大学物理矢量基础

1、附录11矢量基础1标量在物理学习中，经常见到一类只具有数值大小（包括有关单位），而不具有方向的一类 物理量，这些物理量之间遵循一般的代数法则，这样的量叫物理标量，简称标量。例如路程、 速率、时间、温度等。标量有正负之分，例如温度，+20r表示冰点以上20C，-20C表示 冰点以下20C，但它并不表示方向。2矢量2.1矢量的表示除了标量，经常见到一类既要由数值大小（包括有关单位），又要由方向才能完全确定 的物理量，它们之间遵循特殊的运算法则，这类物理量叫做物理矢量，简称矢量。例如位移、 力、速度、加速度、动量、电场强度等。矢量一般（印刷时）用黑体表示，如A，但在手写时，为了方便，一般是在字母上加

2、、上矢量符号即可，如*.作图时，用一个带箭头的的线段表示矢量，线段的长度表示矢量的 大小，线段的方向表示矢量的方向.矢量的大小也称为矢量的模，用A或AI表示.在矢量中，有两个特殊矢量，分别为：零矢量和单位矢量零矢量的模为0，方向任意； 单位矢量的模为1，方向与对应矢量方向相同，例如可以用A0表示矢量A的单位矢量，则A = AA0 = |A|A0. 一些特殊的单位矢量的物理意义是约定俗成的，如i，j，k分别表示三 维直角坐标系中n y，乙三个坐标轴上正方向的单位矢量；n，t（t）分表表示自然坐标系 中的法向和切向坐标轴上正方向的单位矢量.如果两个矢量大小相同，方向一致，则这两个矢量相等，如图1.

3、1所示.如果两个矢量 大小相等，方向相反，则这两个矢量互为负矢量，如图1.2所示.图1.1等矢量图1.2负矢量在比较几个矢量之间的关系时，或对他们进行运算时，这些矢量要按照相同的比例来绘 图，且矢量可以在空间中平移，平移后的大小和方向仍保持不变，如图1.3所示.图1.3矢量的平移2.2矢量运算2.2.1矢量的加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.4（。）所示， 则有C = A + B，矢量加法也可以用矢量三角形表示，如图1.40）所示.矢量A的头和矢量B 的尾相接，得矢量C。同理矢量B的头和矢量A的尾相接，也得矢量C,可见，矢量加法和 矢量排列次序无关，即服从

4、交换律A + B = B + A（1.1）如果要求三个矢量A，B，C的和，可先求A + B，再与C相加即可.若以A与B + C 相加，会得同样的结果，如图1.5所示.由图1.5可知，矢量加法也服从结合律.（A + B ）+ C = A +（B + C ）（1.2）(。)(b)图1.5多个矢量的加法矢量加法是几个矢量的合成问题，反之，一个矢量也可以分解为几个矢量，一般为方便 计算，常采用正交分解法.例如把矢量A可以在三维直角坐标系中分解，如图1.6所示.图1.6三维直角坐标系中的矢量由图1.6可知(1.3)则，矢量A的模与夹角余弦值为(1.4)A(1.5)A = %： A2 + A2 + A2c

5、os aA x .A其中a , P和y分别为矢量A的方向角，即矢量A与三个坐标轴方向的夹角，cos acos P和cosy称为矢量A的方向余弦，且有cos2 a + cos2 P + cos2 y = 1.设有三个矢量A，B和C，在直角坐标系中分别表示为A = Ax i + Ayj + A卢，B = B i + B j + B k，C = C i + C j + C k，则三个矢量相加为x y zxy zA + B + C=(A + B+ Z + (a+ B + Z )j +(A+ B + Z(1.6)在矢量的分解中，应注意到分解的不唯一性.2.2.2矢量的减法矢量减法可视为矢量加法的逆运算，

6、即A - B = A +(- B)(1.7)通常(-B)称为矢量B的逆矢量，它的大小和矢量B一样，但方向相反，如图1.7所示.图1.7矢量减法图1.8和矢量为零的几何表示由矢量加减法运算规则可知，如果三个矢量A， B和C头尾相连组成封闭三角形，其 矢量和为零，如图1.8所示。A + B + C = 0(1.8)同理可推断，若多个矢量头尾相连组成封闭的多边形，其矢量和必为零2.2.3矢量的数乘一个标量m和矢量A相乘，则它们的乘积mA仍是一个矢量，该矢量的模等于矢量A的 模与数|m|的乘积，并且平行于矢量A .如果m 0，则它的指向与矢量A相同，如果m 0，则它为零矢量.记为-A .矢量与数量的乘

7、积有下列性质：设A、则它的指向与矢量A相反，如果m = 0，特别地，当m = -1时，mA = (-1)AB为任意矢量，m，n为任意数，则有(1) (m + n )A = mA + nA（2）m（nA）= n（mA）=（mn）A（3）m（A + B）= mA + mB2.2.4矢量的点积两矢量的点积亦称标积，其结果是一个标量 定义为：一个矢量在另一个矢量方向上的 投影与另一矢量模的乘积，可表示为（1.9）A - B = ABcos 6式中0为矢量A和矢量B的夹角，如图1.9所示.图1.9矢量点积的图示由式(1.9)可知，当0 =-时，点积结果为零2因此两非零矢量A和B的正交条件为（1.10）矢

8、量的点乘服从以下运算规律（1）交换律 A - B = B - A，A - A = A2（2）分配律 A （B + C）= A - B + A - C（3）结合律 m（A -B）=（mA）-B = A - （mB）在直角坐标系中， j，k三个单位矢量互相正交，根据点积定义得i - i = j - j = k - k = 1i - j = j - k = k - i = 0于是两矢量的点积可表示为/)/)A - B = U i + A j + A z) B i + B j + B z，x y z x y z=A B + A B + A B说明两矢量的点积等于其对应的分量的乘积之和.（1.11）（1

9、.12）2.2.5矢量的叉积两矢量A和B的叉积亦称矢积，其结果是一个矢量，用矢量C表示，矢量C的大小为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直于矢量A和B构成的平面，其数学表达式为C = A x B(1.13)式中，|C| = AB sin 0，0为矢量A和B的夹角，如图1.10所示.矢量C的方向满足右手螺旋法则，即伸出右手，使大拇指与其余四指垂直，并且都跟手掌在同一个平面内，令四指方向指向矢量A，并沿0方向(小于180)握向矢量B，则大拇指方向即为矢量C的方向.由式(1.13)可以得到非零矢量A和B平行的条件为矢量的叉积符合以下运算规律A x A = 0AxB = -BxA这是因为按右手螺旋法则，从A握向B定出的方向恰好与从B握向A定出的方向相 反，它表明交换律对矢量的叉乘不成立.（3）分配律 A x （B + C）= A x B + A x C（4）结合律 m（A x B =（mA）x B = A x（mB ）对于直角坐标系来说，由矢量积定义可得到单位矢量之间的关系(1.15)i x i = j x j = k x k = 01i x j = -j x i = k , j x k = -k x j = i, k x i = -i x k = j于