平行四边形专题练习

1、平行四边形【例题1】(2019?广西池河)如图，在 ABC中，D, E分别是AR BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形 ADF平行四边形，则这个条件是()U FZ B= Z F/ B= / BCFAC= CFAD= CF【例题2】(2018湖北黄石)如图， ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,分别以AB, AC为直角边向外作等腰直角 ABD和等腰直角 ACE G为BD的中点，连接 CG BE CQ BE与CD交于点F.(1)判断四边形 ACG而形状，并说明理由.(2)求证：BE=CD BE CD一、选择题.(福建福州)平面直角坐标系中，已知DABCD勺三个顶点坐标分别是

2、 A (m, n), B( 2, l ) , C ( TOC o 1-5 h z m, n),则点D的坐标是()A. (2 , l) B . (-2, l) C . (1, -2 ) D . (1, 2 ).(河北省)关于 DABCD的叙述，正确的是()A.若AB BG则DABCD菱形B .若AC BR则DABC皿正方形C,若 AC=BD 贝U DABCD矩形D ,若 AB=AD 贝U DABCD正方形.(湖南湘西)下列说法错误的是()A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四

3、边形4. （2019?山东临沂）如图，在平行四边形ABCD3, M N 是 BD上两点，BM= DN 连接 AM MC CN NA添加一个条件，使四边形 AMC座矩形,这个条件是（Oa. om= ：c2B. MB= MOC. BDL ACD. / AMB= / CND5.（山东淄博）如图， ABC勺面积为16,点D是BC边上一点，且_ 1 _BD=BC点G是AB上一点，点 H在4 ABC内部，且四边形 BDH偎平行四边形.则图中阴影的面积是（A. 3 B. 4 C. 5 D. 6二、填空题6. （2019广西百色）四边形具有不稳定性.如图，矩形ABCD$箭头方向变形成平行四边形A BCD,当变

4、形后图形面积是原图形面积的一半时，则/A=（2019湖南娄底）如图，平行四边形 ABCD的对角线AC、BD交于点 Q点E是AD的中点， BCD的周长为18 ,则 DEO的周长是（ 2019河南省）如图，在 DABCD3, BHA皎对角线 A什点E,若/ 1=20 ,则/ 2的度数是（ 2019湖北省十堰市）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2j13 cm,AD=4cm,ACBC,则 DBC比 ABC的周长长 cm.B C9.（2019 浙江金华）如图，已知AB/ CD BC/ DE若/A= 20 , / C= 120 ,则/ AED勺度数是（江苏省无锡市）如图，已知DOABC勺顶点A C分别

5、在直线x=1和x = 4上，O是坐标原点，则对角线OB的最小值为.（2019?湖北武汉）如图，在 ？ABC加，E.F是对角线 AC上两点，AE= EF= CD Z ADF= 90 , / BCD、解答题(2019徐州)如图，将平行四边形纸片ABCD&一条直线折叠，使点 A与点C重合，点D落在点G处,折痕为EF.求证：/ ECB= / FCG EB笠AFGC13. (2019湖南郴州)如图，平行四边形ABC珅，点E是边AD的中点，连接 CE并延长交BA的延长线于点F,连接AC DF.求证：四边形 ACDF1平行四边形.14.(湖南省永州市)如图，四边形 ABCD；平行四边形，/ BAD勺角平分线

6、 AE交CW点F, 于点E.(1)求证：BE=CD(2)连接BF,若BF AE / BEA60 , AB=4,求平行四边形 ABCD勺面积.交BC的延长线15. (2019 安徽)如图，点 E在？ABCD部，AF/ BE, DF/ CE(1)求证： BCEE ADF(2)设？ABCD勺面积为S,四边形 AEDF勺面积为T,求的值.16. （2019湖南张家界）如图，在平行四边形ABCDfr,连接对角线 AC,延长AB至点E,使BE= AB连接DE分另1J交BC AC交于点F, G(1)求证：BF= CF;(2)若 BC= 6, DG= 4,求 FG的长.（2019?南京）如图，D是aABC勺边

7、AB的中点，DE/ BC CE/ AB AC与DE相交于点F.求证： ADF心CEF（2018海南）如图，将？ABCD勺ADi延长至点 E,使DEAD,连接CE, F是BC边的中点，连接 FD. 6（1）求证：四边形 CED啜平行四边形;(2)若 AB=3 AD=4, / A=60 ,求 CE的长.（2019辽宁本溪）如图，在四边形 ABC用，AB/ CD ADLCD / B= 45 ,延长CDiU点E,使DE= DA连接AE(1)求证：AE= BC(2)若AB= 3, CD= 1,求四边形 ABC国勺面积.M处,(江苏省扬州市)如图， AC为矩形ABCDW对角线，将边 AB沿AE折叠，使点B

8、落在AC上的点将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处.(1)求证：四边形 AECF是平行四边形；(2)若AB=G AC=1Q求四边形 AECF的面积.、AD( 2019四川省凉山州)如图， ABCD的对角线 AC、BD交于点O, EF过点。且与BC 分别交于点E、F。试猜想线段 AE、CF的关系，并说明理由。答案【例题1】（2019?广西池河）如图，在 ABC中，D, E分别是AB BC的中点，点F在DE延长线上，添加一个条件使四边形 ADF平行四边形，则这个条件是（）D. AD= CFA. / B= Z FB. / B= / BCFC. AC= CF【答案】B.【解析】利用三角形中位线

9、定理得到de/ac结合平行四边形的判定定理进行选择.在ABC, D, E分别是AB, BC的中点，DE ABC勺中位线， .DE, Lac.A.根据/ B= / F不能判定AC/ DF,即不能判定四边形 ADF平行四边形，故本选项错误.B.根据/ B= / BCF以判定 CF/ AB,即CF/ AD由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”得到 四边形ADFM平行四边形，故本选项正确.C.根据AC= CF不能判定AC/ DF,即不能判定四边形 ADF8平行四边形，故本选项错误.D.根据AD= CF, FD/ AC不能判定四边形 ADFCJ平行四边形，故本选项错误.【例题2】（2018湖北黄石）

10、如图， ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,分别以AB, AC为直角边向外作等腰直角 ABD和等腰直角 ACE G为BD的中点，连接 CG BE CQ BE与CD交于点F.（1）判断四边形 ACGD勺形状，并说明理由.（2）求证：BE=CD BEX CD【答案】看解析。【解析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用 各种定理是解答此题的关键.(1)利用等腰直角三角形的性质易得BD=2BC因为G为BD的中点，可得BG=BC由/ CGB=45 , / ADB=45得AD/ CG由/ CBD吆ACB=180 ,得AC/ BD,得出四边形 ACGD

11、平行四边形；(2)利用全等三角形的判定证得DA隼 BAE由全等三角形的性质得BE=CD首先证得四边形 ABCE平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得BC9 ACAD易彳导/ CBEW ACD由/ ACB=90 ,易得/CFB=90 ,得出结论. ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,AB= BC,. ABD和 ACE均为等腰直角三角形，BD= 1 =BC :-：- . -：=2BG.G为BD的中点，BG=BD=BC2.CB劭等腰直角三角形，CGB=45 ,/ ADB=45 , AD/ CG/ ABD=45 , / ABC=45/ CBD=90 ,/ ACB=90 ,./ CBD吆 AC

12、B=180 ,AC/ BD,四边形ACGD平行四边形；(2)证明：. / EAB土 EAC吆 CAB=90 +45 =135 ,/CAD叱 DAB吆 BAC=90 +45 =135 ,./ EAB=Z CAD在 DAd BAE 中，-ZCAD=ZEAB ,DA隼 BAE 1- BE=CD/ EAC=/ BCA=90 , EA=AC=BC四边形 ABCE平行四边形，CE=AB=AD在 BCE与ACAD中，；BC=AC“ NECE二NCAD二 135口 ,:EC=DA.BC珞 ACAD . / CBEh ACD /ACD吆 BCD=90 , .CBE+Z BCD=90 ,，CFB=90 ,即 BE

13、X CD一、选择题.(福建福州)平面直角坐标系中，已知DABCD勺三个顶点坐标分别是 A (m, n), B( 2, l ) , C (m, n),则点D的坐标是()A. (2 , l) B . (-2, l) C . (1, -2 ) D . (1, 2 )【答案】A【解析】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，得出 D和B关于原点对称.由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点 D的坐标.A (m,n),C(-m,- n),点A和点C关于原点对称，二.四边形ABCD1平行四边形，D和B

14、关于原点对称，: B (2, - 1),，点D的坐标是(-2, 1),故选择A .(河北省)关于 DABCD的叙述，正确的是()A.若AB BG则ABCD菱形B .若AC BR则DABC皿正方形C,若 AC=BD 贝U DABCD矩形D ,若 AB=AD 贝U ABCD正方形【答案】C【解析】根据菱形、矩形和正方形的判定方法对各选项进行判断当AB, BC时，/ABC= 90 ,DABCD矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)，故选项A不正确；AC BD,.ABC皿菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)，故选项B不正确；,AC=BD . DABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），故选

15、项C正确； AB=ADDABC皿菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），故选项D不正确.（湖南湘西）.下列说法错误的是（）A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形【答案】D【解析】此 题主要考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判断定理可作出判断.选项A、B C都是平行四边形的判定定理，符合选项D条件的除了平行四边形还有等腰梯形，故选择D .4. （2019?山东临沂）如图，在平行四边形ABC珅，M N是BD上两点，B阵DN连接 AM MC CN NA添加一个条件，使

16、四边形 AMC陲矩形，这个条件是（）【答案】AC. BDL ACD. / AMB= / CND【解析】由平行四边形的性质可知：OA= OC OB= OD再证明OM= ON即可证明四边形 AMCN1平行四边形.证明：四边形 ABCD1平行四边形，OA= OC OB= OD对角线 BD上的两点 M N满足B阵DN. OB- BM= Ob DN 即 OM= ON四边形AMC遑平行四边形，.OM= AC.MN= AC四边形 AMC遑矩形.15.（山东淄博）如图， ABC勺面积为16,点D是BC边上一点，且 BD=BC点G是AB上一点，点 H在4 ABC内部，且四边形 BDHG1平行四边形.则图中阴影的

17、面积是（AA. 3 B. 4 C. 5 D. 6.这里h=hi+h2.【解析】本题考查三角形的面积的计算，平行四边形的性质，及整体思想，解题关键是能整体求解 两阴影部分以公共边 GHK/底，则高的和=4ABCW BC边的高.设 ABC底边BC上的高为h, AGH边GH上的高为hi, CGHg边GH上的高为h2,则有Sa ABC=lBC?h=16, 2S 阴影=Saag+Sa06=16%+ 1 GH?h2=!GH? (hi+h2)=1 GH?h.四边形BDH/平行四边形，且 BD=1 BC4八 一 1 八 .GH=BD=1BC4 S 阴影=1 X ( 1 B(?h) = 1 SAab=4 故选择

18、二、填空题6. （2019广西百色）四边形具有不稳定性.如图,矩形ABCD$箭头方向变形成平行四边形变形后图形面积是原图形面积的一半时，则/A=【解析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形 A B C D的底边AD边上的高等于 AD的一半,据此可得/ A为30 .*平行四边形物D=f 5矩形迎口，平行四边形 A B C D的底边AD边上的高等于 AD的一半,6. （2019湖南娄底）如图，平行四边形 ABCD的对角线 AC、BD交于点 Q点E是AD的中点， BCD的周长为18 ,则 DEO的周长是 【答案】9.【解析】E为AD中点，四边形 ABCD平行四边形，11DE= 1AD= -

19、 BQAO=CP22. OE= -CQ.BCD的周长为18,BDfDG-B=18,11 .DEO 的周长是 DROmDG（BGDGBD =- X18=922（ 2019河南省）如图，在 DABC第 BHA皎对角线 ACT点E,若/ 1=20,，则/ 2的度数是【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用平行四边形性质或三角形外角的有关知识.思路：首先利用平行四边形的性质求出/ BAE的度数，再由/2是4ABE的外角求出/2的大小.,四边形ABC谩平行四边形.AB/ CQ.ZBAE1=20 ,.BHAB.Z ABE=90,/2是 ABE的外角.Z2=ZA

20、BEV BAE=90 +20 =110 ,故答案为110（ 2019湖北省十堰市）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2v13 cm,AD=4cm,AC!BC,则 DBC比 ABC的周长长 cm.【答案】4【解析】本题属于平面几何的计算题，主要涉及到平行四边形的性质、勾股定理、三角形的周长等；解题 的关键是 DBC比 ABC的周长长等于 BD-AC;解题的思路是根据平行四边形的性质和勾股定理，分别表示 出 DBC的周长与 ABC的周长，找出 BD-AC的值即可.如图，设 AC与BD交于点F,因为AB=2、；T3cm,AD=4cm,AC! BG所以AC=JXB2_BC2 4(2Q13)2 42

21、、36 6;因为平行四边形 ABCD 中，所以，AF=FC,BF=DF; BF=BC2 CF242 32 5, BD=10； 因为 DBC的周长=BD+BC+CD=10+A%ABC的周长=AB+BC+6所以DBC比 ABC的周长长4.9.(2019浙江金华)如图，已知AB/ CD BC/ DE若/A= 20 , / C= 120 ,则/ AED勺度数是【答案】80【解析】延长DE交AB于F,根据平行四边形的性质及三角形内外角的关系可以确定/AED勺度数.BC延长DE交AB于F,因为AB/ CD BOI DE所以四边形 BCDF为平行四边形，因为/ C= 120。，所以/ BFD= 120 ,所

22、以/ AFD= 60 ,又/ A= 20 ,所以/ AED= 600 +20 =80 ,故答案为 80 .（江苏省无锡市）如图，已知DOABC勺顶点A C分别在直线x=1和x = 4上，O是坐标原点，则对角线O时的最小值为【答案】5.【解析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是知道点B到直线x=4的距离等于点 O到直线x=1的距离.本题的思路是由平行四边形的中心对称的性质可知点O与点A,点C与点B之间的水平距离相等，可求得点B的横坐标，也就是说点B在一条垂直于x轴的直线上运动，我们只需寻找出点 B在什么位置时，OB最短即可.顶点A、C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，点 B在x=5

23、上，当点B在x轴上时，即OB的 最小值为5,故答案为5. （2019?湖北武汉）如图，在 ？ABC加，E.F是对角线 AC上两点，AE= EF= CD / ADF= 90 , / BCD = 63 ,则/ ADE勺大小为 .【答案】21 .【解析】设/ ADE= x,AE= EF, Z ADF= 90 ,/ DAE= / ADE= x, DE= 2-AF:= AE= EF, AE= EF= CDDE= CD./ DCE= / DEC= 2x,四边形ABCD1平行四边形，AD/ BC.Z DAE= / BCA= x,./DCE= Z BCD- Z BCA= 63 - x,2x= 63 x,解得：

24、x=21 ,即/ ADE= 21 。三、解答题12. (2019徐州)如图，将平行四边形纸片ABCM一条直线折叠，使点 A与点C重合，点D落在点G处,折痕为EF.求证：/ ECB= / FCG4EB挈AFGC【答案】见解析。【解析】依据平行四边形的性质， 即可得到/ A= /BCD由折叠可得，/A= /ECG即可得到/ ECB= /FCG 依据平行四边形的性质，即可得出/D= / B, AD= BC由折叠可得，/ D= / G AD= CG即可彳#到/ B= ZG, BC= CG进而彳#出 EB挈 FGC 证明：（1）二.四边形 ABCD1平行四边形， . ./ A= / BCD由折叠可得，/

25、 A= / ECG ./ BCD= / ECG/ BCD / ECM / ECG E ECF.Z ECB= / FCG(2) 四边形 ABC虚平行四边形,. ./ D= / B, AD= BC由折叠可得，/ D= /G, AD= CG/ B= / G BC= CG又,：乙 ECB= / FCGEB室 FGC (ASA.BA的延长线于【答案】见解析.13. （2019湖南郴州）如图，平行四边形ABCD,点E是边AD的中点，连接 CE并延长交点F,连接AC DF.求证：四边形 ACDF1平行四边形.【解析】解：.四边形 ABCD平行四边形,AB/ CD / FAE= / CDEE是AD的中点， .

26、AE= DE又. / FEA= / CEDFAE CDE (ASA,. CD= FA又. CD/ AF,，四边形ACDF1平行四边形.交BC的延长线14.（湖南省永州市）如图，四边形 ABC时平行四边形，/ BAD勺角平分线 AE交CD点F,于点E.(1)求证：BE=CD(2)连接BF,若BF AE / BEA60 , AB=4,求平行四边形 ABCD勺面积.【答案】见解析。AE平分/ BAD【解析】（1）证明：四边形 ABC师平行四边形，AB=CD AD/ BE，/ DA巨/AEB又 / DAE/BAE . / BAE=Z AEB . - BE=AB,又 AB=CQBE=CD(2) . BE

27、=AB BFAE AF=EF,AD/ BE, / D=/DCE /DAF=/FEC. .AD降ECFAAS.S平行四边形ABC=S ABE. 1/ BE=AB / BEA=60 ,1、3=1 X4X4X 2_ = 4/3 .ABE为等边三角形. Saabe=!aE- BF=1 x4X4sin 60 22- S平行四边形abc= 4J3 .15. （2019 安徽）如图，点 E在？ABCDJ部，AF/ BE, DF/ CE（1）求证： BCEE ADF（2）设？ABCD勺面积为S,四边形AEDF勺面积为T,求与的值.【答案】见解析。【解析】根据 ASAffi明： BC白 ADF根据点 E在?AB

28、CD部，可知：Sabec+&ae=Sabcq可得结论. 2(1)二.四边形 ABC麋平行四边形，AD= BC AD/ BC,/ABG/BAD= 180 , AF/ BE,/ EAB/ BAF= 180 , / CBE= / DAF同理得/ BCE= Z ADF在 BCE ADF 中， rZCEE=ZDAF，BC=AD , tZBCE=ZATFBC降 ADF (ASA；(2) 点E在?ABC咕部,由(1)知： BC降 ADFSa BCE= SADF,S四边形AEDF= Sx ADF+Sa AED= S BEC+Sa AED= .?ABCD勺面积为S,四边形 AEDF勺面积为T,16. (2019

29、湖南张家界)如图，在平行四边形ABCDfr,连接对角线 AC,延长AB至点E,使BE= AB连接DE，分另ij交BC AC交于点F, G(1)求证：BF= CF;(2)若 BC= 6, DG= 4,求 FG的长.【解析】（1）证明：四边形 ABCO平行四边形，AD/ CD AD= BC,EBW EAD.1=皂=1AD EA 2,11 -BF= -AD= - BC 22BF= CF;（2）解：.四边形 ABCD1平行四边形，. AD/ CDFGQ DGA解得，FG= 2.17. （2019?南京）如图，D是ABC勺边AB的中点,心CEFDE/ BC CE/ AB AC与 DE相交于点 F.求证：

30、 ADF【解析】依据四边形 DBCE1平行四边形，即可得出BD= CE 依据 CE/ AD 即可彳#出 / A= / ECF / ADF= /E,即可判定 ADF2 CEF证明：DE/ BC CE/ AB,四边形DBCE1平行四边形,BD= CED是AB的中点，. AD= BDAD= EC. CE AD. ./ A= / ECF / ADM / E, AD咯 CEF (ASA.18. (2018海南)如图，将？ABCD勺ADi延长至点 E,使DEAD,连接CE, F是BC边的中点，连接 FD.2(1)求证：四边形 CEDF平行四边形；(2)若 AB=3 AD=4, / A=60 ,求 CE的长

31、.【答案】看解析。【解析】考点是平行四边形的判定与性质.菁优网版权所有利用平行四边形的性质得出AD=BC AD/ BC,进而利用已知得出 DE=FC DE/ FC,进而得出答案；首先过点 D作DNL BC于点N,再利用平行四边形的性 质结合勾股定理得出 DF的长，进而得出答案.(1)证明：二四边形 ABC虚平行四边形，AD=BC AD/ BC,DE=|aD, F是BC边的中点，DE=FC DE/ FC,四边形CEDF平行四边形；(2)解：过点D作DN BC于点N,四边形ABC比平行四边形，/ A=60 , / BCDW A=60 ,. AB=3, AD=4 .FC=2, NCDC, DN=1-222使 DE= DA(2019辽宁本溪)如图，在四边形 A