全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答

1、2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及解答2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上）.复数（1i）4（1i）4.已知直线Xmy10是圆C：x2y24X4y50的一条称轴，则实数m.某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率是（结果用最简分数表示）.4,已知cos41,则sin4cos4.已知向量a,b满足ab2,a,b1，则以向量2ab3与3ab表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为.设数列an的前n项和为Sn.若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于.设

2、函数f(x)|x22,若f(a)=f(b),且0vavb,则ab的取值范围是.设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中ann2,nN*,贝！Jff(2011).一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是.已知m是正整数，且方程2xmjEm100有整数解，则m所有可能的值是.二、解答题(本大题共4小题，每小题20分,共80分).已知圆x2y21与抛物线yx2h有公共点，求实数h的取值范围.设f(x)x2bxc(b,cR).若|xR2时,f(x)05且f(x)在区间2,3上的最大值为1,求b2c2的最大值和最小值.如图，P是VABC内一点.(1)若

3、P是VABC的内心，证明：BPC90o1BAC；2/若BPC90o1BAC且APC90o1ABC,证明：P是VABC227的内心.BC.已知是实数，且存在正整数n%使得L为正有理数.证明：存在无穷多个正整数n,使得L为有理数.2011年全国高中数学联赛江苏赛区初赛题答案及点评、填空题(本题共10小题，满分70分，每小题7分.要求直接将答案写在横线上).复数(1i)4(1i)4答案：8基础题，送分题，高考难度C: x2 y2 4x 4y 5 0的一条对.已知直线xmy10是圆称轴，则实数m答案：32基础题，送分题，高考难度3.某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽

4、中的概率是_答案：也145(结果用最简分数表示).基础题，送分题，高考难度，但需要认真审题，否则很容易有错4,已知cos41,则sin4cos4答案：|5计算量挺大的，要注重计算的方法，对于打酱油的同学有一定难度.已知向量a,b满足ab2,a,b3则以向量2ab3与3ab表示的有向线段为邻边的平行四边形的面积为.答案：102可以用特殊法，把向量放在直角坐标系中，很容易可以得出答案.设数列an的前n项和为Sn,若Sn是首项及公比都为2的等比数列，则数列an3的前n项和等于.答案：；(8。48)高考难度级别，基础好的同学可以做出来.设函数f(x)*2.若f(a)=f(b),且0vavb,则ab的取

5、值范围是.答案：(0,2)这是一道高考题.设f(m)为数列an中小于m的项的个数，其中ann2,nN*,贝！ff(2011).答案：6这也是一道高考题.一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角形的斜边长是.答案：43还是一道高考题.已知m是正整数，且方程2xmEm100有整数解，则m所有可能的值是.答案：3,14,30这是2011年苏州市一模的第十四题。二、解答题(本大题共4小题，每小题20分，共80分).已知圆x2y21与抛物线yx2h有公共点，求实数h的取值范围.解：设公共点(cose,sin0),代入抛物线方程，彳旦22125寸hsincossinsi

6、n1(sin-)一24因为sin1,1,所以h5,14简单，很简单12,设“x)x2bxc(b,cR).若IQ2时,f(x)J0,且f(x)在区间2,3上的最大值为1,求b2c2的最大值和最小值.解：由题意函数图象为开口向上的抛物线，且f(x)在区间2,3上的最大值只能在闭端点取得,故有f(2)wf(3)1)从而b5且c3b8.若f(x)0有实根，则在区间f( 2) 0,2,2 有 f(2) 0,即b2 - 0,42bcR0,消去C)解出4WbW4,bw4,5bw4,4b4,这时c4,且若f(x) 0无实根，则4c 0 ,将c 3b 8代入解综上5 b 4 .所以 b2 c2 b2 ( 3b

7、8)2 10b248b 64)单调递减故(b2c2)min32,(b2 c2)max 74 .注重分类讨论13.如图，P是VABC内一点.(1)若P是VABC的内心，证明:(2)若 BPC90BAC 且 APCo90ABCBPC 90o 1 BAC ；2证明：P是VABCACB) 180o1 -(180的内心.o1BPC180(ABC2因为上B网9(r+:上胡C是大于90的定制RC是定线氏r*所以点户在以BC为黄的IS上，其中B长=两十3/明GH学辕93c与4在卜(7的同心以分同理，点P初步C为型的初匕其中“心泄+之1火8a此多加APC与E在WC的同M所以是这两个展的公共点.他介由(1)可描知,&此的内心也品这两个切M公共最卫C曷比两国的另一个公共品但不在24BU内，所以F是内心.州分这其实是平面几何一个很重要的结论，在一般的平面几何的参考书上都有14.已知是实数，且存在正整数n0,使得k为正有理数.证明：存在无穷多个正整数n,使得L为有理数.证明：设、丁其中p,q为互质的正整数，则noLp2, 2n p k 2qk n0 ,pk - QP ,设k为任意的正整数，构造贝UTnQ72k_2qk_nJp2k22qk号非常非常常规的一道数论题，不需要数论的预备知识总结：这张试卷大约90分以上应该可以出线了。一般说来，出线并不算