矩形提高知识讲解

1、初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）矩形（提高）【学习目标】.理解矩形的概念.掌握矩形的性质定理与判定定理 .【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（矩形）知识要点】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：是平行四边形；有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：.矩形具有平行四边形的所有性质；.矩形的对角线相等；.矩形的四个角都是直角； TOC o 1-5 h z .矩形是轴对称图形，它有两条对称轴要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意

2、直线可将矩形分成完全全等的两部分 .（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等； 从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等 . 要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.对角线相等的平行四边形是矩形 .有三个角是直角的四边形是矩形 .要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判 定平行四边形是矩形.要点四、直角

3、三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用 （2）学过的直角三角形主要性质有：直角三角形两锐角互余；直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；直角三角形中30。所对的直角边等于余边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质眇 1、如图所示，已知四边形 ABC比矩形， PBCL QCt是等边三角形，且点 P在矩形上方，点 Q在矩形内.求证：（1） /PBA= / PCQ= 30 ; （2）PA=PQ初二数学优质课时训练、专题汇编(附详

4、解)【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于 90 ,利用条件4 PBC和 QCD都是等边三角形， 容易求得/ PBA和/ PCQ度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明PABAPQC(SAS)从而证得 PA= PQ【答案与解析】证明：(1) . 四边形ABCD矩形，/ABC= / BCD= 90 .4PBC和 QCD等边三角形，/PBC= / PCB= Z QCD= 60 ,/PBA= /ABC- / PBG= 30 , / PCD= /BCD- / PCB= 30 . ./ PCQ= / QCD / PCD= 30 ,故/ PBA= / PCQ= 30(2) 四边形ABC皿矩形，

5、AB=DCPBC和 QCD等边三角形，PB=PC, QC= DC= AB. AB =QC / PBA= / PCQ PB=PC. PAg PQCPA = PQ【总结升华】 利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可.举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCW EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A处.(1)求证：BE =BF ；(2)设AE= a, AB= b , BF= c,试猜想a、b、c之间有何等量关系，并给予证明. 【答案】证明：(1)由折叠可得 /BFE =/BFE . AD / BC,ZBEF =/BFE =/BFE ,BE =

6、BF, BE=BF.(2)猜想 a2+b2 =c2.理由：初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）由题意，得 AE=AE=a, AB = AB=b.由(1)知 BE =BF =c.在 AABE 中，. NA=90, AE=a, AB = b, BE=c,2,2a b2、如图所示，矩形ABCM, AG BD相交于O, AE平分/ BAD BC于E, / CA& 15求/ BOE的度数.【思路点拨】 /BOE在 BOE中，易知/ OBE= 30 ,直接求/ BOE有困难，转为考虑证 BO = BE.由AE平分/ BAD可求/ BAE= 45得到 AB= BE,进一步可彳#等边4 AOB有AB= O

7、B证 得 BO= BE【答案与解析】解:四边形ABC虚矩形,/DAB= Z ABC= 90 , AO= - AC； BO= - BD AC= BD.22AO = BOAE 平分/ BAD 1/BA45 .ZAEB= 90 45 =45 =Z BAEBE = AB./CAg15 ,/ BAO 60 . ABO是等边三角形.BO = AB,BE = BQ/ ABO= 60 ./ OBE= 30 .ZBOE=180 -30 -75 .【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形, 因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决.类型二、矩形的判定3、（

8、优质试题？连云港二模）如图,AB=AC , AD=AE , DE=BC ,且/ BAD= / CAE.(1)求证： ABEA ACD ;（2）求证：四边形 BCDE是矩形.DC初二数学优质课时训练、专题汇编(附详解)【思路点拨】(1)利用SAS证得两个三角形全等即可；(2)要证明四边形 BCED为矩形，则要证明四边形 BCED是平行四边形，且对角线相等.【答案与解析】(1)证明：BAD= / CAE , / EAB= / DAC , 在 ABE和 ACD中 AB=AC , / EAB= / DAC , AE=AD ABEA ACD (SAS);(2) ABEACD ,BE=CD , 又 DE=

9、BC ,四边形BCDE为平行四边形. AB=AC ,/ ABC= / ACB ABEA ACD ,/ ABE= / ACD , / EBC= / DCB四边形BCDE为平行四边形， EB / DC ,./ EBC+/ DCB=180 , / EBC= / DCB=90 , 四边形BCDE是矩形.【总结升华】 本题主要考查矩形的判定，证明对角线相等的平行四边形是矩形，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法.举一反三：【变式】(优质试题？云南模拟)如图，已知四边形ABC比平行四边形，并且/A =/D.(1)求证：四边形 ABC皿矩形.(2)点E是AB边的中点，F为AD边上一点，/ 1=2/ 2,若CE

10、=4, CF=5,求DF的长.(1)证明：二四边形 ABCD平行四边形,AB/ CD.ZA +ZD=180 ,又/A =/D,，/A=/D=90 ,四边形ABC虚矩形；初二数学优质课时训练、专题汇编（附详解）(2)解：延长DA CE交于点G四边形ABCD矩形， / DAB4 B=90 , AD/ BG/ GAE=90 , / G=Z ECBE是AB的中点，. AG=BEG = ECB人 I在AAG讶口 BCE中，,GAE =/BAE =BE.AG BCE (AASAG=BC设 DF=X ,则CD2 =CF2 - DF2 =CG2即522-X=82解得:即 DF =5类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BQ CE是ABC两边上白高，G 求证：FG DE.F分别是BG DE的中点.【答案与解析】证明：连接EG DG CE是高，CE AB.在RtCEB中，G是BC的中点,EG = 1 BC,同理 DG= 1 BC.2EG = DG又F是ED的中点,FG DE.【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩