几何与代数第一章课件

1、几何四步曲在历史上最早出现（和代数、分析比较）古希腊时代，阿基米德找出球与外切圆柱体积之比为2:3随后的1800余年中，几何学徘徊不前。因局限于综合推理17世纪笛卡儿（法）把代数知识运用到几何上，以坐标代表点，以方程代表曲线和曲面。几何重复生机本世纪50年代后，几何再遭忽视。线性代数占据重要位置第1章 几何空间中的向量第一节 向量及其线性运算1.定义（向量） 既有数值大小（非负）， 又有方向的量。2.定义（范数/模） 向量 的数值大小一、向量的概念4.定义位于同一直线上，或位于相互平行的直线上思考： 两个向量 三个向量 线性相关 平行？共面？3.定义且方向相同；且方向相反。引例:力的合成-平行

2、四边形法 三角形法注1：和与起点A的选取无关1.加法运算：3：加法法则（四条） 4：向量可以相加，但不可以比较大小5：范数可比较大小二、向量的线性运算及其性质D运算法则：2：减法2.数乘运算：注1：数乘向量性质（四条）注2：线性运算、单位向量、向量空间（线性空间）运算法则：3. 模的性质：三、向量的共线与共面1. 共线： 方向相同或相反 约定：零向量共线于任何向量定理1.6：特别地，推论：2.共面：将向量的支点放在同一点时，它们在同一平面上。 （或，平行于同一平面的向量）推论1：平行六面体空间解析几何：用数量来研究向量的问题， 类似于平面解析几何需引入空间坐标系的概念。 回顾：OGNPxzyM

3、第二节 空间坐标系一、仿射坐标系 定义（仿射坐标系）： 空间中一点O以及三个有次序的不共面向量e1, e2, e3, 构成空间中一仿射坐标系，记为O; e1, e2, e3 1.定义（直角坐标系）：e1, e2, e3为单位向量且两两垂直 此时坐标向量记为i, j, k注1：三坐标轴，三坐标平面两两垂直注2：规定x,y,z轴的正方向，使之成右手系定理：向量在坐标系o;i,j,k上的坐标x,y,z分别是 在相应坐标轴上的投影。即()i=x,()j=y,()k=zzxyABOMC二、直角坐标系2.定义（方向余弦）例：已知=（-3，6，2）,求的方向余弦和与平行的单位向量 注2：单位向量的表示法（两

4、个）注1：|=？（勾股定理） 在空间直角坐标系中，向量 与三个坐标向量 的夹角 称为向量的方向角； 方向角的余弦 称为向量 的方向余弦。第三节 向量的内积、外积和混合积1.引例（做功）2.定义两向量间的夹角：(I)已知两个非零向量，经平行移动后使它们有共同的始点(II)夹角的范围无向角(III)几种类型AA一、两个向量的内积3.内积定义注1:内积是数，非向量。规定:零向量和任何向量正交（垂直） 定理： 内积的运算法则 正定性交换律线性性（k的符号） 分配律（重要） 注4:注3:注2:4.向量投影定义：注：投影是一数 正交投影向量：oBAoBA例1：证明分配律例2：试证 的三条高交于一点。AFB

5、CDS1.11 外积定义：注1：注2： 性质： 反交换律 结合律 分配律例：二、两个向量的外积重点回顾 内积 外积 交角 cos sin 垂直 平行 应用 平行四边形有了坐标，便将 几何运算代数运算1.线性运算加法 数乘 距离2.内积 三、向量运算的坐标表示3.外积引进二阶行列式，规定太繁！再次书写外积的结果！注意： 的顺序注：如何记忆？ 两两组合！4.体积与行列式PO注1：为何加| | ？定义（混合积）：推论：用行列式表示混合积四、三个向量的混合积ACBD（30）一、平面的参数方程与一般式方程理论根据：第四节 平面及其方程1、平面的参数方程：引：化简，并注意到和不平行,即(a1, b1, c

6、1)k(a2, b2, c2)结论：ax+by+cz+d=0 (a2+ b2+ c20)2、平面的一般方程：定理1.4：每一个平面可用ax+by+cz+d=0表出，其中a2+ b2+ c20定理1.4：任给ax+by+cz+d=0，其中a2+ b2+ c20，则它恒代表 一个平面。定义（法向量）： 平面通过一点M0(x0, y0,z0)且垂直于一条直线l 设向量n/l, 则称n为平面的法向量，坐标(a,b,c)根据：平面方程：二、平面的点法式方程1、点法式方程确定平面的条件：三个不共线的点2、三点式方程实质：三点式方程 M1（a，0，0）， M2（0，b，0）， M3（0，0，c），且 abc

7、 0平面方程：3、截距式方程总 结平面： （一） 一点 + 两个不平行的向量 （二） 一点 + 法向量例：求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面方程用两种方法（过原点）特殊平面1. a=02. d=0平面过原点3. d=a=0平面过x轴4. a=b=0平面/xoy平面注意要加绝对值！三、两个平面的位置关系!如何找出交线上的点解：为什么?点到平面的距离：d=?直线：一个点 + 一个方向（直线的方向）1.参数方程第五节 空间直线及其方程一、空间直线的参数方程与对称式方程2.对称式方程（标准方程、点向式方程）直线L的方向向量的坐标m，n，p称为直线L的方向数。注：中点的表示（参数方程）3.两点式方程

8、1.一般式方程（两平面的交线）二、空间直线的一般式方程2. 一般式与对称式间的互换解：（1）（2）3.平面束原因：过直线l的平面有无穷多个问题：如何表示这些过l的平面（平面束）？例.求点M0(6,7,0)关于平面:4x-2y-z-4=0的对称点M1的坐标。例.求过直线L: x+3y-5=0 x-y-2z+4=0 且在x轴和y轴上截距相等的平面方程。 三、直线与平面、二直线之间的位置关系1、两直线间的相互位置给定两条直线（1）若共面，则平行相交重合（2）异面已知：2、直线与平面的位置关系四、直线与平面的夹角M0M0M1注：d与M0的选择无关四、点到直线的距离设直线l方程为：olP0P1行向量 列向量o第六节 Rn中的几何向量简介一、 Rn中的向量代数定义1（n维向量） n个有顺序的数 所在组成的 数组称为一个n维向量。 二、 Rn中的内积*外积的概