辽宁省葫芦岛市第八2021-2022学年高三六校第一次联考数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回2答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符4作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

2、要求的。1一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么B，C两点间的距离是（ ）A6 海里B6海里C8海里D8海里2若函数在处取得极值2，则（ ）A-3B3C-2D23已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，过点的动直线与抛物线交于两点，为坐标原点，抛物线的准线与轴的交点为.给出下列四个命题：在抛物线上满足条件的点仅有一个；若是抛物线准线上一动点，则的最小值为；无论过点的直线在什么位置，总有；若点在抛物线准线上的射影为，则三点在同一条直线上.其中所有正确

3、命题的个数为（ ）A1B2C3D44已知公差不为0的等差数列的前项的和为，且成等比数列，则（ ）A56B72C88D405已知，则（ ）ABCD26己知集合，则（ ）ABCD 7过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ）ABCD8函数在上单调递减，且是偶函数，若 ，则 的取值范围是（）A（2，+）B（，1）（2，+）C（1，2）D（，1）9为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度10如图，在等腰梯形中，为的中点，将与分别沿、向上折起，使、重合为点，则三棱锥的外接球的体积是

4、（ ）ABCD11已知函数的一条切线为，则的最小值为（ ）ABCD12记等差数列的公差为，前项和为.若，则（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数：_14某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有_种.15（5分）函数的定义域是_16函数与的图象上存在关于轴的对称点，则实数的取值范围为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在多面体中，

5、四边形是菱形，平面，是的中点.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值.18（12分）已知抛物线的顶点为原点，其焦点关于直线的对称点为，且.若点为的准线上的任意一点，过点作的两条切线，其中为切点.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线恒过定点，并求面积的最小值.19（12分）如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆都过点，中心都在坐标原点，且椭圆与的离心率均为（）求椭圆与椭圆的标准方程；（）过点M的互相垂直的两直线分别与，交于点A，B（点A、B不同于点M），当的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值.20（12分）如图，在中，已知，为线段的中点，是由绕直线旋转而成，记二面角的

6、大小为.（1）当平面平面时，求的值；（2）当时，求二面角的余弦值.21（12分）已知函数.（1）当时，判断在上的单调性并加以证明；（2）若，求的取值范围.22（10分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.（1）求的极值点与极值.（2）当，时，证明：.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：BAC704030.ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512.在ABC中，由正弦定理得

7、，即，.故选：A.【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.2A【解析】对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.3C【解析】：由抛物线的定义可知，从而可求 的坐标；：做关于准线的对称点为，通过分析可知当三点共线时取最小值，由两点间的距离公式，可求此时最小值；：设出直线方程，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理，可知焦点坐标的关系，进而可求，从而可判断出的关系；：计算直线 的斜率之差，可得两直线斜率相等

8、，进而可判断三点在同一条直线上.【详解】解：对于，设，由抛物线的方程得，则， 故，所以或，所以满足条件的点有二个，故不正确； 对于，不妨设，则关于准线的对称点为， 故，当且仅当三点共线时等号成立，故正确； 对于，由题意知， ，且的斜率不为0，则设方程为：，设与抛物线的交点坐标为，联立直线与抛物线的方程为， ，整理得，则，所以， 则.故的倾斜角互补，所以，故正确.对于，由题意知 ，由知，则 ，由，知，即三点在同一条直线上，故正确.故选:C.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，考查了直线方程，考查了两点的斜率公式.本题的难点在于第二个命题，结合初中的“

9、饮马问题”分析出何时取最小值.4B【解析】，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可.【详解】由已知，故，解得或（舍），故，.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.5B【解析】结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由，以及，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.6C【解析】先化简，再求.【详解】因为，又因为，所以，故选：C.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题.7C【解析】作，；，由题意，由二倍

10、角公式即得解.【详解】由题意，准线：，作，；，设，故，.故选：C【点睛】本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.8B【解析】根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意，函数 满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。9D【解析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右

11、平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.10A【解析】由题意等腰梯形中的三个三角形都是等边三角形，折叠成的三棱锥是正四面体，易求得其外接球半径，得球体积【详解】由题意等腰梯形中，又，是靠边三角形，从而可得，折叠后三棱锥是棱长为1的正四面体，设是的中心，则平面，外接球球心必在高上，设外接球半径为，即，解得，球体积为故选：A【点睛】本题考查求球的体积，解题关键是由已知条件确定折叠成的三棱锥是正四面体11A【解析】求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.【详解】，则，取，故，.故，故，.设，取

12、，解得.故函数在上单调递减，在上单调递增，故.故选：.【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.12C【解析】由，和，可求得，从而求得和，再验证选项.【详解】因为，所以解得，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13231,321,301,1【解析】分个位数字是1、3两种情况讨论，即得解【详解】0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有：（1）当个位数字是1时，数字可以是231,321,301；（2）当个位数字是3

13、时数字可以是1故答案为：231,321,301，1【点睛】本题考查了分类计数法的应用，考查了学生分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.14156【解析】先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数.【详解】安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有种，刘老师和王老师分配到一个班，共有种，所以种.故答案为：.【点睛】本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.15【解析】要使函数有意义，则，即，解得，故函数的定义域是16【

14、解析】先求得与关于轴对称的函数，将问题转化为与的图象有交点，即方程有解.对分成三种情况进行分类讨论，由此求得实数的取值范围.【详解】因为关于轴对称的函数为，因为函数与的图象上存在关于轴的对称点，所以与的图象有交点，方程有解.时符合题意.时转化为有解，即，的图象有交点，是过定点的直线，其斜率为，若，则函数与的图象必有交点，满足题意；若，设，相切时，切点的坐标为，则，解得，切线斜率为，由图可知，当，即时，的图象有交点，此时，与的图象有交点，函数与的图象上存在关于轴的对称点，综上可得，实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数的零点以及对称性，函数与方程等基础知识，考查学生分

15、析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想和应用意识.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 ()详见解析；()【解析】试题分析：（）连接交于，得，所以面，又 ，得面，即可利用面面平行的判定定理，证得结论；（）如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求的平面的一个法向量 ，利用向量和向量夹角公式，即可求解与平面所成角的正弦值试题解析：（）连接BD交AC于O，易知O是BD的中点，故OG/BE，BE面BEF，OG在面BEF外，所以OG/面BEF；又EF/AC，AC在面BEF外，AC/面BEF，又AC与OG相交于点O，面ACG有两条相交直线与面BEF平行

16、，故面ACG面BEF；（）如图，以O为坐标原点，分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则， ， ， ，设面ABF的法向量为，依题意有，令，直线AD与面ABF成的角的正弦值是 18（1）（2）见解析，最小值为4【解析】（1）根据焦点到直线的距离列方程，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）设出的坐标，利用导数求得切线的方程，由此判断出直线恒过抛物线焦点.求得三角形面积的表达式，进而求得面积的最小值.【详解】（1）依题意，解得 （负根舍去）抛物线的方程为（2）设点，由，即，得抛物线在点处的切线的方程为，即，点在切线上，同理，综合、得，点的坐标都满足方程.即直线恒过抛物线焦点当时，

17、此时，可知：当，此时直线直线的斜率为，得于是，而把直线代入中消去得，即：当时，最小，且最小值为4【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查抛物线方程的求法，考查抛物线的切线方程的求法，考查直线过定点问题，考查抛物线中三角形面积的最值的求法，考查运算求解能力，属于难题.19（1），（2）【解析】分析：(1)根据题的条件，得到对应的椭圆的上顶点，即可以求得椭圆中相应的参数，结合椭圆的离心率的大小，求得相应的参数，从而求得椭圆的方程；(2)设出一条直线的方程，与椭圆的方程联立，消元，利用求根公式求得对应点的坐标，进一步求得向量的坐标，将S表示为关于k的函数关系，从眼角函数的角度去求最值，从而求得

18、结果.详解：（）依题意得对：，得：； 同理：. （）设直线的斜率分别为，则MA：，与椭圆方程联立得： ，得，得,，所以同理可得.所以,从而可以求得因为，所以，不妨设，所以当最大时，此时两直线MA，MB斜率的比值.点睛：该题考查的是有关椭圆与直线的综合题，在解题的过程中，注意椭圆的对称性，以及其特殊性，与y轴的交点即为椭圆的上顶点，结合椭圆焦点所在轴，得到相应的参数的值，再者就是应用离心率的大小找参数之间的关系，在研究直线与椭圆相交的问题时，首先设出直线的方程，与椭圆的方程联立，求得结果，注意从函数的角度研究问题.20 (1) ;(2).【解析】(1)平面平面,建立坐标系，根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】(1) 如图，以为原点，在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴，建立空间直角坐标系，则，设为平面的一个法向量,由得,取,则因为平面的一个法向量为由平面平面，得所以即.(2) 设二面角的大小为，当平面的一个法向量为,综上,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角, 平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.21（1）在为增函数；证明见解析（2）【解析】（1）令，求出，可推得，故在为增函