[研究生入学考试]工程数学—第一章课件

1、工程数学厦门大学物理与机电工程学院课程介绍教材：高等工程数学 姚仰新、罗家洪、庄楚强，华南理工大学出版社，2007参考书目：数值方法关治、陆金甫，清华大学出版社，2006学时：54 学时成绩：作业（40%）+考勤（10%）+期末（50%）任课教师：张宇锋电子邮箱：数值分析绪论数值分析研究对象、内容与特点数值计算的误差误差定性分析避免误差危害数值分析研究对象工程和科学研究的一般过程发现问题寻找解法问题获解解析解数值解MatLab数值计算结果矿道中移动梯子的问题7 m9 m123两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米，能够转过这个弯的梯子不能超过多长？矿道中移动梯子的问题两个矿道以123

2、度角相交，直道宽7米，斜道宽9米，能够转过这个弯的梯子不能超过多长？w1w2CBAl1l2矿道中移动梯子的问题两个矿道以123度角相交，直道宽7米，斜道宽9米，能够转过这个弯的梯子不能超过多长？数值分析研究对象工程和科学研究中的数值方法发现问题问题获解设计模型算法设计程序编写执行运算数值分析研究对象工程和科学研究中的数值方法发现问题问题获解设计模型算法设计程序编写执行运算求方程求根牛顿法解数值分析研究内容函数数值求解数值微分数值积分常微分方程数值解偏微分方程数值解线性方程组数值解 应用软件：MatLab, Fortran, Origin 数值分析研究特点算筹算盘计算机计算机的应用：加、减、乘、

3、除；逻辑运算；储存量、运算能力有限算法的时空复杂性，收敛性，数值稳定性数值计算的误差数值计算的误差数值计算的误差数值解不等于 解析解 或 精确值 数值解 等于精确值 + 误差 （合理性）误差来源模型误差：在建立数学模型时的 “简单化”导致的误差误差来源模型误差：在建立数学模型时的 “简单化”导致的误差例如：运动中的时钟：经典力学：相对论：误差来源模型误差：在建立数学模型时的 “简单化”导致的误差例如：运动中的时钟：经典力学：相对论：相对论效应导致地球上空运行的GPS卫星时钟每天变快38微秒观测误差：数学模型中的已知参数测量过程产生的误差：工具、方法、观察者误差来源误差来源观测误差：数学模型中的

4、已知参数测量过程产生的误差：工具、方法、观察者误差来源观测误差：数学模型中的已知参数测量过程产生的误差：工具、方法、观察者以上两种误差不在此课程考量范围！误差来源截断误差 ：将数学模型简化为易于求解的问题时产生的误差。误差来源截断误差 ：将数学模型简化为易于求解的问题时产生的误差。误差来源舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。误差来源舍入误差 ：计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这种误差称为舍入误差。以上两种误差是此课程考量内容！误差的度量绝对误差 ：e*,e*=x*-x绝对误差限

5、：*，e* * 相对误差：er*, er* =e*/x=e*/x*相对误差限: r*,r*= */ x* 范例x*x=*r*3.143.141592650.0020.06%3.14163.141592650.0000080.0003%误差的度量有效数字：如果近似值 x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x *的有效数字.误差的度量有效数字：如果近似值 x*的误差限是它某一数位的半个单位，我们就说 x *准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称 x *的有效数字.误差传递范例误差分析重要性：对于算法进

6、行评估误差分析误差分析分部积分误差分析泰勒展开误差分析误差分析nInnIn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.728040.170497.552误差分析误差分析nInnIn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.728040.170497.552积分结果：误差分析误差分析误差分析误差分析误差随计算次数增加而增加误差分析误差随计算次数增加而减小误差分析误差随计算次数增加而减小误差分析误差随计算次数增加而减小误差分析nInnIn00.632150.145510.3

7、67960.126820.264470.112130.207380.103540.170890.0684误差分析nInnIn00.632150.145510.367960.126820.264470.112130.207380.103540.170890.0684nInnIn00.632150.148010.367960.112020.264270.216030.20748-0.728040.170497.552误差分析重要性：对于算法进行评估算法的数值稳定性初始数据的误差在计算中的传递特性避免误差危害要避免除数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。要避免两相近数相减要防止“大数”吃掉小数减少运算次数避免误差危害避免误差危害避免误差危害避免误差危害小结误差分类：模型、观测、截断、舍入误差度量：绝对、相对、有效数字误差传递：一元、多元数值计算的稳定性：误差递增、递减避免误差危害：加、减、乘、除、运算量作业1-1作业1-2利用作业1-1的结果，计算要令的近似值的相对误差限小于0.1%，所需要的最少有效数字位数，并计算在此有效数字下的相对误差。作业1-3