设而不求的导数问题

1、最新高中数学导数培优拔高专题(附经典解析)“设而不求”的导数问题【探究拓展】探究 1：若函数 y f(x)(x R)满足 f(x 2) f(x),且 x 1,1 时，f (x) 1 x2 ,函数g(x) 1gx，x 0,则函数h(x) f (x) g(x)在区间5,10上的零点个数为 1,x 0.15思考：证明：函数h(x)在区间9,10上有且仅有一个零点.探究 2：已知函数 f(x)=1nx+ 2+axa2(其中 a0). x(1)当a=1时，求f(x)的最小值；(2)若xG 1,3时，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.(可以直接单刀直入的方法)对于图像的要求：一开始必须单调递增，否则不

2、成立解：函数f(x)的定义域为(1, +0).,212(x-1)(x+2)a=1 时，f(x)=1nx+ x+x 3, f (x)= -x2+1= x2.当 0 x1 时，f (x)1 时，f (x)0.所以，f(x)在区间(0,1)上为减函数，在区间(1, +8)上为增函数.所以,a=1时，f(x)的最小值为f(1)=0 .22 由(1)当a=1时，f(x)0怛成立，即lnx+ 一+x 3)0恒成立.所以当 x.一_ 2,一.2_ _ a 1,且 x 1,2时，f(x)=lnx+ x+a (x 1) 2 lnx+ +x 30.所以，当a 1符合要求.最新高中数学导数培优拔高专题(附经典解析)

3、 一， ，ax2+x 2一c0a0),令 g(x)=ax2+x2, g(1)=a10,x所以方程ax2 (2a 1)x 3=0 一根大于1,另一根小于1,不妨设两根为x1,x2,x11x2,所以1xx2时,f (x)0,f(x)在(1 ,x2)为减函数.故当 x (1, x2)时，f(x)0 恒成立矛盾.所0a1不符合要求.所以，a的取值范围是1, +0)探究3：已知函数f(x) ax xlnx的图像在点x e (其中e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.(1)求实数a的值；(2)若k Z ,且k工里对任意x 1恒成立，求k的最大值； x 1(3)当 n m 4 时，求证：(mnn)m (nm

4、m)n .解析：(1 ) f x a 1 ln x ,由 f (e) 3 解得 a 1 ；f(x) x xlnx, k 丹 x xl；xg(x), g,(x) x 2 y, (换元)x 1 x 1(x 1)令 h(x) x 2 ln x ,有 h(x) 1 1 0,那么h(x) h(1) 1 (研究导函数的导x数)不妨设 h(M) 0,由 h(3) 0, h(4) 0,则可知 Xo (3,4),且 lnx0 m 2.(导函数零点估计)因此，当 hx 0时，gx 0, xxo；当 hx 0 时，g x 0, x%；(得到函数单调性)即可知 g(x)min g(x0) 3# *1)X0，Xo 1X

5、o 1(设而不求代入化简)k的最大正整数为3.所以k % ,得到满足条件的最新高中数学导数培优拔高专题(附经典解析)(3)证明：(mnn)m (nmm)nm ln(mnn) nln( nmm)mln m nln n nln n mln mm(n 1)ln m n(m 1)ln n型小；(等价转化)m 1 n 1由n m 4,下只要证w(x)的在4,)为增函数即可： w(x), x 1(x 1)2令 v(x) x 1 lnx, 由 v(x) 110, 那么 v(x) v(4) 3 ln4 0 x(研究导函数的导数)得到w,(x) 0,从而可知w(x)上在4,)为增函数，得证.口x 1变式1：函数

6、f(x) lnx, g(x) 1x2 2x ,当x 1时，不等式k(x 1) xf(x) 2g (x) 3恒成立，则整数k的最大值为.4先缩小再验证证明变式2: (2020年)已知函数f(x) x2 唯一解.解析： x2 2t ln x 2tx 2t(x ln x) x2 ,当x lnx 0时，有t R ；参数step1)设 u(x) x lnx, u(x) 1 1 0 ：又 u(1) x则可知Xo (1,1).e2当 x ln x 0 时，传至U 2t - g(x)；x ln x令 g(x) x 1 2lnx, 易知 g(1) 0, 且 x2t ln x (t 0), t为何值时，方程 f(

7、x) 2tx有(等价转化)(分离1 0, u(1) -10,不妨设 X0 ln X0 0, e e(分母零点的估计)2x x 2x ln x x(x 1 2ln x)(x) - U ,(x ln x) (x ln x)1 时，g(x) 0 ； x 1 时，g(x) 0 ；(导函数零点的发现)综上可知g(x)在区间(0,%),(%,1)上为减函数，在区间(1,)上为增函数；画图最新高中数学导数培优拔高专题（附经典解析）函数图像:因此,限！）（作图像时需要用极变式3：已知函数f x ex 1 x ax2,当x 0时，f x 0,求实数a的取值范围.f x ex 1 2ax , 首先，当a 0时，在

8、0,）上f x 0恒成立，则有 f x f 0 0 . 其次，当a 0时，令g x ex , h x 2ax 1 ,由题1可知，当0 2a 1 ,即0 a ；时， g x h x .此时f, x 0 ,同样有f x 0 .再者，当a 2时，函数y g x与y h x 相交于点0,1和x0,y0 ,同时，当x 0,%时，f x 0；当x %, 时，f x 0. 即可知 f x min f % ex0 1 % ax02 ,将 ex0 1 2a% 代入得到：Yxex 1 x 1f x0e0 1 x0 mx0 0 ? F x e 1 x x x 0 ,贝!J F x .222x x又由变式2可知1 x ex,那么Fx =0,即F x在区间0, 上递减， 2因此有f xf 0 0,与f x 0矛盾，故a ：不合题意.综上可知，满足题意的实数a的取值范围为（.2最新高中数学导数培优拔高专题（附经典解析）评注2：上述解法中，若要验证a 1不合题意，除了采用解法中的严谨论证， 2也可采用“验证性”做法：即将ex0 1 2ax。代入到得到 f X0 2ax0 X0 ax02 .若 f X0 0 时，则有0 X 2 1,与x 0矛盾，故a 不成立. a2评注3:若从“形”的角度去“还原”