水力学系统讲义第二章(1)-水静力学

1、第二章 水静力学主要内容：2-1 静水压强及其特性2-3 重力作用下静水压强的分布规律2-2 液体平衡微分方程及其积分 液体处于平衡状态时，液体质点之间没有相对运动，液体内部不存在切应力； 水静力学的任务: 是研究液体平衡的基本规律及其实际应用。 液体质点间的相互作用是通过压强的形式表现出来的。液体的平衡状态有两种静止状态相对平衡状态2.1.1 静水压强 在静止液体中，围绕某点取一微小受作用面，面积为A，作用于该面上的压力为P，那么平均压强P/A的极限值就定义为该点的静水压强，用符号p表示，其数学表达式为 2.1 静水压强及其特性国际单位制中，静水压强p的单位为Pa（N/m）。2.1.2 静水

2、压强的特性静水压强有两个重要的特性：特性二：静止液体中任一点上各方向压强的大小都相等。（静水压强各向同性）特性一：静水压强的方向沿受作用面的内法线方向。静水压强各向同性证明cos(n,x),cos(n,y),cos(n,z)为斜平面BCD外法线n的方向余弦；dx，dy，dz为四面体ABCD的棱长；dA为斜平面BCD的面积；px，py，pz ，pn分别表示与坐标轴一致的平面和斜面上的平均压强 四面体各面的总压力四面体受力分析四面体ABCD的质量质量力在坐标轴方向的分量为四面体的质量力由力的平衡条件可知，作用于平衡体上的所有外力沿任一坐标轴方向投影的代数和为零 四面体四个表面面积之间的关系注意：同

3、一点上各个方向静水压强的大小是相等的。但不同点的静水压强则不一定相等，故静水压强是位置坐标的函数 2.2 液体平衡微分方程及其积分 液体平衡的微分方程描述的是液体处于平衡状态时作用于液体上各种力之间关系的方程式。 在静止液体中取一个微小六面体，各边长分别为dx、dy、dz，并与相应的坐标轴平行。 液体平衡微分方程表面力X方向：静水压力质量力X方向：根据液体平衡条件，对于X轴有 以 除上式，整理可得同理，对y、z轴方向可推出类似结果，从而可得液体平衡微分方程上式的物理意义为：液体处于平衡状态时，单位质量液体所受的表面力与质量力彼此相等。注意：该方程对于不可压缩液体和可压缩液体均适用。 2.2.2

4、 液体平衡微分方程的积分将液体平衡微分方程中各式依次乘以dx、dy、dz并将它们相加，得 存在某一力势函数(x,y,z)与单位质量力在各坐标轴上的投影X、Y、Z满足以下关系： 左边是连续函数p(x,y,z)的全微分dp,则 满足上式的质量力称为有势力。 上式即为不可压缩液体平衡微分方程的积分式。 在有势力(x,y,z)的作用下，液体平衡微分方程可以表达为 对于不可压缩液体，密度为常数，上式积分可得 注意：对于处于平衡状态的不可压缩液体（密度为常数），质量力必为有势力。由边界条件确定2.2.3 等压面等压面：静止液体中压强相等的各点所组成的面(平面或曲面)称为等压面。 等压面方程根据等压面的定义

5、dp=0，由液体平衡微分方程式可得 等压面的性质性质1：等压面也是等势面。由 可知当dp=0时，d=0，所以等压面上各点的力势函数也是常数。 性质2：等压面与质量力的方向正交。 证明：设单位质量力f=Xi+Yj+Zk，它与等压面上任意微小线段dl=dxi+dyj+dzk的点积为 由于矢量f与dl都不为零，所以质量力f与等压面上任一微小线段dl互相垂直，即质量力垂直于等压面。根据这一性质，可以通过质量力的方向确定出等压面的形状。 2.3 重力作用下静水压强的分布规律2.3.1 水静力学基本方程质量力只有重力时，作用在单位质量液体上的质量力在各坐标轴上的分量为 当液体的密度为常数时，积分上式后得

6、重力作用下的水静力学基本方程当z=z0时，p=p0,可得 再代入 可得对液体中任意两点有 水静力学基本方程的第二种形式水静力学基本方程的第三种形式在均匀连续介质中，静水压强分布具有如下特点(1) 表面压强p0对液体内部任何点的压强都有影响，也即就是说p0 向液体内部的任何地方传递，即帕斯卡（B.Pascal）定律； (2) 静水压强与水深成正比，并沿水深是按直线规律分布； (3) 当z1=z2时，则p1=p2 ，即在均质连续的静止液体中，水平面是等压面。 (4) 当z1z2时，则p1p2 ，即位置较低点的压强大于位置较高点的压强。 2.3.2 位置水头、压强水头、测压管水头z表示某点位置到基准

7、面的高度，称为位置水头；由重力作用下的水静力学基本方程表示该点压强的液柱高度，称为压强水头。表示测压管液面到基准面的高度，称为测压管水头。注意：以上各项均具有长度量纲；位置水头表示单位重量液体从某一基准面算起所具有的位置势能，简称位能。 位置水头、压强水头、测压管水头的物理意义压强水头表示单位重量液体从压强为大气压强算起所具有的压强势能，简称压能。 测压管水头为位置水头和压强水头之和，它代表了总势能。重力作用下的水静力学基本方程表示就是单位重量液体的势能守恒方程。2.3.3 绝对压强、相对压强、真空度绝对压强：以物理上绝对真空状态下的压强为零点计量的压强称为绝对压强，以pabs表示。 相对压强

8、：以当地大气压强作为零点计量的压强称为相对压强，以pr表示。 注意：绝对压强的数值总是正的； 相对压强pr与绝对压强pabs之间存在如下关系： 真空压强：如果液体中某处的绝对压强小于大气压强，则相对压强为负值，称为负压。负压的绝对值称为真空压强，以pv表示。 真空度：真空压强用水柱高度表示时称为真空度，记为hv。 1个工程大气压的绝对压强为98kN/m2，或10m水柱高。 2.3.4 静水压强图示 依据：注意： 矢线的长短表示压强大小，箭头的方向即压强的方向，垂直于受压面。 水静力学基本方程 静水压强图示以p为横坐标，h为纵坐标。 用相对压强表示的斜面、折面及曲面上的静水压强分布图 例2.3.1