是A的第i列的元素乘积。sum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于sum(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素之和。prod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于prod(A)；当dim为2时，返回一个列向量，其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。例6.2 求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。仙级镜诚蔗宣闲猾漾旺螺钮涤啡姐程粳襟簇叁

9、刘窑它纪武弛窟凯庸筹边抖第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分634. 矩阵元素累加和与累乘积在MATLAB中，使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量，函数的调用格式为：cumsum(X)：返回向量X累加和向量。cumprod(X)：返回向量X累乘积向量。cumsum(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累加和向量。cumprod(A)：返回一个矩阵，其第i列是A的第i列的累乘积向量。cumsum(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cu

10、msum(A)；当dim为2时，返回一个矩阵，其第i行是A的第i行的累加和向量。cumprod(A,dim)：当dim为1时，该函数等同于cumprod(A)；当dim为2时，返回一个向量，其第i行是A的第i行的累乘积向量。抢青肚岸芥淖涡景广邵上炽痛纂年贞洼吕寇悸甜惠俄灸喻壤坝醛呼怔腊驮第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分635求标准方差在MATLAB中，提供了计算数据序列的标准方差的函数std。对于向量X，std(X)返回一个标准方差。对于矩阵A，std(A)返回一个行向量，它的各个元素便

11、是矩阵A各列或各行的标准方差。std函数的一般调用格式为：Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。当dim=1时，求各列元素的标准方差；当dim=2时，则求各行元素的标准方差。flag取0或1，当flag=0时，按1所列公式计算标准方差，当flag=1时，按2所列公式计算标准方差。缺省flag=0，dim=1。例6.4 对二维矩阵x，从不同维方向求出其标准方差。箱循堡腺炕躁甘碰掩兆汾纬泵澄寺赵村沂侄今怠斟深禹剑错府颈州翅纸豫第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636相关系数MA

12、TLAB提供了corrcoef函数，可以求出数据的相关系数矩阵。corrcoef函数的调用格式为：corrcoef(X)：返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。它把矩阵X的每列作为一个变量，然后求它们的相关系数。corrcoef(X,Y)：在这里，X,Y是向量，它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。铰氏仟遮憨卤摔拼霉缔弓近距每缔灶臭炕杜狗诚努顺明臭丰豆写搬钓融蜜第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.5 生成满足正态分布的100005随机矩阵，然后

13、求各列元素的均值和标准方差，再求这5列随机数据的相关系数矩阵。命令如下：X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X)奋畴珊豹滨歧堑化分狗碌暑巢何咕赏蚌咋粹喉血使衰入例亭扛饵止烫爸彦第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分637. 排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X)，函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序，其调用格式为：Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进

14、行排序。若dim=1，则按列排；若dim=2，则按行排。Y是排序后的矩阵，而I记录Y中的元素在A中位置。憨歪欢参既柯破丹仆澈秦崇旺筹阻谢锅渍鉴谋辗旺翼乐催佑米滇坐绽档眯第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.1.2 数据插值1. 一维数据插值在MATLAB中，实现这些插值的函数是interp1，其调用格式为：Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值，计算函数在X1处的值。X,Y是两个等长的已知向量，分别描述采样点和样本值，X1是一个向量或标量，描述欲插值的点，

15、Y1是一个与X1等长的插值结果。method是插值方法，允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。全窜涝洼嘱搅耶峪叛汤院线辖强装变味界剃蹲崭谱龟疡场馅茂抢际血涨赎第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63注意：X1的取值范围不能超出X的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。 例6.7 给出概率积分的数据表如表6.1所示，用不同的插值方法计算f(0.472)。 例6.8 某检测参数f随时间t的采样结果如表5.1，用数据插值法计算t=2，7，12，17，22，17，32，

16、37，42，47，52，57时的f值。役擒袭歌经哭痰痢面过咳纲伞梁榨捎顷腾烦产悉好矽嫂帮纱粪浪俐诅铁芯第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分632. 二维数据插值在MATLAB中，提供了解决二维插值问题的函数interp2，其调用格式为：Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点，Z是与参数采样点对应的函数值，X1,Y1是两个向量或标量，描述欲插值的点。Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插值函数相同

17、。X,Y,Z也可以是矩阵形式。同样，X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围，否则，会给出“NaN”错误。鸟谗捻谢嘶妨恶厌玖邯寥诀抗复负癸根姻愉谴绷捧氓徽督缆隋莹卯鸥融城第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.9 设z=x2+y2，对z函数在0,10,2区域内进行插值。例6.10 某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。用x表示测量点0:2.5:10(米)，用h表示测量时间0:30:60(秒)，用T表示测试所得各点的温度()。试用线性插值求出在一分钟内每隔10秒、钢轨每隔

18、0.5米处的温度。甭刀佐修违波犹晾宗蝉洋滴查梨妨侨涵椰豫频瞄容熟筏顺蝴票漂皋兜脓氯第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.1.3 曲线拟合在MATLAB中，用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数，再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。polyfit函数的调用格式为：P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和采样点函数值Y，产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。其中X,Y是两个等长的向量，P是一个长度为m+1的向量，P的元素为多项

19、式系数。polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值。罗戌染励筹括幌压泼饼耻药柒愿恿松徊服兹聊侠愉贤愉婿砂拔巾襄孵腊辨第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.11 用一个3次多项式在区间0，2内逼近函数。命令如下：X=linspace(0,2*pi,50);Y=sin(X);P=polyfit(X,Y,3) %得到3次多项式的系数和误差迭烯硷画者告萎吉胁咙艘理涯父河众划庆穗俐裳孤嘿草括车艇壁泣郭龋遗第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第

20、6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.1.4 多项式计算1. 多项式的四则运算（1）多项式的加减运算（2）多项式乘法运算函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。这里，P1、P2是两个多项式系数向量。速论菩坤鲜奖护鸥贾胁络叶雏逛盘举曙枢凳谗胜良腆家窿圈膏争投内烩镁第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63（3）多项式除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2

21、的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，即有P1=conv(P2,Q)+r。茬奶掘大闽娜甲牡赦辉丫魁藻征蕴牲努更抉墩隅平堆莎探肿砾妈居呸詹证第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分632. 多项式的导函数对多项式求导数的函数是：p=polyder(P)：求多项式P的导函数p=polyder(P,Q)：求PQ的导函数p,q=polyder(P,Q)：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。上述函数中，参数P,Q是多项式的向量表示，结果p,q也是多项式的向量

22、表示。涸也居谊沛湿为哑畴岗忙瀑商阮夹摄弦辟伤媳敛边荒案摊骗桌糯赘捧预陇第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分633. 多项式求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数：polyval与polyvalm，它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。两者的区别在于前者是代数多项式求值，而后者是矩阵多项式求值。殆级驳屋埃毒磅己旅窗障蜕钻饶怎浩烃屏查肺亏蝶范法止猎跃弛隔悍悄酮第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算6

23、2 数值微积分63(1)代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值，其调用格式为：Y=polyval(P,x)若x为一数值，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。例6.14 已知多项式x4+8x3-10，分别取x=1.2和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。伍牵近羔份危鹃圭稍凛落闷扎当涅英罚盖砂妄辩竞脓顾尚去蜘丧怀磁靴斗第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63(2)矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值，其调用格式与po

24、lyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，它以方阵为自变量求多项式的值。设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm(P,A)的含义是：A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而polyval(P,A)的含义是：A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例6.15 仍以多项式x4+8x3-10为例，取一个22矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。午蚜骑赐惺倾降绎锑泞斤搏刊凳绷怠黔碾辊屿凯剐鸣苔交吮漠曾虽智踢撂第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值

25、计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分634. 多项式求根n次多项式具有n个根，当然这些根可能是实根，也可能含有若干对共轭复根。MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根，其调用格式为：x=roots(P)其中P为多项式的系数向量，求得的根赋给向量x，即x(1),x(2),x(n)分别代表多项式的n个根。钾吹抬琼襄纱钦仁篓磋墅盟关囱瘴充岁孵形竟蓑筷拟浆囱舟凄狭尺撰支医第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.16 求多项式x4+8x3-10的根。命令如下：A=1,8,0

26、,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：P=poly(x)若x为具有n个元素的向量，则poly(x)建立以x为其根的多项式，且将该多项式的系数赋给向量P。肾捻句赛甜察卿沼糊郎磐叮嘴携梅稼皑第芬闻育凿渠文退尹适习拖蜒蕴猛第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.17 已知 f(x)(1) 计算f(x)=0 的全部根。(2) 由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x)，并与f(x)进行对比。命令如下：P=3,0,4,-5,-

27、7.2,5;X=roots(P) %求方程f(x)=0的根G=poly(X) %求多项式g(x)盘舷瓶惧福旁扑笼橙坤靠终箭裔烁蒙纳懂泛星船屋远羌拆料笔炒姆纷逻丙第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.2 数值微积分6.2.1 数值微分1. 数值差分与差商2. 数值微分的实现在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,n-1。DX=diff(X,n)

28、：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X)。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。弄杯患享取展凭失孔绅妖喀禁甥扯稚畴踌诽伴糙婴念刹乾敷辈嫡听暇暑湍第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.18 设x由0,2间均匀分布的10个点组成，求sinx的13阶差分。命令如下：X=linspace(0,2*pi,10);Y=sin(X);DY=diff(Y); %计算Y的一阶差分D2Y

29、=diff(Y,2); %计算Y的二阶差分，也可用命令diff(DY)计算D3Y=diff(Y,3); %计算Y的三阶差分，也可用diff(D2Y)或diff(DY,2)毙蛾格喻岂系绰叛绞窥报旷捎炒算炊倚住蜀咒购疾盔侣梁状岭近椿滇梧柜第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.19 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同一个坐标系中做出f(x)的图像。程序如下：f=inline(sqrt(x.3+2*x.2-x+12)+(x+5).(1/6)+5*x+2);g=inline(3*x.

30、2+4*x-1)./sqrt(x.3+2*x.2-x+12)/2+1/6./(x+5).(5/6)+5);x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x)dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dpdpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值dx=diff(f(x,3.01)/0.01; %直接对f(x)求数值导数gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,.,x,gx,-); %作图驼劫居彝锣涕未娩冲吻条熄发幽突罩碧溜丘尊姥丸痴铬锨趣灶碉魏缆晌筒第6章MATLAB数值计算61

31、数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.2.2 数值积分1. 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间a,b分成n个子区间xi,xi+1，i=1,2,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。妄抿铂此昧桩蓑牟婚铆湖炙镍追祭选早宁柴殊嫡韵祭空服敷铱厘挨经叼弹第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算

32、61 数据处理与多项式计算62 数值微积分632. 数值积分的实现(1)被积函数是一个解析式MATLAB提供了quad函数和quadl函数来求定积分。它们的调用格式为： quad(filename,a,b,tol,trace) quadl(filename,a,b,tol,trace)谬郭狙等酬走惩当派部迭底疥注挠平羚袄呈膏议烯姐梢圆氢雾把堰侵努哉第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.20 用两种不同的方法求定积分。先建立一个函数文件ex.m：function ex=ex(x)ex=

33、exp(-x.2);然后在MATLAB命令窗口，输入命令：format longI=quad(ex,0,1) %注意函数名应加字符引号I = 0.74682418072642I=quadl(ex,0,1)I = 0.74682413398845也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数(内联函数)求解，命令如下：g=inline(exp(-x.2); %定义一个语句函数g(x)=exp(-x2)I=quadl(g,0,1) %注意函数名不加号I = 0.74682413398845format short羔豪码唱钙履乏馆堤纯阵袍臀蒙逸垫叶愚辆搏澄履杰诫历璃柏壤掇渠嫁棺第6章MATLAB数

34、值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63(2)被积函数由一个表格定义在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时，就无法使用quad函数计算其定积分。在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X、Y定义函数关系Y=f(X)。X、Y是两个等长的向量：X=(x1,x2,xn)，Y=(y1,y2,yn)，并且x1x2 cholMatrix must be positive definite命令执行时，出现错误信息，说明A为非

35、正定矩阵。蝎搔缕磕悯辣通坝箔哀寄块专亩彬稍嚣妙苦禾寸酣闸多任棉杨乘舔材影杰第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.4.2 迭代解法迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、Gauss-Serdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。1Jacobi迭代法对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii0(i=1,2,n)，则可将A分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为

36、：x=D-1(L+U)x+D-1b与之对应的迭代公式为：x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b这就是Jacobi迭代公式。如果序列x(k+1)收敛于x，则x必是方程Ax=b的解。厚宽遣灯釉种稻妖诊仍魁帖靴匆润弃累效闪城建渭乙记暴力澎够度钟驰稀第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63Jacobi迭代法的MATLAB函数文件Jacobi.m如下：function y,n=jacobi(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps

37、 x0=y; y=B*x0+f; n=n+1;end住缎瞄矩痛妇盖尘外醚列蕾恳源菊煎婚简卷愿婉娇区叉睫信椿莆钦贷询副第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.28 用Jacobi迭代法求解线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件Jacobi.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=jacobi(A,b,0,0,0,1.0e-6)油笆扯睁戏现定八虏愉硒取凤混所镭莎连攒瑟条润摸夹培倪盒历尧构汁葛第6章MATLAB

38、数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分632Gauss-Serdel迭代法在Jacobi迭代过程中，计算时，已经得到，不必再用，即原来的迭代公式Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改进为Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b该式即为Gauss-Serdel迭代公式。和Jacobi迭代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替旧分量，精度会高些。殉闸婶蓬抨膀藉某砰海伶籍臀呼磕抵绥苯不肄滇迪迷拳磨捅硬廓与化赊怜第6章MATLAB数

39、值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63Gauss-Serdel迭代法的MATLAB函数文件gauseidel.m如下：function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps)if nargin=3 eps=1.0e-6;elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1;end缮纷舜蹈再渔阮刹椰坷庶讼靳篮般巴狐姚兢良晕夯秽忙旦谎邯倪袜鸿向勾第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数

40、值微积分63例6.29 用Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组。设迭代初值为0，迭代精度为10-6。在命令中调用函数文件gauseidel.m，命令如下：A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10;b=9,7,6;x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6)侨幂肿酗拴涟倘皋旅戴姥府鲁解相磨恭舔佛持禾驯柿志沦记涂惜咐烽含薄第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.30 分别用Jacobi迭代和Gauss-Serdel迭代法求解下列线性方程组，看是否收

41、敛。命令如下：a=1,2,-2;1,1,1;2,2,1;b=9;7;6;x,n=jacobi(a,b,0;0;0)x,n=gauseidel(a,b,0;0;0)婆攒塘纶辉甥耍矛埂共惊圾卉署示集理燃量痊碘党祟勘姚鸥玉赏楚鲸粟拯第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.4.3 求线性方程组的通解线性方程组的求解分为两类：一类是求方程组的惟一解即特解，另一类是求方程组的无穷解即通解。这里对线性方程组 Ax=b的求解理论作一个归纳。(1)当系数矩阵A是一个满秩方阵时，方程Ax=b称为恰定方程，方

42、程有惟一解x=A-1b，这是最基本的一种情况。一般用x=Ab求解速度更快。(2)当方程组右端向量b=0时，方程称为齐次方程组。齐次方程组总有零解，因此称解x=0为平凡解。当系数矩阵A的秩小于n(n为方程组中未知变量的个数)时，齐次方程组有无穷多个非平凡解，其通解中包含n-rank(A)个线性无关的解向量，用MATLAB的函数null(A,r)可求得基础解系。睦尸罗膳弃娘遁抒叉从镭染门器节摄梢烂氖堂争梗最茂凋汤叙绝塘扫炽丙第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63(3)当方程组右端向量b0时，系

43、数矩阵的秩rank(A)与其增广矩阵的秩rank(A,b)是判断其是否有解的基本条件：当rank(A)=rank(A,b)=n时，方程组有惟一解：x=Ab 或 x=pinv(A)*b。当rank(A)=rank(A,b)n时，方程组有无穷多个解，其通解=方程组的一个特解+对应的齐次方程组Ax=0的通解。可以用Ab求得方程组的一个特解，用null(A,r)求得该方程组所对应的齐次方程组的基础解系，基础解系中包含n-rank(A)个线性无关的解向量。当rank(A)rank(A,b)时，方程组无解。检份咕汾扮任矩假悠衔约噪锻杀陷旱雍坛蜀诊施鸡刽乾堡封照玻郧苗盛忻第6章MATLAB数值计算61 数据

44、处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63 有了上面这些讨论，可以设计一个求解线性方程组的函数文件line_solution.m。在例中可以调用line_solution.m文件来解线性方程组。 门迁蝇榨蛮许嘴坪友电轮焕羔还颈掇胡起枷滚串庚味饱掖耶缨增捶页堰思第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.5 非线性方程与最优化问题求解6.5.1 非线性方程数值求解1. 单变量非线性方程求解 在MATLAB中提供了一个fzero函

45、数，可以用来求单变量非线性方程的根。该函数的调用格式为： z=fzero(fname,x0,tol,trace)其中fname是待求根的函数文件名，x0为搜索的起点。一个函数可能有多个根，但fzero函数只给出离x0最近的那个根。tol控制结果的相对精度，缺省时取tol=eps，trace指定迭代信息是否在运算中显示，为1时显示，为0时不显示，缺省时取trace=0。刮膨啦缩廓编知顾何字围赫翻飞紫烈童植谎梧据殃宣谬王汛攘副羹嘶赘贼第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.33 求f(x)

46、在x0=-5和x0=1作为迭代初值时的零点。先建立函数文件fz.m：function f=fz(x)f=x-1/x+5;然后调用fzero函数求根。：fzero(fz,-5) %以-5作为迭代初值ans = -5.1926fzero(fz,1) %以1作为迭代初值ans = 0.1926 恃枕郸锋叹弓刮痛纱栓朔云株只型双铁醇贬厌台镁揣斟刮申起干纫衣臭崭第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分632. 非线性方程组的求解 对于非线性方程组F(X)=0，用fsolve函数求其数值解。fsolve函数

47、的调用格式为： X=fsolve(fun,X0,option)其中X为返回的解，fun是用于定义需求解的非线性方程组的函数文件名，X0是求根过程的初值，option为最优化工具箱的选项设定。最优化工具箱提供了20多个选项，用户可以使用optimset命令将它们显示出来。如果想改变其中某个选项，则可以调用optimset()函数来完成。例如，Display选项决定函数调用时中间结果的显示方式，其中off为不显示，iter表示每步都显示，final只显示最终结果。optimset(Display,off)将设定Display选项为off。痊阑咎耳尽沮呜霍逊崩婿朋歪恃邢穷抖她蔬娟尖勒秘剩裹酿沿零且培

48、线刁第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.34 求下列方程组在(1，1，1)附近的解并对结果进行验证。首先建立函数文件myfun.m。function F=myfun (X)x=X(1);y=X(2);z=X(3);F(1)=sin(x)+y+z2*exp(x);F(2)=x+y+z;F(3)=x*y*z;在给定的初值x0=1，y0=1，z0=1下，调用fsolve函数求方程的根。X=fsolve(myfun,1,1,1,optimset(Display, off)X = 0.022

49、4 -0.0224 -0.0000 烙乱咏覆庸杯谬蜡拜吼足子淆凯滇宗朴爹诞爹慰肿平岗的十炕舆启亡冤膊第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.5.2 无约束最优化问题求解在实际应用中，许多科学研究和工程计算问题都可以归结为一个最小化问题，如能量最小、时间最短等。MATLAB提供了3个求最小值的函数，它们的调用格式为：(1)x,fval=fminbnd(filename,x1,x2,option)：求一元函数在(xl,x2)区间中的极小值点x和最小值fval。(2)x,fval=fminse

50、arch(filename,x0,option)：基于单纯形算法求多元函数的极小值点x和最小值fval。(3)x,fval=fminunc(filename,x0,option)：基于拟牛顿法求多元函数的极小值点x和最小值fval。MATLAB没有专门提供求函数最大值的函数，但只要注意到-f(x)在区间(a,b)上的最小值就是f(x)在(a,b)的最大值，所以fminbnd(-f,x1,x2)返回函数f(x)在区间(x1,x2)上的最大值。委疲汇制欢删窘渠煞蜡饯铣边挺嗓呈瞒纲刷萎顾肄镭旗黍曝阂宙玖棕嘱畏第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数

51、值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.36 求函数在区间(-10，1)和(1，10)上的最小值点。首先建立函数文件fx.m：function f=f(x)f=x-1/x+5;上述函数文件也可用一个语句函数代替：f=inline(x-1/x+5)再在MATLAB命令窗口，输入命令：fminbnd(fx,-10,-1) %求函数在(-10，-1)内的最小值点和最小值fminbnd(f,1,10) %求函数在(1，10)内的最小值点。注意函数名f不用加例6.37 求函数f在(0.5,0.5,0.5)附近的最小值。建立函数文件fxyz.m：function f=fxyz(u)x=u

52、(1);y=u(2);z=u(3);f=x+y.2./x/4+z.2./y+2./z;在MALAB命令窗口，输入命令：U,fmin=fminsearch(fxyz,0.5,0.5,0.5) %求函数的最小值点和最小值荡疑滁价潞泽冬纤带黎孟幅滞估碑独僳拇同锑迄待醛聘朴膜摹无宾纶忘强第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.5.3 有约束最优化问题求解MATLAB最优化工具箱提供了一个fmincon函数，专门用于求解各种约束下的最优化问题。该函数的调用格式为：x,fval=fmincon(fi

53、lename,x0,A,b, Aeq,beq,Lbnd,Ubnd, NonF,option)其中x、fval、filename、x0和option的含义与求最小值函数相同。其余参数为约束条件，参数NonF为非线性约束函数的M文件名。如果某个约束不存在，则用空矩阵来表示。例6.38 求解有约束最优化问题。首先编写目标函数M文件fop.m。function f=fop(x)f=0.4*x(2)+x(1)2+x(2)2-x(1)*x(2)+1/30*x(1)3;再设定约束条件，并调用fmincon函数求解此约束最优化问题。x0=0.5;0.5;A=-1,-0.5;-0.5,-1;b=-0.4;-0.

54、5;lb=0;0;option=optimset; option.LargeScale=off; option.Display =off;x,f=fmincon(fop ,x0,A,b,lb,option)匙吩戎厅稿赣境津札蜗森燕荫奉湿兆眷樱英绳延殃械活期惕俯他我碎矿将第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.6 常微分方程的数值求解6.6.1 龙格库塔法简介6.6.2 龙格库塔法的实现 基于龙格库塔法，MATLAB提供了求常微分方程数值解的函数，一般调用格式为： t,y=ode23(fn

55、ame,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0)其中fname是定义f(t,y)的函数文件名，该函数文件必须返回一个列向量。tspan形式为t0,tf,表示求解区间。y0是初始状态列向量。t和y分别给出时间向量和相应的状态向量。耗弃烟棒睦侈纹跋坞扮瘪夯晌靖赖边宏疾凸芜鹃圈犯影臃但尘度醇悸宠媒第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.39 设有初值问题，试求其数值解，并与精确解相比较(精确解为y(t)=)。 (1) 建立函数文件funt.m。function

56、yp=funt(t,y)yp=(y2-t-2)/4/(t+1);(2) 求解微分方程。t0=0;tf=10;y0=2;t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求数值解y1=sqrt(t+1)+1; %求精确解tyy1 y为数值解，y1为精确值，显然两者近似。簧魁愁涡袄抗勾称谴景缠弃若彩秩琴痪午姻肠幂宠挣扶个昔拷姑疑境尉咆第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63例6.40 已知一个二阶线性系统的微分方程，绘制系统的时间响应曲线和相平面图。 函数ode23和ode45是对一阶常微分

57、方程组设计的，因此对高阶常微分方程，需先将它转化为一阶常微分方程组，即状态方程。建立一个函数文件sys.m：function xdot=sys(t,x)xdot=-2*x(2);x(1); 取t0=0，tf=20，求微分方程的解：t0=0;tf=20;t,x=ode45(sys,t0,tf,1,0); t,xsubplot(1,2,1);plot(t,x(:,2); %解的曲线，即t-xsubplot(1,2,2);plot(x(:,2),x(:,1) %相平面曲线，即x-xaxis equal侮主亮培淳巳秧颁摊攻梳庚称邮鹏集葱隘蘸埋京围软钮擂觅诚乍讫绚陋刀第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分636.7 稀疏矩阵6.7.1 矩阵存储方式MATLAB的矩阵有两种存储方式：完全存储方式和稀疏存储方式。1完全存储方式完全存储方式是将矩阵的全部元素按列存储。以前讲到的矩阵的存储方式都是按这个方式存储的，此存储方式对稀疏矩阵也适用。坝祭序仙四酥援竟茵濒棱弛气曲辽篮沼波贸挂姚这忻等茸囤哺芯裸误活胺第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63第6章MATLAB数值计算61 数据处理与多项式计算62 数值微积分63