天津市十二重点2021-2022学年高三适应性调研考试数学试题含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角条形码粘贴处。2作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡

2、一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1定义在R上的函数，若在区间上为增函数，且存在，使得.则下列不等式不一定成立的是（ ）ABCD2已知是偶函数，在上单调递减，则的解集是ABCD3设函数，若在上有且仅有5个零点，则的取值范围为（ ）ABCD4已知复数满足：，则的共轭复数为（ ）ABCD5设递增的等比数列的前n项和为，已知，则（ ）A9B27C81D6设等差数列的前n项和为，若，则（ ）ABC7D27已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D48已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）

3、ABCD9已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）ABCD10已知集合，则集合真子集的个数为（ ）A3B4C7D811已知函数fx=sinx+6+cosx0在0,上的值域为32,3，则实数的取值范围为（ ）A16,13B13,23C16,+D12,2312如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为_.14设函数，则_.15已知等差数列的各项均为正数，且，若，则_.16已知双曲线的左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点，则双曲线C

4、的离心率为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线，的交点分别为、（、异于原点），当斜率时，求的最小值.18（12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，点、分别为，的中点，且平面平面.（1）求证：平面.（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.19（12分）在中，内角的对边分别为，且（1）求；（2）若，且面积的最大值为，求周长的取值范围.20（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，面.（1）在线段上是否存在

5、点，使面，说明理由；（2）求二面角的余弦值.21（12分）己知函数.（1）当时，求证：；（2）若函数，求证：函数存在极小值.22（10分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可【详解】由条件可得函数关于直线对称；在，上单调递增，且在时使得；又，所以选项成立；，比离对称轴远，可得，选项成立；，可知比离对称轴远，选项成立；，符号不定，无法比较大小，不一定成

6、立故选：【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2D【解析】先由是偶函数，得到关于直线对称；进而得出单调性，再分别讨论和，即可求出结果.【详解】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.【点睛】本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型.3A【解析】由求出范围，结合正弦函数的图象零点特征，建立不等量关系，即可求解.【详解】当时，在上有且仅有5个零点，.故选:A.【点睛】本题考查正弦型

7、函数的性质，整体代换是解题的关键，属于基础题.4B【解析】转化，为，利用复数的除法化简，即得解【详解】复数满足：所以 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.5A【解析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得的值.【详解】设等比数列的公比为q.由，得，解得或.因为.且数列递增，所以.又，解得，故.故选：A【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6B【解析】根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果【详解】因为，所以，所以，所以，故选：B【点睛】本题主要考查

8、等差数列的性质及前项和公式，属于基础题7A【解析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，所以离心率，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题8C【解析】将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.9A【解析】构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.【详解】构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数

9、，所以当时，所以，所以.由得，所以，故不等式的解集为.故选：A【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.10C【解析】解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集的个数为个可得答案.【详解】解：由，得所以集合的真子集个数为个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有个元素的集合，其真子集的个数为个，属于基础题.11A【解析】将fx整理为3sinx+3，根据x的范围可求得x+33,+3；根据f0=32，结合fx的值域和sinx的图象，可知2+323，解不等式求得结果.【详解】fx=sinx+6+cos

10、x=sinxcos6+cosxsin6+cosx=32sinx+32cosx=3sinx+3当x0,时，x+33,+3又f0=3sin3=32，3sin23=32，3sin2=3由fx在0,上的值域为32,3 2+323解得：16,13本题正确选项：A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.12C【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，PABC，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：故选C【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图

11、的表面积，判断几何体的形状是解题的关键二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值【详解】解：设点，其中，由，可设，导数为，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1故答案为：1【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题14【解析】由自变量所在定义域范围，代入对应解析式，再由对数加

12、减法运算法则与对数恒等式关系分别求值再相加，即为答案.【详解】因为函数，则因为，则故故答案为：【点睛】本题考查分段函数求值，属于简单题.15【解析】设等差数列的公差为，根据，且，可得，解得，进而得出结论.【详解】设公差为，因为，所以，所以，所以 故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式、需熟记公式，属于基础题.16【解析】由等腰三角形及双曲线的对称性可知或,进而利用两点间距离公式求解即可.【详解】由题设双曲线的左、右焦点分别为,因为左、右焦点和点为某个等腰三角形的三个顶点,当时,由可得,等式两边同除可得,解得（舍）；当时,由可得,等式两边同除可得,解得,故答案为:【点睛】本题考查求双

13、曲线的离心率,考查双曲线的几何性质的应用,考查分类讨论思想.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）的极坐标方程为；曲线的直角坐标方程.（2）【解析】(1)消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化，即可求解. (2)解法1：设直线的倾斜角为，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，求得，再把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程，得，得出，利用基本不等式，即可求解；解法2：设直线的极坐标方程为，分别代入曲线，的极坐标方程，得， ，得出，即可基本不等式，即可求解.【详解】(1) 由题曲线的参数方程为（为参数），消去参数，可得曲线的直角坐标方程为

14、，即，则曲线的极坐标方程为，即，又因为曲线的极坐标方程为，即，根据，代入即可求解曲线的直角坐标方程.(2)解法1：设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数，），把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，解得，把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得：，解得，即，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.解法2：设直线的极坐标方程为），代入曲线的极坐标方程，得，把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得：，即，曲线的参，即，当且仅当，即时取等号，故的最小值为.【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程点互化，以及直线参数方程的应用和极坐标方程的应用，其中解答中熟记互化公式

15、，合理应用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18（1）见解析（2）【解析】（1）首先可得，再面面垂直的性质可得平面，即可得到，再由，即可得到线面垂直；（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角；【详解】解：（1），点为的中点，又平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，又，分别为，的中点，又平面，平面，平面.（2）过点做平面的垂线，以为原点，分别以，为，轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，由，得，令，得，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质定理的应用，利用

16、空间向量法求线面角，属于中档题.19（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式及三角形内角和定理，将化简为，求出的值，结合，求出A的值；（2）写出三角形的面积公式，由其最大值为求出.由余弦定理，结合，求出的范围，注意.进而求出周长的范围.【详解】解：（1）整理得解得或(舍去)又；（2）由题意知，又，又周长的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角余弦公式，三角形面积公式，余弦定理的应用，求三角形的周长的范围问题.属于中档题.20（1）存在；详见解析（2）【解析】（1）利用面面平行的性质定理可得，为上靠近点的三等分点，中点，证明平面平面即得；（2）过作交于，可得两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，求

17、出长，写出各点坐标，用向量法求二面角【详解】解：（1）当为上靠近点的三等分点时，满足面.证明如下，取中点，连结.即易得所以面面，即面（2）过作交于面，两两垂直，以分别为轴建立空间直角坐标系，如图，设面法向量，则，即取同理可得面的法向量综上可知锐二面角的余弦值为【点睛】本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角21（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】（1）求导得，由，且，得到，再利用函数在上单调递减论证.（2）根据题意，求导，令，易知； ，易知当时，；当时，函数单调递增，而，又，由零点存在定理得，使得，使得，有从而得证.【详解】（1）依题意，因为，且，故，故函数在上单调递减，故.（2）依题意，令，则；而，可知当时，故函数在上单调递增，故当时，；当时，函数单调递增，而，又，故，使得，故，使得，即函数单调递增，即单调递增；故当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故当时，函数有极小值.【点睛】本题考