流体动力学理论基础流体运动学

1、流体动力学理论基础流体运动学本章内容 流体运动的描述方法 流场的基本概念 流体运动的质量守恒方程 流体微团的运动三、流体运动的质量守恒方程 连续性、系统和控制体 一维恒定总流的连续性方程 三维流动的连续性方程 在流体力学的研究中，把流体看作是连续介质，即使是在运动流体内部，流体质点也是连续充满所占据的空间，彼此间不会出现空隙。流体的这种性质称为连续性，用数学形式表达出来就是连续性方程，它是物质不灭定律在流体力学中的具体体现，实质上是质量守恒方程。连续性控制体：控制体被流体所流过的，相对于某个坐标系来说，固定不变的任何体积称之为控制体。 控制体的边界面，称之为控制面。 控制面总是封闭表面。 占据

2、控制体的诸流体质点随着时间而改变。控制体边界（控制面）的特点：控制体控制面相对于座标系是固定的。在控制面上可以有质量交换。在控制面上，受到控制体以外物体加在控制体之内物体上的力。在控制面上可以有能量交换。实质：质量守恒连续性方程的微分形式oyxzdmxdmxdxdydzdt时间内x方向：流入质量流出质量净流出质量三维流动的连续性方程同理：dt时间内，控制体总净流出质量：三维流动的连续性方程由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于密度变化而减少的质量，即三维流动的连续性方程恒定流三维流动的连续性方程不可压缩流体有两种二元液流，其流速可表示为： （1）ux= -2y, uy=3x；（2）

3、ux=0, uy=3xy。试问这两种液流是不可压缩流吗？（2）（1）例题四、流体微团的运动 流体质点间的相对运动 流体微团的线变形运动 流体微团的角变形运动 流体微团的旋转运动 流体微团运动的合成流体微团流体微团：流体微团是指体积微小，随流体一起运动的一团流体物质。 包含无数个流体质点。 各流体质点间存在相对位置变化。 能够体现膨胀、变形、转动等尺度变化。流动质点间的相对运动刚体的运动特点平移、转动流动质点间的相对运动流体质点的运动特点 一般情况下，任一流体微元的运动可以分解为三个运动：随同任意极点的平移，对于通过这个极点的瞬时轴的旋转运动以及变形运动。流动质点间的相对运动xyzO亥姆霍兹速度

4、分解定理M0点的运动速度M点的运动速度亥姆霍兹速度分解定理对M点的运动速度采用泰勒级数展开亥姆霍兹速度分解定理在u的表达式中加入得亥姆霍兹速度分解定理在v的表达式中加入得亥姆霍兹速度分解定理M点速度与M0点速度和速度空间变化率平移、线变形、角变形、转动亥姆霍兹速度分解定理流体微团的线变形运动x方向上流体微团的线变形量为同理y方向上流体微团的线变形量为存在各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因流体微团的线变形运动线变形速率：单位时间内流体线的相对伸长。同理流体微团的线变形运动体积变形速率：单位时间内流体微团体积的相对变化。dt时间内流体微团的体积变化量流体微团的线变形运动体积变形速率：体积

5、变形速率等于三个方向线变形速率之和。流体微团的角变形与旋转运动只有角变形只有旋转既有角变形又有旋转存在不在质点连线方向的速度梯度是产生旋转和角变形的原因流体微团的角变形与旋转运动流体微团的旋转运动流体微团的旋转运动旋转角度：流体微团的旋转运动旋转角速度：单位时间内流体微团的旋转角度。同理流体微团的旋转运动旋转角速度的矢量表达式：流体微团的角变形运动流体微团的角变形运动变形角：角变形：流体微团的角变形运动角变形速率：单位时间内流体微团的角度变化。同理流体微团运动的合成平移、线变形、角变形、转动流体微团运动的合成三维情况：矢量形式：涡量及无旋运动涡量：流速场的旋度称为涡量。涡量及无旋运动无旋运动：

6、流场中的流体微团没有旋转运动。区别主要在于流体质点是否绕自身轴旋转与运动轨迹无关。有旋运动及无旋运动的区别有旋运动及无旋运动的区别有旋流：亦称“涡流”。流体微团在运动中不仅发生平动或变形，而且绕着自身的瞬时轴线作旋转运动。无旋流：亦称“势流”、“有势流”。流体在运动中，流体微团只有平动或变形，但不发生旋转运动，即不绕其自身的瞬时轴线作旋转运动。已知流体流动的流速场为 试判断该流动是无旋流还是有旋流。故液体流动是无旋流。例题解：例：平面流场ux=ky，uy=0（k为大于0的常数），分析流场运动特征解：流线方程：线变形：角变形：旋转角速度：xyo（流线是平行与x轴的直线族）（无线变形）（有角变形）

7、（顺时针方向为负）例：速度场ur=0 ，u=b/r（b为常数），流线是以原点为中心的同心圆，此流场是有旋流动还是无旋流动？解：用直角坐标：xyoruxuyup是无旋流（微元平动）小结：流动作有旋运动或无旋运动仅取决于每个流体微元本身是否旋转，与整个流体运动和流体微元运动的轨迹无关。无旋有势1.速度势函数类比：重力场、静电场作功与路径无关势能无旋条件：由全微分理论，无旋条件是某空间位置函数(x,y,z)存在的充要条件函数称为速度势函数，无旋流动必然是有势流动速度势函数由函数的全微分：得：（ 的梯度）2.拉普拉斯方程由不可压缩流体的连续性方程将代入得即拉普拉斯方程为拉普拉斯算子， 称为调和函数不可

8、压缩流体无旋流动的连续性方程注意：只有无旋流动才有速度势函数，它满足拉普拉斯方程3.极坐标形式（二维）不可压缩平面流场满足连续性方程：即：由全微分理论，此条件是某位置函数（x，y）存在的充要条件函数称为流函数有旋、无旋流动都有流函数流函数由函数的全微分： 得：流函数的主要性质：（1）流函数的等值线是流线；证明：流线方程（2）两条流线间通过的流量等于两流函数之差；证明：（3）流线族与等势线族正交；斜率：斜率：等流线等势线利用（2）、（3）可作流网（4）只有无旋流的流函数满足拉普拉斯方程证明：则：将代入也是调和函数得：在无旋流动中例：不可压缩流体，ux=x2y2，uy= 2xy，是否满足连续性方程

9、？是否无旋流？有无速度势函数？是否是调和函数？并写出流函数。解：（1） 满足连续性方程（2） 是无旋流（3）无旋流存在势函数：取（x0，y0）为（0，0）（4） 满足拉普拉斯方程， 是调和函数（5）流函数取（x0，y0）为（0，0）1.均匀平行流速度场（a,b为常数）速度势函数等势线流函数流线uxyo112323几种简单的平面势流当流动方向平行于x轴当流动方向平行于y轴112211222.源流与汇流（用极坐标）（1）源流：1122o34ur源点o是奇点r0 ur速度场速度势函数等势线流函数流线（2）汇流 流量1122o34汇点o是奇点r0 ur（3）环流势涡流（用极坐标）注意：环流是无旋流！速

10、度势函数流函数速度场环流强度逆时针为正1122o34u也满足同理，对无旋流：势流叠加原理势 流 叠 加 原 理（1）半无限物体的绕流（用极坐标）模型：水平匀速直线流与源流的叠加（河水流过桥墩）流函数：速度势函数：即视作水平流与源点o的源流叠加u0S几个常见的势流叠加的例子作流线步骤：找驻点S：将代入（舍去）将代入得驻点的坐标：u0Sors（1）（2）由（2）由（1）将驻点坐标代入流函数，得则通过驻点的流线方程为给出各值，即可由上式画出通过驻点的流线流线以为渐进线外区均匀来流区；内区源的流区（“固化”、半体）（2）等强源汇流（用极坐标直角坐标）模型：源流与汇流叠加（电偶极子）xyoaarr1r2P(x,y)12q-q势函数流函数源流和汇流的叠加当a0，q，2qa常数M偶极流