许昌市重点2022年高三第五次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名

2、学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在，内的学生人数为（ ）A800B1000C1200D16002已知平面向量，满足，且，则与的夹角为（ ）ABCD3在中，角、的对边分别为、，若，则（ ）ABCD4已知等差数列中，则（）A10B16C20D245已知平面向量，满足，且，则（ ）A3BCD56已知f(x)，g(x)都是偶函数，且在0,+)上单调递增，设函数F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|，若a0，则（ ）AF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)BF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)CF(-a)F(a)且F(

3、1+a)F(1-a)DF(-a)F(a)且F(1+a)F(1-a)7九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）ABCD8若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD9函数在上的大致图象是（ ）ABCD10若集合M1，3，N1，3，5，则满足MXN的集合X的个数为()A1B2C3D411复数（为虚数单位），则等

4、于（ ）A3BC2D12阅读名著，品味人生，是中华民族的优良传统.学生李华计划在高一年级每周星期一至星期五的每天阅读半个小时中国四大名著：红楼梦、三国演义、水浒传及西游记，其中每天阅读一种，每种至少阅读一次，则每周不同的阅读计划共有（ ）A120种B240种C480种D600种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，则展开式所有项系数之和为_.14已知实数，满足约束条件，则的最小值为_.15定义，已知，若恰好有3个零点，则实数的取值范围是_.16若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_三、解答题：共70分。解

5、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，空间几何体中，是边长为2的等边三角形，平面平面，且平面平面，为中点.（1）证明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.18（12分）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.（1）求B；（2）若，且，求BD的长度.19（12分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）写出的极坐标方程和的直角坐标方程；（2）已知点、的极坐标分别为和，直线与曲线相交于，两点，射线与曲线相交于点，射线与曲线相交于点，求的值.20（12分）已知椭圆的左

6、、右顶点分别为、，上、下顶点分别为，为其右焦点，且该椭圆的离心率为；（）求椭圆的标准方程；（）过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点，交直线于点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与直线交于点若，求取值范围21（12分）如图，在四棱锥中，侧棱底面，是棱的中点.（1）求证：平面；（2）若，点是线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值.22（10分）已知椭圆的左、右焦点分别为直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点，且过的直线与椭圆交于两点，设且 .（1）求点的坐标；（2）求的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1

7、B【解析】由图可列方程算得a，然后求出成绩在内的频率，最后根据频数=总数频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1，得，解得，所以成绩在内的频率，所以成绩在内的学生人数.故选：B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用，属基础题.2C【解析】根据， 两边平方，化简得，再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量，满足，且， 所以，所以，所以 ，所以，所以与的夹角为.故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的模，向量的夹角和数量积运算，属于基础题.3B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得，可得出，然后利用余弦定理求出的值，最后利用正弦定理可求出的值.【详解】，即，即，得，.由余弦

8、定理得，由正弦定理，因此，.故选：B.【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.4C【解析】根据等差数列性质得到，再计算得到答案.【详解】已知等差数列中，故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的性质，是数列的常考题型.5B【解析】先求出，再利用求出，再求.【详解】解：由，所以，故选：B【点睛】考查向量的数量积及向量模的运算，是基础题.6A【解析】试题分析：由题意得，F(x)=2g(1-x),f(x)g(1-x)2f(x),f(x)g(1-x)，F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)g(1+a)2

9、f(-a),f(a)=f(-a)g(1+a)，F(a)=2g(1-a),f(a)g(1-a)2f(a),f(a)0，(a+1)2-(a-1)2=4a0，|1+a|a-1|g(1+a)g(1-a)，若f(a)g(1+a)：F(-a)=2g(1+a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若g(1-a)f(a)g(1+a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2g(1-a)，F(-a)F(a)，若f(a)g(1-a)：F(-a)=2f(-a)=2f(a)，F(a)=2f(a)，F(-a)=F(a)，综上可知F(-a)F(a)，同理可知F(1+a)F(1-a)，故选A.考点：1.

10、函数的性质；2.分类讨论的数学思想.【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致1-a与1+a大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.7C【解析】由题意知：，设，则，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【详解】解：由题意知：，设，则在中，列勾股方程得：，解得所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.8A【解析】试题分析：由

11、题意得有两个不相等的实数根，所以必有解，则，且，考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号.（2）已知函数求极值.求f（x）求方程f（x）0的根列表检验f（x）在f（x）0的根的附近两侧的符号下结论.（3）已知极值求参数.若函数f（x）在点（x0，y0）处取得极值，则f（x0）0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.9D【解析】讨论的取值范围，然后对函数进行求导，利用导数的几何意义即可判断.【详解】当时，则，所以函数在上单调递增，令，则，根据三角函数的性质，当时，故切线的斜率变

12、小，当时，故切线的斜率变大，可排除A、B；当时，则，所以函数在上单调递增，令 ，当时，故切线的斜率变大，当时，故切线的斜率变小，可排除C，故选：D【点睛】本题考查了识别函数的图像，考查了导数与函数单调性的关系以及导数的几何意义，属于中档题.10D【解析】可以是共4个，选D.11D【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】，所以，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.12B【解析】首先将五天进行分组，再对名著进行分配，根据分步乘法计数原理求得结果.【详解】将周一至周五分为

13、组，每组至少天，共有：种分组方法；将四大名著安排到组中，每组种名著，共有：种分配方法；由分步乘法计数原理可得不同的阅读计划共有：种本题正确选项：【点睛】本题考查排列组合中的分组分配问题，涉及到分步乘法计数原理的应用，易错点是忽略分组中涉及到的平均分组问题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1364【解析】由题意先求得的值，再令求出展开式中所有项的系数和.【详解】的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，由两式可组成方程组，解得或，令，求得展开式中所有的系数之和为.故答案为：64【点睛】本题考查了二项式定理，考查了赋值法求多项式展开式的系数和，属于基础题.14【解析】作出满足约束

14、条件的可行域，将目标函数视为可行解与点的斜率，观察图形斜率最小在点B处，联立，解得点B坐标，即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域，该目标函数视为可行解与点的斜率，故由题可知，联立得,联立得所以，故所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题，属于简单题.15【解析】根据题意，分类讨论求解，当时，根据指数函数的图象和性质无零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，再分当，两种情况讨论求解.【详解】由题意得：当时，在轴上方，且为增函数，无零点，至多有两个零点，不合题意；当时，令，得，令 ，得或 ，如图所示：当时，即时，要有3个零点，则，解得；当时，即时，要有3个

15、零点，则，令，所以在是减函数，又，要使，则须，所以.综上：实数的取值范围是.故答案为：【点睛】本题主要考查二次函数，指数函数的图象和分段函数的零点问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，利用导数判断函数单调性，属于中档题.16【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案【详解】，则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，故答案为【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）证明见解析（2）【解析】（1）分别取，的中点，连接，要证明平面，只需证明面面

16、即可.（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，分别计算面的法向量，面的法向量可取，并判断二面角为锐角，再利用计算即可.【详解】（1）证明：分别取，的中点，连接，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以，又平面，平面，所以平面，由，有，又平面，平面，所以平面，由平面，平面，所以平面平面，所以平面（2）以点为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示空间直角坐标系由面，所以面的法向量可取，点，点，点，设面的法向量，所以，取，二面角的平面角为，则为锐角.所以【点睛】本题考查由面面平行证明线面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查学生的运算能力，在

17、做此类题时，一定要准确写出点的坐标.18（1）（2）【解析】（1）根据共线得到，利用正弦定理化简得到答案.（2）根据余弦定理得到，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】（1）与共线，.即，即，.（2），在中，由余弦定理得：，.则或（舍去）.，.在中，由余弦定理得：，.【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.19（1）线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.【解析】试题分析：（1）（1）利用cos2+sin2=1，即可曲线C1的参数方程化为普通方程，进而利用即可化为极坐标方程，同理可得曲线C2的直角坐标方程；（2）由过的圆心，得得，设，代入中即可得解.试题

18、解析：（1）曲线的普通方程为，化成极坐标方程为曲线的直角坐标方程为（2）在直角坐标系下，恰好过的圆心，由得 ，是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和 ，则，即20（）；（），【解析】（）由题意可得，的坐标，结合椭圆离心率，及隐含条件列式求得，的值，则椭圆方程可求；（）设直线，求得的坐标，再设直线，求出点的坐标，写出的方程，联立与，可求出的坐标，由，可得关于的函数式，由单调性可得取值范围【详解】（），由，得，又，解得：，椭圆的标准方程为；（）设直线，则与直线的交点，又，设直线，联立，消可得解得，联立，得，直线，联立，解得，函数在上单调递增，【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力21（1）证明见解析；（2）【解析】（1）的中点，连接，证明四边形是平行四边形可得，故而平面；（2）以为原点建立空间坐标系，求出平面的法向量，计算与的夹角的余弦值得出答案【详解】（1）证明：取的中点，连接，分别是，的中点，又，四边形是平行四边形，又平面，平面，平面（2）解：，又，故，以为原点，以，为坐标轴建立空间直角坐标系，则，0，0，2，0，2，是的中点，是的三等分点，1，0，2，设平面的法向量为，则，即，令可得， 直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查了线面平行的判定，空间向量与直线与平面