高等动力学课件：lecture7_enegy

1、 Lecture 7能量原理功：内容回顾微小位移上的功 在速度水平上定义的元功 共点力系的元功非共点力系的元功力F在路径AB上所做的功功的计算直角坐标系对正交曲线坐标系来说称为作用在ei（单位正交基）上的广义力，功率的概念：单位时间内力所做的功；功率的单位: 1W=1J/s常见力所做的功重力所做的功质点系上升时，重力做负功。下降时，重力做正功。总功等于总重量乘以质心的落差。质点系内力所做的功内力总是成对出现的，且存在定义质点i与质点j之间的相对位移矢量为常见力所做的功Fji是第i个质点对质点j的作用力，rij是第i个质点到j个质点的向径。ijdrjdridrijFjiFij一般来说，Fji总是

2、与rij共线的。 刚体： 内力做功等于零。 弹性体：内力做功一般不等于零。 相互作用力为吸引力时，内力做负功，相互作用力为斥力时，内力做正功。内力是位置的函数设Fij：内力的元功为进一步假设F(rij)为可积函数，则存在于是，内力的元功可表示为某一个函数的全微分一旦内力的元功可以表示为某一个函数的全微分，则内力所做的功便与积分路径无关。质点系内部所有的内力所做的功为弹簧力所做的功ij弹性力为lij是弹簧原长力函数F(rij)是可积函数这一对内力所做的总功为从弹簧的原长状态出发，弹簧物理伸长还是缩短，弹簧的内力总是做负功。万有引力的功万有引力万有引力可以表示为某个函数的全微分Comments:质

3、点系内力对总动量和总动量矩不起作用，但并不意味内力不做功。只有组成刚体系统的质点系之间，内力做功为零，对一般的变形体，内力将做功。当摩擦力作为外力时，一般对应于从外部吸收能量或向外部耗散能量。内力所做的功为刚体上的力刚体上任意一点的速度为外力所做的元功为作用在刚体上所有外力的元功之和由两部分构成，第一部分是平动的功，它等于外力主向量与质心位移的点积；第二部分是转动的功，它等于相对质心的主矩与瞬时角位移的点积 设作用在刚体上的外力系为Fi,对应的矢径为ri，刚体质心的速度为rc，刚体瞬时角速度为。约束力所做的功约束的概念描述物体之间相互作用有两种基本的方法：力与位移之间的关系约束约束力可以是内力

4、，也可以是外力。依赖于对分析对象的选取。质点在光滑约束面上的运动nt刚体在一固定面上的纯滚动。刚体之间的光滑铰链连接。R1 与R2不可伸长的绳索，其内力同样不做功。理想约束：约束力不做功。干摩擦所做的功半径为R的轮子在地面上滚动。设轮心O的速度是V，轮子的角速度是，指向如图所示。讨论:地面对轮子的摩擦力f所作的元功。 干摩擦所做的功接触点A处的速度： 干摩擦的性质当vA=0 并且加速度为零时，即摩擦为静摩擦时， w=0当vA0时，摩擦力总是做负功。阻尼力所做的功x质量为m的小球在某一介质（如空气、水或油等）中自由落下，初速为零，求：从初始时刻，到3倍特征时间内，外力所做的功。质点的受力分析:

5、重力mg, 粘性介质对小球的阻力Fc.阻尼力：质点的动力学方程初条件为令阻尼力所做的功根据初始条件，确定积分常数令=m/c阻尼力与速度的点积在3倍的特征时间内： 阻力所做的功 重力力所做的功 外力所做的功场Hamilton算子(线性微分算子)设可微函数：梯度：设：散度：旋度：方向导数：场设A 是空间中矢量场，该矢量场沿闭合曲面S的面积分称为通量矢量场的基本概念：在空间中的每一点有确定的矢量。散度：根据曲面积分的高斯定理设矢量A=Pi+Qj+Rk两边取极限，并利用积分中值定理，以及散度的定义，有场环量（旋涡量）矢量场沿封闭曲线的积分旋度的定义Stokes公式保守力场与势能力场：如果质点在一个空间

6、区域内的任意位置上，受到确定大小和方向的作用力，这个力且是位置的单值、有界且可微的函数（连续介质力学的基本假设），这个区域就称为力场根据力场的定义，显然，保守力能够构成一个力场，有保守力所做的元功F是某个函数全微分的条件：矢量场F的旋度为零或者说，当矢量场为无旋场时，该矢量场可以表示为某一标量场的梯度场。这时，保守力所做的功与积分路径无关。保守力场与势能根据Stokes定理保守力沿封闭曲线所做的功等于零旋度为零的场也称为无旋场。F=yi-xj故该力场所定义的不是保守力。准静态过程与势能设在保守力场中有一质点，除场力外还有外力对它作用，考虑质点缓慢由A点移到B点，每一时刻不存在速度的变化。这一过

7、程称为准静态过程外力所做的功，刚好从势能的方式存在于系统之内。外力在保守力场内对质点做正功，则质点所处的势能增加，此时，场力做负功 。势能的概念。在场内选定一点M(x0,y0,z0)，使因为每一瞬间都处于平衡状态，故有场内任意一点M(x,y,z)的势能值就等于质点从M0到M点移到时，场力所做功的负值。即重力场M0M设水平面高度为重力势能的零势面，则M点的势能为重力势能是一个标量场。该标量场的梯度就是重力的方向，也是等势能面的法线方向。力线：是空间中的一条曲线，该曲线上的场力方向和该点的曲线的切线方向一致。（流线）弹性力场弹簧的内力为一对弹簧内力所做的功为质点系的弹性势能为考虑以质点系，任意量质

8、点之间均用一根弹簧相连，设弹簧的原长为lij，弹簧常数为kij弹性势能：万有引力考虑一个n个质点组成的质点系，质点之间存在万有引力的作用。两个质点之间引力所做的功为设无穷远处为零势面质点系的万有引力的势能函数为多体系统所构成的万有引力势能场是复杂的，从而可能导致复杂的系统动力学行为，如：混沌和分岔现象。万有引力重力场是万有引力场在局部范围内的一种近似，在规定了零势面后，多体系统的重力势能可近似表示为在研究天体运动和相关航天工程问题时，必须引入万有引力势。如果限制一个质点不动，则万有引力势的势能面就是以不定点为球心的球面。限制性三体问题例子质量为m，长为l的均质杆AB，可在竖直平面内绕A点自由转

9、动。今在杆上装一个抗扭弹簧，其抗扭刚度是K（扭过单位角度所需的外力矩）。设时弹簧，其处于自然状态。求杆和弹簧所组成的系统的势能。 例子重力场作的元功 抗扭弹簧力场作的元功 全微分形式零势面例子双摆由两个质点和两根杆组成。设两质点的质量分别为m1和m2，不设杆重，杆长分别为l1和l2， 求系统的势能。 例子当系统由位置转移到任意角重力场作的功 系统的零势面定义广义力势函数是双变量函数：V(,)广义力场是关于超曲面的梯度函数动能动能是对物体运动形式所具有能量的一种度量方式。 运动的物体也具有做功的能力，这种能力称为动能。按照以上传统的定义，必然需要引入力的概念，这种力，莱布尼斯称为活力。依照现在的

10、观点，显然这一活力可以认为是惯性力：-mdv该惯性力所做的元功为如果考虑空间中存在一个速度场，当从1点移到2点时，惯性力所做的功为质点动能的定义动能质点系的动能为平动刚体的动能：平动刚体的假设，使质点系各个质点在同一瞬时具有相同的速度定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体，使质点系上各个质点在同一时刻满足一定的速度分布关系。定轴转动刚体的动能为动能在质心上建立平动坐标系，则刚体上任意质点的速度可表示为则，组成刚体质点系的动能为由于寇尼格定理质点系的动能等于系统的质量全部集中在质心时质心的动能，再加上相对质心平动参考系的功能注意：质点系动能的计算过程中，由于涉及到质点的速度，因此，动能计算量必然与参考系相关。一般情况下，以上动能的计算隐含着相对于惯性参考系。例子半径为R的圆环在平面内绕O点转动，转角是。小珠m可在环上自由滑动,小珠相对于环的转角为.求小珠的动能。 例子运动学分析：按照复合运动进行分解：相对运动：绕大圆环的圆周运动牵连运动：大圆环相对于O点的定轴转动。小珠的相对速度为小珠的牵连速度小珠的绝对速度：按照余弦定理小珠的动能整个系统的动能纯滚动刚体的动能 质量为M，半径为R的均质圆柱体，沿水平面作纯滚动，角速度为。求圆柱体的功能。 纯滚动刚体的动能圆柱做纯滚动，故角速度与质心速度之间存在如下的运动学关系：根据Konig定理，圆盘的动能为思考题：如果A点为速度瞬