二重积分计算-经典课件

1、 二重积分的计算1. 利用直角坐标计算二重积分2. 利用极坐标计算二重积分3.二重积分的变量变换7/23/20221 若 (x,y)0 仍然适用。注意: 为方便，上式也常记为： 积分次序: X -型域 先 y 后 x ; 积分限确定法: “域中一线插”,须用平行 于 y 轴的射线穿插区域 。 说明: 二重积分可化为二次定积分计算;7/23/20222c y d D： 1 (x) x 2 (x)(2) Y型区域xoycdDx= 2(y)x = 1(y)yY型区域的特点：平行于 x 轴且穿过区域内部的直线与区域边界的交点不多于两个。 积分限确定法：注意: 积分次序: Y -型域 ,先 x 后 y

2、; 积分限确定法:“域中一线插”,须用平行于 x 轴的射线穿插区域。7/23/20223注意：二重积分转化为二次积分时，关键在于正确 确定积分限，一定要做到熟练、准确。(5) 利用直角系计算二重积分的步骤 画出积分区域的图形, 求出边界曲线交点坐标； 确定积分限，化为二次定积分； 根据积分区域类型, 确定积分次序； 计算二次积分，即可得出结果.7/23/20224解：X型ox7/23/20225Y型oy7/23/20226例2.解：X-型ox7/23/20227例3. 计算其中D 是抛物线所围成的闭区域. 解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,及直线则 7/23/20228注：若将D视为

3、x - 型，则需对D分割如下图。7/23/20229例4. 计算其中D 是直线 所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D 为 X 型域:先对 x 积分不行, 说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.7/23/202210例5. 交换下列积分顺序解: 积分域由两部分组成:视为Y型区域,则7/23/202211画出积分区域如图xyo231原式练习：改变积分次序解: 积分域由两部分组成:改为 X 型7/23/202212例6. 计算其中D 由所围成.解: 令(如图所示)显然,7/23/2022132. 利用极坐标计算二重积分 当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数

4、它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。例如:7/23/202214直角坐标系与极坐标系下的二重积分关系(1) 直角坐标系与极坐标系的关系。Rxyo2Rxyo2R。RxyoRR-R-R7/23/202215（3）注意： “三换”：被积函数：积分区域：面积元素：坐标变量的转换边界曲线的转换面积元素的转换7/23/202216总结上述：在极坐标系下被积函数：积分区域：面积元素：二重积分化为两个单积分。适合：1.被积函数含有形式的;2.积分区域是圆、环、扇形域的。注意：根据极点在区域外、边界上、区域内把7/23/2022172D1xyo例8. 计算其中解:在极

5、坐标系下原式故7/23/202218例9. 计算其中解:在极坐标系下原式的原函数不是初等函数,故本题无法用直角由于故坐标计算.rO7/23/202219例10. 求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解: 设由对称性可知7/23/202220解例10. 计算双纽线所围成的图形的面积根据对称性有 7/23/202221备选：xyo11解：画出积分区域D如右(X-型)原式原函数求不出！把积分区域D视为Y-型原式7/23/202222解：如图，由曲面方程消去z得立体在xoy面投影区域为xyzo7/23/202223oyxroyxroyxroyxr常用曲线的极坐标曲线：7/23/2022

6、24 三重积分的计算一、三重积分的概念 二、三重积分的计算7/23/202225二、三重积分的计算1. 利用直角坐标计算三重积分方法1 . 投影法 (“先一后二”)方法2 . 截面法 (“先二后一”) 方法3 . 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:7/23/202226zxyx+y+z=10例1.计算其中是由平面x+y+z=1与三个坐标面所围闭区域.解： D: 0 y 1x, 0 x 1 11Dx+y=1 xy7/23/202227例2.计算其中 是由抛物柱面及平面y=0, z=0, 解

7、： D: 0 y , 0 x yxz0D0yx7/23/202228例4.计算其中 是由 z=x2+y2 和 z=1所围成的闭区域.xyz01D(z)1解：D(z): x2+y2zz0, 17/23/202229其中 为三个坐标例6. 计算三重积分所围成的闭区域 .解:面及平面7/23/202230例7. 计算三重积分解: 用“先二后一 ” 7/23/2022312、利用柱面坐标计算三重积分(0 +, 02, z 0 )内部的那部分面积.解：由对称性 A = 4 A1 (A1第一卦限部分）曲面方程 :Dxy : x 2 + y 2 a x, y 0.zyxDxy7/23/202236zyxDx

8、y面积7/23/202237例1. 计算其中 L 是抛物线与点 B (1,1) 之间的一段弧. (P189例1) 解:上点 O (0,0)7/23/202238例2. 计算其中 L 为(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周,方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则（P197例2）路径不同，积分不同！7/23/202239例4. 计算其中L 为上半从 O (0, 0) 到 A (4, 0).解:为了使用格林公式,添加辅助线段它与L 所围原式圆周区域为D,则7/23/202240例

9、5. 验证是某个函数的全微分,并求出这个函数. 证:设则由定理2 可知,存在函数 u(x, y) 使。7/23/202241例1. 计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:Dxyh(P217例1) 7/23/202242例2. 计算其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. (P218例2) 解:设上的部分,则与 原式 = 分别表示 在平面 7/23/202243解根据对称性 思考: 下述解法是否正确:例2.计算球面外侧在的部分. (P226例2) 其中是7/23/2022447/23/202245一、高斯 ( Gauss ) 公式定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数,下面先证:函数 P, Q, R 在面 所围成, 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式)7/23/202246例1. 用Gauss 公式计算其中 为柱面闭域 的整个边界曲面的