多元线性回归模型公式修订版

1、多元线性回归模型公式二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个(多于两个)要素之间也存在着相互影响、相互关联的情况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。(一)多元线性回归模型的建立假设某一因变量y受k个自变量x ,x，,x的影响，其n组观测值为(y ,x ,x，,x)， 1 2 ka 1a 2 akaa = 1,2,.,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：y =g +g x +g x +. + g x + ()a 01 1a2 2 ak ka a式中：p p,., p为待定参数；0, 1 k a为随机变量。如果b , b ，,b分别为P , P , P ., P的拟合值，则回

2、归方程为 01 k012 k=b + b x + b x +. + b x ()01 12 2k k式中：b0为常数；b ,b ，,b称为偏回归系数。12 k偏回归系数b( i = 1,2,.,k)的意义是，当其他自变量x ( j卫i)都固定时，自变量x每变化一 iji个单位而使因变量y平均改变的数值。根据最小二乘法原理，P i( i = 0,1,2,.,k)的估计值气(i = 0,1,2,.,k)应该使Q =孔k aa=1 y -G + b x + b x +. + b xa 01 1a2 2 ak kaa = 1T min()有求极值的必要条件得db6Q 疔=2 Jdbj=-2 f y 项

3、k a a jf a=1、k ya -习a=1xja= 0( j = 1,2,., k)()将方程组()式展开整理后得:nb +(. )b +(. )b +. + (. )b=y TOC o 1-5 h z 01a12 a 2ka kaV 寸1寸1a=1 V(乙x )b + (乙x2 )b + (乙x x )b +. 尤尤 )b =乙x y1a 01a 11a 2a21a ka k1a a（）=!幻an=1砂(乙 x)b+(乙 xx)bx2 )b +. +(乙xx )b =2Lxy2a 01a 2a12a22a ka k2a aa = 1a = 1a = 1a = 1a = 1xyka kka

4、 aa = 1a = 1(Ex)b +(Exx )b +(Exx )b +. + (Ex2)b=Eka 01a ka 12a ka 2方程组（）式，被称为正规方程组。a = 1a = 1a = 1如果引入一下向量和矩阵：则正规方程组（）式可以进一步写成矩阵形式Ab = B(3.2.15)求解（3.2.15）式可得:b = A-1B = （XtX）-1 XtY （）如果引入记号：则正规方程组也可以写成：L b + L b +. + L b = L11 112 21k k1 yL b +L b +.+L b = L21 122 22k k2 y （3.2.15）L b + L b +. + L b

5、 = L k1 1- k22 kk k 奴b = y 一b x 一b x 一.一b x、01 12 2k k（二）多元线性回归模型的显着性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显着性检验。与前面的一 元线性回归分析一样，因变量y的观测值y ,y，,y之间的波动或差异，是由两个因素引起的，12 n是由于自变量x ,x，,x的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起的。为了从y的离12 k差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和st或（L）分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以按公 式计算，而剩余平方和为以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回归平 方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归分析中，各 平方和的自