全国高中数学联赛天津赛区预赛试题

1、全国高中数学联赛天津赛区预赛试题绝密启用前2016年全国高中数学联赛天津赛区预赛试题试卷副标题考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx题号二总分得分注意事项：.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息.请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明.函数f（x）= Isin2x + cos2xl的最小正周期为 ()I InnA2ji Bn C.7 D 彳.方程12x - sl +13x - 7l +15x - 川二黑共有（）个实数根A. 0 B . 1 C . 2 D . 大于或等于3 3设oN a h.已知小E、t、h依次成等差数列 a、u, w h依次成

2、等比数列记x = stCs + t）, y 二 uv（u + v）.贝（）A.xy B . x = y C.x y|的情形，也有x 0.则所有满足上述要求的目 组成的集合为（）A.（-8,5 B . ”,4）C.17D , （1, 5.设函数fQi的定义域是 （8, + 8）对于下列四个命题：（1）若（X）为奇函数，则心（X）也为奇函数； 若（X）为周期函数，则MG）也为周期函数；若（x）为单调递减函数，则r（Nx）为单调递增函数； 若方程卜3）_=）有实根，则方程f（X）= X也有 实根，其中，正确的命题共有（）个A. 1B 2 C 3 D . 4第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字

3、说明二、填空题.椭圆”十女丫？二1与双曲线4 一 士二1有相同的 - 145-准线.贝Ik=.已知正三棱锥的侧面是面积为1的直角三角形则该正三棱锥的体积为 .已知 ABC的周长为20,内切圆的半径为廿3,BC = 7.则1mA的值为.甲、乙两名学生在五门课程中进行选修，他们 共同选修的课程恰为一门且甲选修课程的数量多 于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为.已知凸n边形n个内角的度数均为整数并且互不相等，最大内角的度数为最小内角的度数的3倍.则n可以取到的最大值为 .12,设向量勺二（1,5、沏二-1）,西 二（2,1）, %、人2、入3均为非负实数，入人+ : + ； = 1. 那么，

4、瓜曲+入出2 +匕沟的最小值为.二、解答题.已知正三棱锥|P - ABC的体积为9A侧面PAB与 底面ABC所成二面角的平面角为60口，D为线段AB 上一点,AD二标B,E为线段AC上一点,AE二:A# 为线段PC的中点，平面DEF与线段PB 交于点G.求四边形DEFG的面积.设a为实数，两条抛物线二乂2 + x+a与X = 4y2 3y 士 a有四个交点(1)求a的取值范围;(2)证明这四个交点共圆，并求该圆圆心的坐标.15.设怅)=，令I 3ai二力02二彳，ai2;f(a/ +乩 + J(n = 1，证明：对 任何正整数n,有f(3 义 2“ 1) W / W f(3 义 22n 2).

5、参考答案C【解析】【详解】注意到，f（x）= Isin2x + cos2xlQf（x）= J2sin（2x +J.由函数图像之间的关系，可知gx）与g（x）= Isin2xl有相 同的最小正周期.因为kinx|的最小正周期为1,所以，8小）的最小正周 期为.A【解析】【详解】注意到，l2x - 51+ l3x - 7l + lox - 111三 l（2x - 5）+（3x - 7）+（11 - 5x）1 - 12015） 2016故方程无解.A【解析】【详解】设公比q 7 1.则 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 3

6、2. I ,I 2a + b (2 i q% ,|S _3_3a.十 2b (1 + 2q )s HYPERLINK l bookmark39 o Current Document .-.L 33由 a(l + q3) - a(q + q2)= a(q - L)(q2 - 1) 0,=s +1 = a + bu + v,故 一 1IB【解析】 【详解】161而故； ,7Q 14乂泰+ 5X瓶+ 6X丽 与4；最接近.D【解析】【详解】令l（x）= x2 - 2（a - 2）x + a）下面分两种情形讨论：（1）（x）没有零点，此时，（X）恒大于0,显然满足要求，由 ；: ，,二（X）有零点.此

7、时，由函数图像知（X）满足要求当且仅当:综上，a （1,1）U|，5二（1,51C【解析】【详解】若 f（x）为奇函数，则（- X）= 一 f（x）=-f（f） 故（x）也为奇函数.因此，命题（1）正确.若f（x）为周期函数,设T为f（x）的一个周期，则-T）； - F.故C（x）也为周期函数，因此，命题（2）正确.若（X）为单调递减函数，则对任何X （）7 - y on 1WI I5贝E.由n个内角的度数均为整数知180 0 i = 3（= 0 W 177, 0 n W 59再由n个内角的度数均为整数且互不相等知.0 k w 178 - k（k = 1,2,，n - 1）王”80（n 2）=

8、。!? + 3n - 482 W 0,-3 -h J9 4 X 482n W 3，结合n为正整数，知n W 20.因为当n二20时，:二 I:匚，180（n - 2）= 3240, ,所以,n个内角的度数为177,176,，160, 148, 59满足要求.综上,n可取到的最大值为20.:【解析】【详解】令.1:3 : 343 =（6, 3）, P=1 J, P2 P3 - V，则：1:1.于是，问题转化为在P1、2、P3均为非负实数，且Pl - P2 一 P：J = 1 的条件下,求+ P2h2 + p：山的最小值.记：I.,。口 二 PiE + p2b2 + p3b3.则P|、小、P?均为

9、非负实数,P1 +取+ P3=1的条 件就对应于P为4ABC内（含边界）一点.由图形，知当P为线段AB上（3, 3）这一点时，0P 1 AB,此时，lopl 二 + p2b2 + P3b取得最小值 3也.【解析】【详解】设正 ABC的边长为x,中心为O,线段BC的中点为M, 联结AM、PM、P0.由AM BC,PM BC,知/AMP为正三棱锥P二ABC的 侧面与底面所成二面角的平面角.于是，A.P.故；AMtan60 = 1 X yx XP0=OMtanZAMP =X二 2因为吵二些二！所以 ,卜/B）工一莪C 1.由DEBC知BC“平面DEF,从而,BC/FG,再由F为线段PC的中点，知G为

10、PB的中点，FG =加工 3.由 BD 二 CEBG = CF, NABP = /ACP,= BDg% CEF=D6 = EF,由DE7/BCF知四边形DEFG为等腰梯形,其底边长分别为DE 二 LFG = 3.设DE的中点为k，FG的中点为L.则KL为等腰梯形DEFG的高.于是，点K在AML上,且AK二1AM,有KM =JAM=J_X 逑 : 竽点L在PML上，且PL二，归有LM 二；PM = 0M 二:AM =！ X 3*3 二出.在 KLM中，由余弦定理得：二 JKM2 + LM2 - 2KM * UJcos60o 二 口 + 3 -、_（DE + FG）KLS梯形 DEFG =2（1）

11、（ - 8, 一 ；）（ 一: 一 上）；（2）证明见解 析，圆心坐标为（-【解析】【详解】（1）已知两式相减整理得：（X - 2y）（x + 2y + 2）=0 nx 2y = 0或x + 2y + 2 = 0.由此知题中两条抛物线有四个交点当且仅当方程组 t i19y = x ” x + a, ，y = x + x_+ a, x - 2y =。与lx + 2y + 2 = 0共有四组不同的实数解.这又等价于两个方程组各有两组不同的实数解且没有 公共解.由前一个方程组得2x2 + x + 2a = 0,其判别式大于0,即 1 - 16H 0=a 0=a-焉因此，两个方程组各有两组不同的实数解当且仅当a - A注意到，两个方程组有公共解当且仅当：2X =-1,y = x+x + a, ， _ 1x - 2y = 0,= 丫 =2,，x + 2y - 2 = 0 I-,-因此，二 6 : - - -；：(2)由丫 = x2 + x + a，得:4y = lx 4x + 4a.上式表明,这四个交点共圆,其圆心坐标为（一：J见解析【解析】【详解】先用数学归纳法证明：对任何正整数n,有即4 + 1 r 3当n51时，5 = ；= a2,命题成立.当n = 2时,=;1）时命题成立.则n二k + I时，由归纳假设知在区间增得:+ 8）内单调递叫 二泣k + 1 二匕