第七章线性离散系统的设计和校正

1、第七章线性离散系统的分析与校正学习目的由于数字技术的迅速发展，特别是计算机技术的发展，数字控制在许多场合取代了模拟控制器，作为分析与设计数字控制系统的理论基础，离散系统控制理论发展也非常迅速。离散控制系统与连续控制系统既有本质上的不同，又有分析研究方面的相似性，利用z变换法研究离散系统，可以把连续系统中的许多概念和方法推广到线性离散系统。通过本章学习，使学生建立有关离散控制系统的概念，掌握数字控制中采样和保持这二个信号变换过程及数学描述，了解z变换理论，建立离散系统的数学模型，掌握离散系统的分析和校正方法。学习要点1、采样过程的数学描述和香农采样定理2、信号保持过程零阶保持器3、z变换理论4、

2、离散系统的数学模型脉冲传递函数5、离散系统的稳定性与稳态误差6、离散系统的动态分析7、最少拍系统设计教学内容11、离散系统概念2、采样过程分析采样过程数学模型，香农采样定理3、信号保持，零阶保持器4、z变换理论z变换、z反变换、z变换性质5、差分方程6、离散系统的数学模型7、脉冲传递函数教学内容28、离散系统的稳定性与稳态误差s域到z域的映射，离散系统稳定的充分必要条件，离散系统稳定判据，离散系统的稳态误差，系统类别与静态误差系数。9、动态性能分析10、最少拍系统设计11、无纹波最少拍系统设计要求与学时1、掌握采样过程的数学描述2、z变换理论3、脉冲传递函数概念4、离散系统分析稳定性、稳态误差

3、、动态性能5、最少拍系统设计6、教学学时：12学时第七章第一次课1、离散控制系统的概念2、离散系统中的二个特殊部件：采样器和保持器3、采样过程的数学描述：4、采样信号频谱分析：5、香农采样定理：6、零阶保持器：作业题：71第七章第二次课1、z变换定义2、z变换方法：级数求和法、部分分式法、查表法3、z变换性质：线性定理、实数位移定理、终值定理4、z反变换：部分分式法、幂级数法、反演法作业题：72（1）（3）、73（1）、74（1）、75（1）第七章第三次课1、补充有关差分方程的定义2、差分方程求解：迭代法、用实数位移定理求解3、脉冲传递函数定义4、开环脉冲传递函数5、闭环脉冲传递函数作业题：7

4、8（1）（3）、79、710（a）（b）第七章第四次课离散系统的稳定性与稳态误差1、从s域到z域的映射关系等线映射等线映射等线映射2、离散系统稳定的充分必要条件3、离散系统稳定判据：变换后的劳斯判据作业题：715（1）（3）、716第七章第五次课1、离散系统系统的静态误差系数位置误差系数速度误差系数加速度误差系数3、离散系统动态性能分析第七章第六次课离散系统的数字校正1、数字控制器的脉冲传递函数2、最少拍系统设计3、无纹波最少拍系统设计概念7-1离散系统的基本概念1一、什么是离散系统？如果控制系统中所有信号都是时间变量的函数，一旦函数关系确定后，则全部时间上的函数值都是可确定的，这样的系统称为

5、连续时间系统。如果系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。7-1离散系统的基本概念2信号在特定的离散瞬时是时间的函数在这区间都是未知的二、离散系统的特点：信号在特定的离散瞬时是时间的函数。离散系统与连续系统相比，既有本质上的不同，又有分析方面的相似性。不同点：连续信号离散信号相似点：稳定性动态过程稳态误差分析7-1离散系统的基本概念3三、分析方法：对于连续系统，采用时域复域频域分析方法，基础是传递函数，拉氏变换。如果直接用连续系统的分析方法来分析离散系统，则会产生所谓的“超越方程”不便于直接求解和分析。对于离散系统分析，是利用Z变换方法处理后，可以把连

6、续系统中的许多概念推广到线性离散系统。7-1离散系统的基本概念4四、采样控制系统和数字控制系统离散控制系统又可以分为采样控制系统和数字控制系统。1、采样控制系统：如果系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散信号，称为采样控制系统或脉冲控制系统。2、数字控制系统：如果系统中的离散信号是数字序列形式的离散信号，称为数字控制系统或计算机控制系统。7-1离散系统的基本概念5五、采样控制系统采样控制系统中不仅有模拟部件，还有脉冲部件，通常测量元件、执行元件和被控对像是模拟元件，其输入和输出是连续信号，而控制器中的脉冲元件，其输入和输出为脉冲序列。采样：将模拟信号按一定时间间隔循环进行取值从而得到按时间顺序排

7、列的一串离散信号的过程称为采样。7-1离散系统的基本概念6 在信号传递通路中加一个控制开关k，k在规定的时间闭合、断开。当k闭合时，r(t)被接入控制电路，而k断开时，r(t)被切除，则在开关的输出端得到一串幅值为r(t)的脉冲信号，用r*(t)表示。G(s)c*(t)r*(t)kr(t)7-1离散系统的基本概念7 采样系统是对来自传感器的连续信号在某些规定的时间瞬时上取值。如果在有规律的间隔上收到离散信号，则称为周期采样（采样间隔是相等的），T为采样周期，每次采样持续时间为如果信息之间的间隔是时变的或随机的，则称为非周期性采样或随机采样。如果系统中有几个采样器，则它们应该是同步等周期的。7-

8、1离散系统的基本概念8因为在采样控制系统中传递着二种信号，连续信号和脉冲序列，为了使二种信号在系统中能相互传递，在连续信号和脉冲序列之间要用采样器（将连续信号变成脉冲序列），而在脉冲序列和连续信号之间要用保持器（将脉冲序列变成连续信号）。采样器和保持器是采样控制系统中的二个特殊环节。7-1离散系统的基本概念91、信号的采样和复现连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样。实现采样的装置称为采样器，或称为采样开关。T：表示采样周期，单位是s；fs：表示采样频率，单位是1/s； fs1/Ts：表示采样角频率，单位是rad/s； s2 fs 2/T因为采样开关多为电子开关，闭合时间极短，所以

9、采样持续时间远小于采样周期T，也远小于系统连续部分的最大时间常数。 为了简化分析，可以认为0，即可以把采样电路的输出近似看成一串强度等于矩形脉冲面积的理想脉冲e*(t)。7-1离散系统的基本概念10te*(t)A(t)Tte*(t)T矩形面积：s=A(t) ：脉冲宽度A(t)：幅度理想化后： 0由脉冲函数定义，在00+脉冲高度B(t)可视为不变数。而所以：B(t)= A(t)f(t)= A(t) (t)=B(t) (t)B(t):脉冲强度f(t):采样函数7-1离散系统的基本概念11在采样控制系统中，把脉冲序列转变为连续信号的过程称为复现过程，实现复现的装置叫保持器。保持器的功能：保持器不仅把

10、脉冲序列转变为连续信号，完成两种信号之间的转换，同时还因为采样器输出的脉冲信号e*(t)中含有高频分量，如果不经滤波，则相当于给系统中的连续部分加入了噪声，影响控制质量，因此需要在采样器后加一个信号复现滤波器。 最简单的复现滤波器由保持器实现。7-1离散系统的基本概念12te*(t)te*(t)保持器输入信号保持器输出信号 保持器可把脉冲信号e*(t)复现为阶梯信号eh(t) 当采样频率足够高时，eh(t)接近于连续信号7-1离散系统的基本概念132、采样系统的典型结构图根据采样器在系统中所处的位置不同，可以构成各种采样系统。a.开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外，或系统本身不存在闭合回

11、路。b.闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。而在实践中用得最多的是：误差采样控制的闭环系统。Gh(s)Gp(s)H(s)Se(t)e*(t)eh(t)c(t)r(t)误差采样：采样开关设在误差比较点之后。s:采样开关，0Gh(s)：保持器传递函数， Gp(s):被控制对象传递函数H(s):反馈元件传递函数7-1离散系统的基本概念14数字控制系统中的连续信号和数字信号的转变是由A/D、D/A转换器完成的。A/D、D/A转换器是计算机控制系统中的两个特殊环节。六、数字控制系统7-1离散系统的基本概念15七、离散控制系统的特点采样和数字控制技术与连续系统相比有以下特性：1、由数字计算机构成的数

12、字校正装置效果比连续校正装置好，而且由软件实现的控制规律、易于改变，控制灵活。2、数字信号传递可以有效地抑制噪声，提高系统的抗干扰能力。3、提高系统的控制精度。4、可以用一台计算机分时控制若干个系统，提高设备的利用率。7-1离散系统的基本概念16八、离散控制系统的研究方法连续系统用微分方程、传递函数、频率特性建立数学模型，而离散系统采用z变换法建立离散系统的数学模型。通过z变换处理后的离散系统，可以把用于连续系统中的许多方法，如稳定性分析、稳态误差计算、时间响应分析以及系统校正方法等经适当等效变换后，直接用于离散系统的分析和设计中。7-2信号的采样与保持1在离散系统中，一方面要把连续信号变成脉

13、冲信号，以供数字控制器使用，另一方面，为了控制系统中的连续元部件，又需要使用保持器将脉冲信号变成连续信号。7-2信号的采样与保持2e(t)te*(t)tT+T一、采样过程：采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关来表示，采样器每隔T秒闭合一次，闭合时间为，采样器的输入e(t)为连续信号，输出e*(t)为宽度等于的调幅脉冲序列e(tn)在t=0时，s闭合秒，此时e*(t) e(t)在t=后，s打开，此时e*(t) 0在t=T秒时， s又闭合秒， e*(t) e(t)7-2信号的采样与保持3由于很小， T，所以连续信号e(t)在时间内变化很小，t=tn时刻的值e(tn)可以用高为e(nT)、宽为的单

14、位脉冲近似表示。t-nTt-nT-e(tn)=e(nT)1(t-nT)-1(t-nT-) n=0,1,21(t-nT)-1(t-nT-)表示高度为1，宽为的矩形脉冲。7-2信号的采样与保持4所以，e(t) 经采样以后的脉冲序列可表示为：由于很小，可以认为0,则有1(t-nT)-1(t-nT-)=(t-nT)说明： 1(t-nT)-1(t-nT-)是高为1，宽为，面积为的矩形脉冲而(t-nT)为t-nT处的单位脉冲函数（）函数。所以，上式左边1=；上式右边是强度为的脉冲函数。7-2信号的采样与保持5由于为定值，为了讨论方便起见，把归到采样器以后的系统中去考虑。令理想采样器的输出信号为：式中，e(

15、nT)是连续信号有t=tn时的值。7-2信号的采样与保持6二、采样过程的数学描述：1、采样信号的Laplace变换，对e*(t)进行Laplace变换由位移定理：7-2信号的采样与保持7所以，说明，(t)函数仅在0，0起作用，而t0时，e-st=1采样信号的Laplace变换形式。注意，e(nT)与e-nTs的区别， e(nT)是连续信号在t=tn时的值， e-nTs是以s为变量的指数函数。7-2信号的采样与保持8例1：设连续信号为e(t)=1(t)，求脉冲序列e*(t)的Laplace变换。解：上式是一个等比数列，公比为：q=e-Ts，而e-Ts1，由无穷递减等比数列求和公式：7-2信号的采

16、样与保持9例2：设e(t)=e-att0a为常数，求E*(s)解：用nT代替e(t)中的t，则有：上式无穷递减等比数列的公比为：e-T(a+s)7-2信号的采样与保持10设：e(t)=e-t-e-2tt0求E*(s)解：e(nT)e-nTs=e-nT-e-2nTe-nTs=e-nT(1+s)- e-nT(2+s) 7-2信号的采样与保持112、采样信号的频谱由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息（在采样间隔有信号丢失），所以采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发生变化，那么连续信号E(s)与采样信号E*(s)之间有什么关系呢？(t-nT)是单位脉冲序列，是一个周期函数，研究频谱问题一般

17、是取付氏级数展开，得：s：采样角频率7-2信号的采样与保持12对上式取Laplace变换：由Laplace变换位移性质，取式中f(t)=e(t)，ajns由于n从到，为了与书上统一起见7-2信号的采样与保持14在中，如果n=0,则：式中，E(j)为原函数e(t)的频谱，而E*(j)为采样信号e*(t)的频谱。一般连续信号的频谱E(j)为单一的连续频谱，设它的最高角频率为h，则采样信号e*(t)的频谱E*(j)是以采样角频率s为周期的无穷个频谱之和。7-2信号的采样与保持15h-h0s2s3s-3s-2s-sh-h0E*(j)与E(j)的形状一至，但在幅值上变化了1/T倍。如图其中，n=0就是原

18、函数的频谱，但幅值为原来的1/T，称为采样频谱的主分量，而其余频谱都是采样而引起的高频频谱，称为采样频谱的补分量。7-2信号的采样与保持16如果E*(j)频谱中的各个波形不重叠，相互间隔一定的频率（距离）即：（采样频率2倍的E (j)最高频率）0h-hs-s2s-2s在这种情况下，则可以用理想滤波器把h的高频分量全部滤掉，在E*(j)中只保留下1/T E (j)部分，原信号通过采样后仍可毫无畸变地复现出来。7-2信号的采样与保持17如果加大采样周期和T，则采样角频率s相应减小(s=1/T)，当s 2h时，采样频率中的补分量相互交迭，在这种情况下，用理想的滤波器也无法恢复原来的连续信号的频谱。0

19、h-hs-s2s-2s所以，为了使采样后的脉冲序列频谱互不重叠，采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的二倍。这样才有可能通过理想滤波器把原信号毫无畸变地恢复过来这就是香农采样定理。7-2信号的采样与保持13T(t) =s=2/T为采样角频率,Cn是傅氏系数,其值为：T(t) =连续信号的频谱为采样信号的频谱为h-h0h-h0s2s3s-3s-2s-sh-h0s-sh-h0s2s3s-3s-2s-ss = 2h滤波器的宽度满足什么条件时能从得到?!s 2h或：T/h附：采样定理 假设连续信号 不包含任何大于 的频率分量，则Shannon采样定理可描述为： 若 （式中： 为采样周期， 相当于

20、连续信号 的频谱），则信号 可以完整地从采样信号 恢复过来。7-2信号的采样与保持18所以，采样频率不能太低，否则信息损失太多，原信号不能准确恢复，但采样频率也不能太高，否则实现起来会有困难。根据香农采样定理，采样周期(T)和角频率(s)与原信号最高角频率(h)的关系为:7-2信号的采样与保持19三、信号保持：把数字信号转换为连续信号的装置称为保持器。连续信号经过采样开关以后，其离散信号的频谱中除了频谱主分量外，还存频谱的补分量。这些频谱的补分量在系统中相当于高频干扰信号，为了除去这些高频分量，恢复和重现原来的连续信号，需要用低通滤波器。理想的滤波器特性01G(j )7-2信号的采样与保持20

21、02/s-2/s采样信号经过理想滤波器G(j)E*(j)E*1(j)对于理想滤波器，当：所以，经过理想滤波器以后，E*1(j)与连续信号E(j)在形状上完全一样，但幅值上相差1/T（见上图）。这可在系统中增加放大器来解决。因为采样后的脉冲序列：7-2信号的采样与保持21实际上，理想滤波器是做不到的，通常用低通滤波器作保持电路，工程实践中，普遍采用零阶保持器。3、零阶保持器 零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，其传递函数为零阶保持器的数学表达式：e(nT+t)=e(nt)式中， nT为采样时刻； t为本次采样时间与下次采样之间的某一个时间值。7-2信号的采样与保持22

22、 由零阶保持器的数学表达式表明，零阶保持器能把采样时刻nT的采样值恒定不变地保持到下一采样时间(n+1)T，从而使采样信号e*(t)变成阶梯信号eh(t)。如图7-2信号的采样与保持23由于保持器的输出是一个宽度为T，高度为e(nT)的脉冲信号，所以它可以用二个单位阶跃信号来模拟。eh(t)=e(nT)1(t-nT)1(t-nT-T)e(nT)nT(n+1)Te(nT)|e(nT)|对于全部的输出信号，则有7-2信号的采样与保持24对于全部的输出信号：取Laplace变换，由位移性质：保持器E(s)eh(s)E*(s)：保持器的输入Eh(s)：保持器的输出7-2信号的采样与保持25保持器将离散

23、信号转换为连续信号，近似重现作用在采样器上的信号。 零阶保持器将采样信号转变成在两个连续采样瞬时之间保持常量的信号，其传递函数为附：零阶保持器T=0.4T=0.8T=0.2T=37-2信号的采样与保持26令：s=j，并使用欧拉公式7-2信号的采样与保持27s2s3sT-2-3相频幅频零阶保持器的幅频特性相频特性由极限当0时，7-2信号的采样与保持28由零阶保持器的幅频、相频图，零阶保持器具有如下特性：1、低通特性，由幅频特性，幅值随频率增大而迅速衰减。说明零阶保持器基本上是一个低通滤波器，但它不是理想的滤波器，它的截止频频率有很多个，高频分量仍有部分通过，造成数字控制系统的输出中存在纹波。2、

24、相角迟后特性，由相频特性可见，零阶保持器要产生相角迟后，随着增大，迟后角加大，在s,相角迟后可达180，从而使闭环系统稳定性变差。但与其他高阶保持器相比，零阶保持器相位滞后最小，所以普遍采用零阶保持器。7-3z变换11、z 变换定义在线性连续系统的动态和稳态性能分析中，可以用Laplace变换的方法进行分析，将微分方程化为以s为变量的代数方程。在线性离散系统的性能分析中，采用z变换的方法来分析，将含有e-nTs的超越方程化为线性代数方程。 注：等号两边至少有一个含有未知数的初等超越函数式的方程。如指数方程、对数方程、三角方程、反三角方程等。 具有未知量的对数函数、指数函数、三角函数、反三角函数

25、等的方程。 超越方程一般没有解析解，而只有数值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解来。 matlab是获得数值解的一个最强大的工具。 根据采样信号的Laplace变换：令：zeTs，则：e-nTs=z-n或：E(z)就称为e*(t)的z变换，用Ze*(t)表示。E(z)= Ze*(t)7-3z变换22、z变换方法： z变换常用二种主要方法(1)级数求和法：根据z变换的定义，写成展开式然后求这个无穷级数之和。7-3z变换3例1：求单位阶跃函数e(t)=1(t)的z变换。解：因为：e(t)=1(t)在所有采样时刻上的采样值均为1e(nT)=1 (n=0,1,2,)7-3z变换4例2：设求

26、其z变换因为理想脉冲函数(t-nT)在nT时刻是强度为1的理想脉冲，在其它时刻都为0。由上二例看出，相同的z变换不一定对应于相同的时间连续函数。7-3z变换57-3z变换6(2)部分分式法：利用部分分式法求出z变换时，a、先求出已知连续函数e(t)的Laplace变换E(s)b、将有理分式函数E(s)展开成部分分式之和的形式，而每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z变换是已知的，于是可以方便地求出E(s)函数对应的z变换E(z)。7-3z变换7例4、已知连续函数的Laplaec变换式为：求z变换E(z)。应用例1和例3的结果，7-3z变换87-3z变换9常见的时间函数的z变换表见P322表

27、727-3z变换103、z变换性质(1)线性定理：若E1(z)=Ze1(t)，E2(z)=Ze2(t) 则有：Ze1(t) e2(t)= E1(z) E2(z) Zae(t)=aE(z) 其中a为常数 说明z变换是一种线性变换，满足齐次性和可加性。7-3z变换11(2)实数位移定理平移定理含义：实数位移定理的含义是指整个采样序列在时间轴上左右平移若干采样周期，其中向左平移为超前，向右平移为延迟。如果函数e(t)是可以Laplace变换，其z变换为E(z)。（说明：因为z变换是e*(t)的拉氏变换，所以e(t)必须是能有拉氏变换，才有z变换。）附1：证明z变换滞后定理附1：证明z变换滞后定理由于

28、z变换的单边性（详见P324) 当m0时，e(mT)=0。所以m必定大于0。作变量代换，令m=n附2：证明z变换超前定理令：m=n+k，则，n=0时，m=k；n= 时，m= 附2：证明z变换超前定理作变量代换：令n=m在平移定理中，e(t-kT)是一个延迟函数，是e(t)函数滞后kT时间；e(t+kT)是e(t)超前kT时间。物理意义是：z-k代表时域中的延迟环节，它将采样信号延迟了k个采样周期；zk代表了超前环节，它把采样信号超前了k个采样周期。7-3z变换12实数位移定理是一个重要定理，其作用相当于Laplace变换中的微分和积分定理。应用实数位移定理，可以将描述离散系统的差分方程转换为z

29、域的代数方程。7-3z变换13例6、用实数位移定理求 的z变换，其中a为常数。而原式中k=1,7-3z变换14(3)复数位移定理：若函数e(t)是可以Laplace变换，其z变换为E(z)，则有：证明：由z变换定义含义：采样信号e*(t)乘以指数序列的z变换，等于在e*(t)的z变换表达式E(z)中以取代原算子z。7-3z变换15例7、计算函数的z变换。解：函数可看作e(t)=t，而指数函数是e-at7-3z变换16(4)终值定理：如果函数e(t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值（n=0,1,2,），且极限存在，则函数的终值为在离散系统中，常用终值定理求取稳态误差。7-3z变换1

30、74、z反变换所谓z 反变换，是从已知的z变换表达式E(z)，求相应离散序列e(nT)的过程。记：常用的z反变换方法有三种：部分分式法、幂级数法、留数法。7-3z变换18a、部分分式法：在部分分式法中，考虑到z变换表中的所有z变换函数E(z)在其分子上普遍都有因子“z”，为了便于展开为部分分式后查表，可先按E(z)/z展开，然后将结果的每一项都乘以z，即得到E(z)的部分分式，再将分解后的部分分式的每一项逐一查表，取得相应的信号序列。7-3z变换19例8、设z的变换函数为求其z反变换。注意：z的反变换得到的是采样序列函数e(nT)，而离散信号为：7-3z变换20b、幂级数法如E(z)表示为按z

31、-1升幂排列的二个多项式之比： 注：式中，cn为采样脉冲序列e*(t)的脉冲强度e(nT)。而Z-1z-n=(t-nT)上式是一个无穷多项式之和，但在实际应用中常常只需要计算有限的几项就够了。7-3z变换21例9、设求E(z)的反变换。7-3z变换22c、反演变换法（留数法）采用反演变换法求取z反变换的原因是：当函数E(z)除了有理数外，也可能是超越函数（含esT)，此时无法应用部分分式法和幂级数法来求z反变换，而只能采用反演积分法。而反演积分法对E(z)为有理分式的情况也是适用的。由于E(z)的幂级数展开形式为：函数各级系数E(z)可以看成是z平面上的劳伦级数。级数的各系数e(nT)可以用积

32、分的方法求出，因为在求积分值时要用到柯西留数定理，帮称为留数法。7-3z变换23级数的各级系数e(nT)可表示为：若：E(z)zn-1有n阶重极点zi,则，7-3z变换24例10、已知用留数法求其z反变换。函数E(z)zn-1有二个极点，z1=1; z2=0.57-3z变换257-3z变换265、关于z变换的说明(1)z变换是对连续信号的采样序列进行变换，因此，z变换与原连续时间函数并非一一对应，而只与采样序列相对应。不同的函数，采样规律不同，经采样后e*(t)可以相同，也可以不相同。e1*(t)e1(t)T2T3Te2*(t)e2(t)T2T3T由图，e*1(t)= e*2(t)所以，E1(

33、z)= E2(z)但，e1(t) e2(t)由于e*(t)可以代表采样瞬时具有相同数值的任何连续时间函数e(t),对于任一给定的z变换函数E(z),求出的反变换也不是唯一的。7-3z变换27(2)在大多数工程问题中，是从采样开始计时的，即n0时，e(nT)=0，所以，z变换具有单边性。(3)在大多数工程问题中，z变换都是有存在的。附：差分定理描述连续系统的数学模型是微分方程，而描述离散系统的数学模型是用差分方程。一阶前向差分方程定义为：T(K-1)TkT(K+1)TtX(t)附：差分定理二阶前向差分定义为对一阶差分再进行差分。由一阶差分定义式：对于n阶前向差分则为：附：差分定理一阶后向差分定义

34、为：二阶后向差分定义为：n阶后向差分定义为：7-4离散系统的数学模型1一、差分方程：X(t)tkTx(kT)(t-kT)采样系统如图，当采样系统在时刻k闭合的瞬时，相当于加上了一个高度为x(kT)的脉冲信号。x*(kT)=x(kT)(t-kT)设h(t)为单位脉冲(t)的响应函数，且t0时，h(t)=0,所以，当输入为x(kT)(t-kT)时，由线性电路的齐次性，输出为：h(t-kT)x(kT)。7-4离散系统的数学模型2所以，系统对脉冲序列的响应为：当t=nT时，由采样系统的单边性，当nTkTn时，h(t)=0 nk(2) n是输出脉冲响应时刻，k是输入采样时刻。(3) 由上式导出差分方程。

35、7-4离散系统的数学模型3例11、设连续系统的传递函数为求差分方程。解：因为传递函数的拉氏反变换即为脉冲响应，所以，当t=nT时，h(nT-kT)=nT-kT7-4离散系统的数学模型47-4离散系统的数学模型5由于系统是个二阶系统(G(s)=1/s2)，所以用二阶差分方程来描述。由二阶差分方程的定义，代入相应的关系式：为系统G(s)=1/s2在采样时刻的输入/输出关系：二阶线性差分方程7-4离散系统的数学模型6二、离散系统数学模型 线性离散系统的数学模型有：差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间三种。 本节只介绍差分方程及其解法、脉冲传递函数的基本概念和开环闭环传递函数的建立。7-4离散系统的数

36、学模型7三、线性常系数差分方程及其解法：线性定常离散系统k时刻的输出c(k)，不但与k时刻的输入r(k)有关，而且与k时刻以前的输入r(k-1)、 r(k-1)有关，同时还与k时刻以前的输出c(k1)、c(k2)有关。这种关系可以用n阶后向差分方程来描述：c(k)+a1c(k-1)+a2c(k-2)+an-1c(k-n+1)+anc(k-n)=b0r(k)+b1r(k-1)+b2r(k-1)+bm-1r(k-m+1)+bmr(k-m)式中，nm7-4离散系统的数学模型8线性定常离散系统也可以用n阶前向差分方程来描述：c(k+n)+a1c(k+n-1)+an-1c(k+1)+anc(k)=b0r

37、(k+m)+b1r(k+m-1)+bm-1r(k+1)+bmr(k)7-4离散系统的数学模型9求解差分方程常用迭代法和z变换法1、迭代法：由差分方程、输出初始值，用递推关系，一步一步算出序列脉冲输出。7-4离散系统的数学模型10例12、已知c(k)=r(k)+5c(k-1)-6c(k-2)，输入序列：r(k)1初始条件：c(0)0； c(1)1,求：k=0，1，2的输出脉冲序列c(k)。解：已知：k=0时c(0)=0； k=1时c(1)=1，当取k=2,3,4 时得，c(2)=r(2)+5c(2-1)-6c(2-2)=r(2)+5c(1)-6c(0)=1+5-0=6c(3)=r(3)+5c(3

38、-1)-6c(3-2)=r(3)+5c(2)-6c(1)=1+56-61=25c(4)=r(4)+5c(4-1)-6c(4-2)=r(4)+5c(3)-6c(2)=1+525-66=90对于任一时刻的输出值，都可以用这种方法推出。7-4离散系统的数学模型112、z变换法：利用z变换的实数位移定理，对差分方程两端取z变换，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解c(z)取z反变换，求得c(k)。回顾z变换的实数位移定理：7-4离散系统的数学模型12例13：用z变换法求解下式的二阶差分方程c*(t+2T)+3c*(t+T)+2c*(t)；初始条件：c(0)=0,c(1)=1(T=1)则在Zc(

39、t+2T)中，k=27-4离散系统的数学模型13则在Z3c(t+T)中，k=1而z2c(t)=2c(z)所以，原式z2c(z)-z+3zc(z)+2c(z)=0用部分分式：7-4离散系统的数学模型14当a=-1时，当a=-2时，所以，脉冲序列函数：7-4离散系统的数学模型15四、脉冲传递函数：求差分方程的解，可以提供线性定常离散系统在给定输入序列作用下的输出序列响应特性，但不便于研究系统参数变化对离散系统性能的影响。连续系统的传递函数由拉氏变换导出，离散系统的脉冲传递函数由z变换导出。7-4离散系统的数学模型161、 脉冲传递函数的定义 在零初始条件下，系统输出离散信号的 变换与输入离散信号的

40、 变换之比，即 系统输出脉冲序列为7-4离散系统的数学模型172、脉冲传递函数的求法a、若已知系统的差分方程，则对差分方程进行z变换，即可得脉冲传递函数。例14、差分方程为c(nT)=r(n-k)T，求脉冲传递函数G(z)。解：对差分方程取z 变换，因为，c(z)=Zc(nT)由实数位移定理，由脉冲传递函数定义：7-4离散系统的数学模型18b、已知系统连续部分的传递函数G(s)，则对G(s)进行z变换，可求得G(z)。例14：已知求G(z)解：查表：7-4离散系统的数学模型19 求脉冲传递函数时应注意的问题 ，可简写为 。 表示脉冲传递函数， 表示连续传递函数，但 不是简单地将 中的 换成 得

41、到的。 已知传递函数 ，求脉冲传递函数的步骤为：7-4离散系统的数学模型20 例15 求图示系统的脉冲传递函数 。 例16 求图示系统的脉冲传递函数 。 解 解7-4离散系统的数学模型213、开环系统脉冲传递函数 由于采样系统中的采样开关的数目和位置不同，即使二个开环离散系统的组成环节完全相同(G1(s)、 G2(s)，但求出的开环脉冲传递函数也会截然不同。引用P337，采样拉氏变换的两个重要的性质：采样拉氏变换具有周期性：G*(s)= G*(s+jks) 若采样函数的拉氏变换E*(s)与连续函数的拉氏变换G(s)相乘后再离散化，则E*(s)可以从离散符号中提出来，即：G(s)E*(s)*=G

42、*(s)E*(s)7-4离散系统的数学模型22串联环节的开环系统脉冲传递函数G2(s)G1(s)r(t)r*(t)R(z)d(t)d*(t)D(z)c*(t)C(z)c(t)G1(z)G2(z)G (z)a、串联环节之间有采样开关对于第一个环节，由于前后都有采样开关，其输入为：r*(t)，输出为d*(t)，所以，由脉冲传递函数的定义：(1)7-4离散系统的数学模型23同理，(2)合并（1）、（2）二式，得：推广：n个环节串联，且环节之间均有理想采样开关分隔，那么，总的脉冲传递函数等于各个环节脉冲传递函数之乘积。7-4离散系统的数学模型24b、串联环节之间无采样开关由于G1(s)、G2(s)之间

43、没有采样开关隔开，所以输出的拉氏变换：C(s)=G1(s)G2(s)R*(s)对输出信号C(s)离散化，并应用采样拉氏变换性质C*(s)=G1(s)G2(s)R*(s)*= G1(s)G2(s)* R*(s)= G1G2 *(s)R*(s) 对C*(s)两边取z变换，C(z)=G1G2(z)R(z)7-4离散系统的数学模型25注意：G1G2*(s)G1*(s)G2*(s) G1G2(z) G1(z)G2(z)上式的左边表示二个连续函数相乘以后再离散化，右边表示二个连续函数离散化后相乘。两个环节之间无采样开关隔差时，应先求出乘积G1(s)G2(s)，然后再求G1(s)G2(s)的z变换。这一结论

44、也可以推广到类似几个环节相串连的情况。7-4离散系统的数学模型264、闭环系统脉冲传递函数：闭环系统脉冲传递函数结构图如下：由于离散系统的结构形式不同，且采样开关在系统中的位置也各不相同。因此，这类系统的闭环脉冲传递函数没有一般的计算公式，需根据系统的实际结构来求取。C(s)=G(s)E*(s)而：E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)-H(s)G(s)E*(s)连续信号离散化： E*(s)R*(s)-H(s)G(s)E*(s)*= R*(s)-GH*(s)E*(s)7-4离散系统的数学模型27又C(s)=G(s)E*(s)对E*(s)、C*(s)取z变换得：e(z):误差脉冲传递函数

45、；(z):闭环脉冲传递函数闭环离散系统的特征方程：D(z)=1+GH(z)=0开环离散系统脉冲传递函数GH(z)7-4离散系统的数学模型28请注意：因为(z)随采样开关的位置与数目不同而非唯一，而(s)却是唯一的。7-5离散系统的稳定性与稳态误差1和连续控制系统一样，稳定性和稳态误差也是线性定常离散系统分析的重要内容。离散控制系统的稳定性分析主要是在z域和域中分析。为了把连续系统在s平面上分析稳定性的结果移植到z平面上分析离散系统的稳定性，首先讨论一下s平面与z平面的映射关系。注意二个平面：s平面研究连续系统传递函数的平面。z平面研究离散系统脉冲传递函数的平面。7-5离散系统的稳定性与稳态误差

46、21、s域到z域的映射关系：由z变换定义：因为s是一复变量，在s域中的任意一点表示为s=+j。s域与z域的基本映射关系：7-5离散系统的稳定性与稳态误差3令s平面的实部为零，即=0，相当于取s平面的虚轴，当从-+变化时，z1；z=T1ZReIm主要带主要带次要带次要带当s平面上点沿虚轴从移动到，即：z平面上点沿单位圆从-到逆时针变化一圈。而当s平面上点在虚轴上从移动到时，z平面上点又转一圈。7-5离散系统的稳定性与稳态误差4等线映射：当s平面上为某一定点时，则映射到z平面上的轨迹是以原点为圆心，以半径的圆。由于s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，在左半平面上在右半平面上123所以，左半平面上的等

47、线映射到z平面的同心圆在单位圆内，而右半平面上的等线映射到z平面的同心圆在单位圆外。7-5离散系统的稳定性与稳态误差5等映射：当为某一定值，而变化时，则在z平面上是一条从圆心发出的一条射线，其角度z= T。在s平面上，的水平线在z平面上正好映射为负实轴。- 12 = s/ 2- 1T2Tsz7-5离散系统的稳定性与稳态误差6等线映射：等在s平面上描述为：因为在s平面上，s=+j定义等线为一条与虚轴夹角为的直线。由等线图： -tg ImRes= -tg + j7-5离散系统的稳定性与稳态误差7由这些关系式可见，除0；|z|=1， 90； |z|=0外，对于为某一常数，左半平面的等线映射为z平面上

48、一条单位圆内收敛的对数螺旋线。7-5离散系统的稳定性与稳态误差8有了以上的几个映射关系，现在可以讨论s平面上周期带在z平面上的映射关系：s平面主要带，通过变换，映射为z平面的单位圆以及单位圆内的负实轴。由于周期变化规律，s平面的所有次要带在z平面上均映射为相同的单位圆及单位圆内的负实轴。7-5离散系统的稳定性与稳态误差92、离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定性定义：若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该系统是稳定的。1）时域中离散系统稳定的充要条件：当且仅当差分方程所有特征根的模|ai|1，i=1,2n，则相应的线性定常离散系统是稳定的。2）z域中离散系统稳定的充要条

49、件由z域中离散系统的特征方程式D(z)=1+GH(z)=0，设特征方程的根或闭环脉冲传递函数的极点为z1、z2 zn7-5离散系统的稳定性与稳态误差10由s域到z域的映射关系：s左半平面映射为z平面上的单位圆内，对应稳定区域；s右半平面映射为z平面上的单位圆外，对应不稳定区域；s平面虚轴映射为z平面上的单位圆，对应临界稳定情况。因此，在z域中，离散系统稳定的充要条件是：当且仅当离散系统特征方程D(z)=1+GH(z)=0的全部特征根均分布在z平面上的单位圆内，或者说，所有的特征根的模小于1。 |zi|1，i=1,2n，相应的线性定常离散系统是稳定的，若|zi|1或|ai|=1，则是临界情况，列

50、为不稳定的范畴。 线性连续系统稳定的充要条件是：闭环传递函数的所有极点均位于 的左半平面。7-5离散系统的稳定性与稳态误差11 线性离散系统稳定的充要条件是：闭环脉冲传递函数的所有极点均位于 平面的单位园内。7-5离散系统的稳定性与稳态误差12例17：设离散系统如图试分析其稳定性由特征方程D(z)=1+GH(z)=0得：z2+4.952z+0.368=0解得：z1=-0.076；z2=-4.876因为 |z2|1，所以，该系统是不稳定的。7-5离散系统的稳定性与稳态误差13注意，在上例中如果没有采样开关，则为连续系统，特征方程为：D(s)=1+G(s)H(s)0所以：s2+s+10=0求得特征

51、方程根：s1,2=-0.5j3.12特征根具有负实部，所以连续系统是稳定的。上例说明，无采样器时，二阶连续系统是稳定的，但引入采样器以后，二阶离散系统却有可能变得不稳定。所以采样器的引入一般会降低系统的稳定性。为什么？因为采样间隔有信号损失，如果提高采样频率或降低开环增益，离散系统的稳定性将会得到改善。7-5离散系统的稳定性与稳态误差143、离散系统的稳定判据判断离散系统的稳定性，可通过求解差分方程（|ai|1)，或z域特征方程(|zi|0；所以：当u0时（即平面的右半平面），对应的是x2+y21；正是单位圆外。U0时，对应x2+y21，正是z平面单位圆内。经过以上变换，可将线性定常离散系统的

52、特征方程1+GH(z)=0转换为平面上的特征方程1+GH()=0。7-5离散系统的稳定性与稳态误差18离散系统稳定的充要条件是：特征方程1GH()0的所有根，严格位于左半平面，这种情况正好与s平面上应用劳斯稳定判据情况一样。因此，根据域中的特征方程，系统可以直接应用劳斯判据，判断离散系统的稳定性。7-5离散系统的稳定性与稳态误差19 例14 判断图示闭环离散系统的稳定性。 解上式化简后，得 劳斯表中第一列有一次符号变化，所以有一根位于 右半平面，即对应有一个根位于 平面单位圆之外，系统不稳定。令7-5离散系统的稳定性与稳态误差20讨论采样周期与开环增益对稳定性的影响：在连续系统中，系统的稳定性

53、取决于开环增益k，极点的分布和传输延迟，而在离散系统中，除上述因素外，采样周期T也将影响系统的稳定性。k与T对离散系统的影响如下：1)当采样周期T一定时，加大开环增益k会使离散系统的稳定性变差，甚至使系统不稳定。2)当k一定时，T越长，丢失的信息越多，对离散系统的稳定性及动态性能均不利，甚至可使系统失去稳定。（见例730）7-5离散系统的稳定性与稳态误差214、离散系统的稳态误差在连续系统中，稳态误差的计算有二种方法稳态误差：用拉氏变换终值定理求动态误差：用泰勒级数展开由于离散系统没有唯一的典型结构，所以，误差脉冲传递函数e(z)也给不出一般的计算式。离散系统的稳态误差，需要针对不同形式的离散

54、系统求取。利用z变换的终值定理方法，求误差采样的离散系统在采样瞬间的值误差。7-5离散系统的稳定性与稳态误差22由脉冲误差传递函数的定义：由z变换终值定理：7-5离散系统的稳定性与稳态误差23G(s)r(t)e(t)e*(t)E(z)c(t)c*(t)C(z)例18、图中：T0.1s，当r(t)分别为1(t)和t时，求离散系统的相应稳态误差。代入T0.1误差传递函数：7-5离散系统的稳定性与稳态误差24由上式可以求出系统的特征根：z1,2=0.368j0.482，|z|1，闭环复数极点位于z平面上的单位圆外，有a0，故动态响应ck,k(nT)为振荡发散脉冲序列；闭环共轭复数极点分布与相应动态响

55、应形式见下图。ImRe11附2：闭环复极点分布与相应的动态响应形式7-6离散系统的动态性能分析12 综上所述，离散系统的动态特性与闭环极点的分布密切相关。当闭环实极点位于z平面上左半单位圆内时，由于输出衰减脉冲交替变号，故动态过程质量很差；当闭环复数极点位于z平面上左半单位圆内时，由于输出衰减高频振荡脉冲，故动态过程性能欠佳。因此，在离散系统设计时，应把闭环极点安置在z平面的右半单位圆内，且尽量靠近原点。77离散系统数字校正1直接数字设计法，设离散控制系统如图e*(s)D(z)G(s)H(s)R*(s)R(s)C*(s)c*(s)1、数字控制器的脉冲传函数图中，G(s)是保持器与控制对象，是已

56、知的。D(z)是数字控制器（即校正装置）系统设计就是设计D(z)为了简单起见，设：H(s)=1；G(s)的z变换为G(z)。则闭环脉冲传递函数误差脉冲传递函数77离散系统数字校正2可求出：离散系统的数字校正：根据离散系统性能指标的要求，确定闭环脉冲传递函数(z)，或误差脉冲传递函数e(z)，然后确定D(z)。77离散系统数字校正32、最少拍系统设计：系统在典型信号作用下，能以有限拍结束响应过程，且在采样时刻上无稳态误差的离散系统。由于最少拍系统设计是针对典型信号考虑的，而典型信号的一般表达式：式中，A(z)是不含(1-z-1)因子的z-1多项式。当：r(t)=1(t)时，m1，A(z)=1；r

57、(t)=t时，m=2，A(z)=Tz-1；当：77离散系统数字校正4最少拍系统设计原则：若系统广义被控对象G(z)无延迟且在z平面单位圆上及单位圆外无零点极点，要求选择闭环脉冲传递函数(z)，使系统在典型输入作用下，经过最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定数字控制器D(z)。根据上述原则，写出误差信号的z变换式77离散系统数字校正5用终值定理求出稳态误差：上式表明，要使e()=0，则e(z)中应包含(1-z-1)m因子，设： e(z) (1-z-1)mF(z)F(z)是不含(1-z-1)因子的多项式，为求出的D(z)简单，阶数最低，可取F(z)1

58、。77离散系统数字校正6(1)单位阶跃输入当r(t)=1(t)时，m=1A(z)=1 所以：e(z) (1-z-1)m1-z-1 (z)1e(z)z-1由z变换的定义式：比较上述二式，e(0)=1；而e(1)=e(2)=077离散系统数字校正7所以，最少拍系统只经过一拍便可以完全跟踪单位阶跃输入。T0时，误差e(t)=1T=1时，误差e(1)=0即达到完全跟踪这个系统称为一拍系统，调节时间ts=Te*(t)t0T2T3T4T177离散系统数字校正8(2)单位斜坡输入 为了与R(z)中的(1-z-1)2因子对消，则：e(z)(1-z-1)2当r(t)=t时，m=2A(z)=1 而， (z)1e(

59、z)2z-1z-2所以，e(0)=0,e(1)=1,e(2)=e(3)=0系统只要二拍就可以完全跟踪 Ts=2TT2T3T4Tte*(t)T2T3T77离散系统数字校正9(3)对加速度输入，则选择：(z)=3z-1-3z-2+z-3 ； e(z)=(1-z-1)3同理，可推知最小拍系统经过三拍便可完全跟踪，ts=3T各种典型输入作用下最少拍系统的设计结果见P340表77。最少拍系统的输出为：C(z)=(z)R(z)求出输出脉冲序列可知其动态参数。77离散系统数字校正10讨论：最少拍系统的调节时间，只与所选择的闭环脉冲传递函数(z)的形式有关，而与典型输入信号的形式无关。如针对单位斜坡输入设计的

60、最少拍系统，不论在何种输入形式作用下，系统均为二拍的调节时间。1）从快速性而言，按单位斜坡输入设计的最少拍系统在各种典型输入作用下，其动态过程均为二拍；2）从准确性而言，系统对单位阶跃输入和单位斜坡输入，在采样时刻均无稳态误差，但对单位加速度输入，采样时刻上的稳态误差为常量T2；77离散系统数字校正113）从动态性能而言，系统对单位斜坡输入下的响应性能较好，这是因为系统本身就是针对此而设计的，但系统对单位阶跃输入响应性能较差，有100%的超调量。所以，按某种典型输入设计的最少拍系统适应性较差。4）从平稳性而言，在各种典型输入作用下，进入稳态以后，在非采样时刻，均存在纹波。具体内容详见P340P