人教版导与练总复习数学一轮教师用书：第二章函数

1、第1节函数的概念及其表示1.了解构成函数的要素,能求简单函数的定义域.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.函数的有关概念(1)集合A,B及其对应关系f:AB构成的函数中,函数的值域C不是集合B,而是CB.(2)两个函数的值域和对应关系相同,但两个函数不一定相同,例如,函数f(x)=2x2,x0,2与函数f(x)=2x2,x-2,0.2.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法.3.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系

2、,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.与x轴垂直的直线与一个函数的图象至多有一个公共点.1.若集合A=x|0 x2,B=y|0y3,则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f:AB的是(D)解析:A中的对应不满足函数的存在性,即存在xA,但B中无与之对应的y;B,C均不满足函数的唯一性,只有D正确.故选D.2.(必修第一册P72习题3.1T2改编)下列四组函数中表示同一个函数的是(C)A.f(x)=x-1x-1与g(x)=(x-1)2B.f(x)=x与g(x)

3、=x2xC.f(x)=x2与g(x)=|x|D.f(x)=1,xR与g(x)=x0解析:A选项中函数f(x)的定义域为1,+),g(x)的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;B选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,不是同一个函数;C选项中函数f(x),g(x)的定义域均为R,对应法则也相同,是同一个函数;D选项中函数f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同,不是同一个函数.故选C.3.已知函数f(x)=x2+1,x0,-x2+1,x0,则f(f(-12)等于(A)A.2516B.716C.-916D.916解析:

4、由x0可知f(-12) =-(-12)2+1=34,结合x0的解析式可知f(34)=( 34) 2+1=2516.故选A.4.已知函数f(x)和g(x)的定义域为1,2,3,4,其对应关系如表,则f(g(2)的值为(D)x1234f(x)4321g(x)1133A.1B.2C.3D.4解析:因为g(2)=1,f(1)=4,则f(g(2)=f(1)=4.故选D.5.(2020北京卷)函数f(x)=1x+1+ln x的定义域是.解析:函数f(x)=1x+1+ln x的自变量满足x+10,x0,所以x0且x-1,即定义域为(0,+).答案:(0,+) 函数的定义域1.(2021陕西黄陵高三期中)函数

5、f(x)=3xx-1+ln(2x-x2)的定义域为(B)A.(2,+)B.(1,2)C.(0,2)D.1,2解析:要使函数有意义则x-10,2x-x20,解得1x2.所以函数f(x)的定义域为(1,2).故选B.2.已知函数f(x)=33x-1ax2+ax-3的定义域是R,则实数a的取值范围是(B)A.(-12,0)B.(-12,0C.( 13,+)D.(-,13解析:因为f(x)=33x-1ax2+ax-3的定义域为R,所以只需分母不为0即可,所以a=0或a0,=a2-4a(-3)0,可得-12a0.故选B.3.已知函数f(x)=(1-x)-12+(2x-1)0,则f(x)的定义域为.解析:

6、将(1-x)-12化为11-x,所以x1,又因为2x-10,所以x12.综上,定义域为(-,12)(12,1).答案:(-,12)(12,1)4.已知函数f(x)的定义域为(-1,1),则函数g(x)=f(1x) +f(x-1)的定义域为.解析:因为f(x)的定义域为(-1,1),所以要使g(x)有意义,则-11x1,-1x-11,解得1x2,所以g(x)的定义域为(1,2).答案:(1,2)5.若函数f(x)=ax2+abx+b的定义域为x|1x2,则a+b的值为.解析:函数f(x)的定义域是不等式ax2+abx+b0的解集.不等式ax2+abx+b0的解集为x|1x2,所以a0,1+2=-

7、b,12=ba,解得a=-32,b=-3,所以a+b=-32-3=-92.答案:-92(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成,则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集.(2)求抽象函数的定义域若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式ag(x)0),则f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+6,于是有a2=4,ab+b=6,解得a=2,b=2或a=-2,b=-6(舍去),所以f(x)=2x+2.答案:f(x)=2x+23.已知f(1-cos x)=sin2x,则函数f(x)的解析式为.解析:因为f(1-cos x)=sin

8、2x=1-cos2x,令1-cos x=t,t0,2,则cos x=1-t,所以f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t0,2.即f(x)=2x-x2,x0,2.答案:f(x)=2x-x2,x0,21.已知f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式,常用换元法或配凑法或两种方法并用,换元法更具有一般性,在使用时一定要注意新元的取值范围.2.换元法的一般方法是:令t=g(x),从中求出x= (t),然后代入表达式求出f(t),再将t换成x,得到f(x)的解析式,要注意新元的取值范围. 分段函数及其应用分段函数求值 (1)已知f(x)=2x,x0,f(x+1),x0,则f(f(43)+f(-43)

9、的值等于.(2)(2021浙江高二学业考试)已知函数f(x)=log2x,x0,-x,x0,则f(1)等于;f(f(-2)等于.解析:(1)由题意得f(43)=243=83,f(f(43)=f(83)=283=163,f(-43)=f(-13)=f(23)=223=43,所以f(f(43)+f(-43)=163+43=203.(2)因为10,所以f(1)=log21=0,又因为-20,所以f(-2)=-(-2)=2,所以f(f(-2)=f(2)=log22=1.答案:(1)203(2)01求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时,要先确定要求值的自变量属于哪一区间,然后代入该区间对应

10、的解析式求值.(2)当出现f(f(a)的形式时,应从内到外依次求值.分段函数与方程 (2021山西太原高三期中)已知函数f(x)=x2-x,x0,x,x0,若f(a)=2,则实数a等于()A.-1或2B.2或4C.-2或4D.-1或4解析:法一当a0,则满足f(x)+f(x-12)1的x的取值范围是.解析:当x12时,f(x)+f(x-12)=2x+2x-122x21;当02x1;当x0时,f(x)+f(x-12)=x+1+(x-12)+1=2x+32,所以f(x)+f(x-12)12x+321x-14,即-140,ex,x0,若F(x)=f(x)+x,xR,则F(x)的值域为()A.(-,1

11、B.2,+)C.(-,12,+)D.(-,1)(2,+)解析:当x0时,F(x)=1x+x21xx=2,当且仅当1x=x,即x=1时取等号;当x0时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性得F(x)是增函数,F(x)F(0)=1,所以F(x)的值域为(-,12,+).故选C.分段函数的值域是各段函数值域的并集.针对训练 1.已知函数f(x)=x+1x-2,x2,x2+2,x2,则f(f(1)等于()A.-12B.2C.4D.11解析:因为f(1)=12+2=3,所以f(f(1)=f(3)=3+13-2=4.故选C.2.若函数f(x)=x-1,x0,lgx,x0,则不等式f(x)+1

12、0的解集是()A.(-,110)B.(-,0)(0,110)C.(0,110)D.(-1,0)(110,+)解析:由题意x0,x-1+10,lgx+10,所以x0或0 x110,所以不等式f(x)+10的解集为(-,0)(0,110).故选B.3.(2021四川遂宁高三模拟)函数f(x)=x2-x+1,x1的值域为.解析:当x1时,f(x)=1x(0,1).综上可得,f(x)的值域为(0,+).答案:(0,+)4.已知函数f(x)=ex+1,x0,2,x0,则方程f(1+x2)=f(2x)的解集是.解析:因为1+x20,所以f(1+x2)=2.方程f(1+x2)=f(2x),即f(2x)=2.

13、所以当x0时,设解析式为y=a(x-2)2-1,因为图象过点(4,0),所以0=a(4-2)2-1,解得a=14.综上,函数f(x)在-1,+)上的解析式为f(x)=x+1,-1x0,14(x-2)2-1,x0.答案:f(x)=x+1,-1x0,14(x-2)2-1,x0知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数的概念与表示2,3,61416,17函数的定义域1,4,5,711分段函数8,9,1012,13151.函数f(x)=1-x+lg(3x-1)的定义域为(A)A.( 13,1B.(0,1C.(-,13)D.(0,13)解析:要使f(x)=1-x+lg(3x-1)有意义,则有1-x0

14、,3x-10,解得130);y=x2+2x-10;y=x,x0,1x,x0,其中定义域与值域相同的函数的个数为(B)A.1B.2C.3D.4解析:y=3-x的定义域与值域均为R;y=2x-1(x0)的定义域为(0,+),值域为(12,+);y=x2+2x-10的定义域为R,值域为-11,+);y=x,x0,1x,x0的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是,共有2个.故选B.6.(多选题)下列函数中,满足f(2x)=2f(x)的是(ABD)A.f(x)=|2x|B.f(x)=xC.f(x)=xD.f(x)=x-|x|解析:f(x)=|2x|,f(2x)=4|x|,2f(x)=4|x|

15、,所以A正确;f(x)=x,满足f(2x)=2f(x),所以B正确;f(x)=x,f(2x)=2x,2f(x)=2x,不满足f(2x)=2f(x),所以C不正确;f(x)=x-|x|,f(2x)=2x-2|x|,2f(x)=2x-2|x|,所以D正确.故选ABD.7.(2021安徽合肥高三联考)已知函数f(x)的定义域是12,8,则f(2x)的定义域是.解析:因为函数f(x)的定义域是12,8,所以122x8,得-1x3.所以f(2x)的定义域为-1,3.答案:-1,38.已知函数f(x)=3x-3-x+2,则f(1)等于;若f(m)=2,则实数m等于 .解析:由题意,函数f(x)=3x-3-

16、x+2,可得f(1)=31-3-1+2=143,因为f(m)=2,即3m-3-m+2=2,可得3m=3-m,解得m=0.答案:14309.(2021浙江绍兴二模)已知函数f(x)=-(x+1)2+7,x1,log2x+3,x1,则f(0)等于;关于x的不等式f(x)7的解集是.解析:由题可知f(x)=-(x+1)2+7,x1,log2x+3,x1,所以f(0)=-(0+1)2+7=6,x1,-(x+1)2+77x,x1,log2x+37x16,所以f(x)7的解集是(16,+).答案:6(16,+)10.已知函数f(x)=(1-2a)x+3a,x0且a-1,解得-1a0-3x3,所以-3x33

17、,-33x3,所以-9x1或x-1,所以-9x-1或1x9.故选B.12.(多选题)函数f(x)=1,x为有理数,0,x为无理数,则下列结论正确的是(ACD)A.任意x都有f(x)=f(-x)B.方程f(f(x)=f(x)的解只有x=1C.f(x)的值域是0,1D.方程f(f(x)=x的解只有x=1解析:当x为有理数时,-x为有理数,则f(x)=f(-x)=1,当x为无理数时,-x为无理数,则f(x)=f(-x)=0,故A正确;当x为有理数时,方程f(f(x)=f(1)=1=f(x)成立;当x为无理数时,方程f(f(x)=f(0)=1f(x).所以方程f(f(x)=f(x)的解为任意有理数,故

18、B错误;因为f(x)的值域是0,1,故C正确;当x为有理数时,方程f(f(x)=f(1)=1=x,解得x=1;当x为无理数时,方程f(f(x)=f(0)=1,无解,故D正确.故选ACD.13.(多选题)已知函数f(x)=x2,-2x1,-x+2,x1,关于函数f(x)的结论正确的是(BC)A.f(x)的定义域为RB.f(x)的值域为(-,4C.若f(x)=2,则x的值是-2D.f(x)1的解集为(-1,1)解析:函数f(x)的定义域是-2,1)1,+)=-2,+),故A错误;当-2x1时f(x)=x2,值域为0,4,当x1时,f(x)=-x+2,值域为(-,1,故f(x)的值域为(-,10,4

19、=(-,4,故B正确;由函数值的分布情况可知,f(x)=2在x1上无解,故由-2x1,即f(x)=x2=2,得到x=-2,故C正确;当-2x1时,令f(x)=x21,解得x(-1,1),当x1时,令f(x)=-x+21,解得x(1,+),故f(x)1的解集为(-1,1)(1,+),故D错误.故选BC.14.若一系列函数的解析式和值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,请写出一个与函数y=x2,x0,2同族的函数: .解析:函数y=x2,x0,2的值域为0,4,因此其同族函数的函数解析式可以是y=x2,x-2,t(0t2),也可以是y=x2,xm,2(-2m0)中的任意一个.答案:

20、y=x2,x-2,1(答案不唯一,参考解析中的t,m的值)15.设函数f(x)=x(x-1),x0,-f(-x),x0,则满足f(x)+f(x-1)2的x的取值范围是.解析:当x0时,f(x)=-f(-x)=-x(-x-1)=-x(x+1),若x0,则x-1-1,由f(x)+f(x-1)2得-x(x+1)-(x-1)x2,即-2x2-1,此式恒成立,此时x0.若x1,则x-10,由f(x)+f(x-1)2得x(x-1)+(x-1)(x-2)2,即x2-2x0,即0 x2,此时1x2.若0 x1,则x-10,由f(x)+f(x-1)2得x(x-1)-(x-1)x2,即02,此时不等式恒成立,此时

21、0 x1.综上x2,即不等式的解集为(-,2).答案:(-,2)16.(2021浙江宁波高三模拟)已知函数f(x)=|x-2|-12|x+1|,若对于任意实数x,有|f(x+t)-f(x)|1(tR)恒成立,则实数t的取值范围为.解析:当x2时,f(x)=x-2-12(x+1)=12x-52,当-1x|-12|=|12|,所以f(x)在-1,2上变化最快,所以|f(x+t)-f(x)|的最大值为|-32(x+t)+32-(-32x+32)|=|32t|,所以|32t|1,解得-23t23.答案:-23,2317.定义域为集合1,2,3,12的函数f(x)满足:f(1)=1;|f(x+1)-f(

22、x)|=1(x=1,2,11);f(1),f(6),f(12)成等比数列.这样的不同函数f(x)的个数为.解析:经分析,f(x)的取值的最大值为x,最小值为2-x,并且成以2为公差的等差数列,故f(6)的取值为6,4,2,0,-2,-4.f(12)的取值为12,10,8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,所以能使f(x)中的f(1),f(6),f(12)成等比数列时,f(1),f(6),f(12)的取值只有两种情况f(1)=1,f(6)=2,f(12)=4;f(1)=1,f(6)=-2,f(12)=4.|f(x+1)-f(x)|=1(x=1,2,11),f(x+1)=f(x)+1

23、,或者f(x+1)=f(x)-1,即得到后项时,把前项加1或者把前项减1.(1)当f(1)=1,f(6)=2,f(12)=4时;将要构造满足条件的等比数列分为两步,第一步:从f(1)变化到f(6);第二步:从f(6)变化到f(12).从f(1)变化到f(6)时有5次变化,函数值从1变化到2,故应从5次中选择3次加1,剩余的两次减1.对应的方法数为C53=10种.从f(6)变化到f(12)时有6次变化,函数值从2变化到4,故应从6次变化中选择4次增加1,剩余两次减少1,对应的方法数为C64=15种.根据分步乘法计数原理,共有1015=150种方法.(2)当f(1)=1,f(6)=-2,f(12)

24、=4时,将要构造满足条件的等比数列分为两步,第一步:从f(1)变化到f(6);第二步:从f(6)变化到f(12),从f(1)变化到f(6)时有5次变化,函数值从1变化到-2,故应从5次中选择1次加1,剩余的4次减1.对应的方法数为C51=5种.从f(6)变化到f(12)时有6次变化,函数值从-2变化到4,故应从6次变化中选择6次增加1,对应的方法数为C66=1种.根据分步乘法计数原理,共有51=5种方法.综上,满足条件的f(x)共有150+5=155种.答案:155第2节函数的单调性与最值1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数的单调性、最大值、最小值的作用

25、和实际意义. 1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数当x1f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的函数单调性定义中的x1,x2具有以下三个特征:一是任意性,即“任意两数x1,x2D”,“任意”两字绝不能丢;二是有大

26、小,即x10(或(x1-x2)f(x1)-f(x2)0)f(x)在D上单调递增;(2)f(x1)-f(x2)x1-x20(或(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,b0,则函数在区间(-,0),(0,+)上是增函数,若a0,则函数在区间(-,0),(0,+)上是减函数;若a0,b0,则函数在区间(-ba,0),(0,ba)上是减函数,在区间(-,-ba),( ba,+)上是增函数.特别地,“对勾函数”y=x+ax(a0)的单调递增区间为(-,-a),(a,+);单调递减区间是-a,0),(0,a.3.与函数运算有关的单调性结论(1)函数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.(2)

27、k0时,函数f(x)与kf(x)单调性相同;k0时,函数f(x)与kf(x)单调性相反.(3)若f(x)恒为正值或恒为负值,则f(x)与1f(x)具有相反的单调性.(4)若f(x),g(x)都是增(减)函数,则当两者都恒大于零时,f(x)g(x)是增(减)函数;当两者都恒小于零时,f(x)g(x)是减(增)函数.(5)在公共定义域内,增+增=增,减+减=减.(6)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.1.(2021全国甲卷)下列函数中是增函数的为(D)A.f(x)=-x

28、B.f(x)=(23)xC.f(x)=x2D.f(x)=3x解析:f(x)=-x为R上的减函数;f(x)=(23)x为R上的减函数;f(x)=x2在(-,0)上为减函数;f(x)=3x为R上的增函数.故选D.2.若函数f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)f(a),则a的取值范围是(B)A.(0,2)B.(-,0)(2,+)C.(-,0)D.(2,+)解析:因为f(x)是R上的减函数,且f(a2-a)a,所以a2-2a0,所以a2或af(32),则函数f(x)在区间-1,32上的最大值为f(-1)=6.答案:64.(必修第一册P100T4改编)函数f(x)=x2+2(a-1)x+2.(1)若

29、函数f(x)的单调递减区间是(-,6,则实数a的值(或取值范围)是;(2)若函数f(x)在区间(-,6上单调递减,则实数a的值(或取值范围)是.解析:(1)因为函数f(x)的单调递减区间是(-,6,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以有1-a=6,即a=-5.(2)因为函数f(x)在区间(-,6上单调递减,且函数f(x)图象的对称轴为直线x=1-a,所以1-a6,即a-5.答案:(1)-5(2)(-,-55.(2021吉林松原高三模拟)写出一个符合“对x1,x2R,当x1x2时,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0”的函数:f(x)=.解析:设x1,x2R,x1f(x2),由单调

30、性的定义可知,函数f(x)是定义域为R的减函数,所以函数f(x)=-x满足题意.答案:-x(答案不唯一) 函数的单调性与单调区间1.下列函数中,满足“x1,x2(0,+)且x1x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0”的是(C)A.f(x)=2xB.f(x)=|x-1|C.f(x)=1x-xD.f(x)=ln(x+1)解析:由(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,得f(x)的定义域为x|x4或x-2.设t=x2-2x-8,则y=ln t为增函数.函数f(x)的单调递增区间,即函数t=x2-2x-8的单调递增区间(定义域内).因为函数t=x2-2x-8在(4,+)上单调递增,在(-,-2)

31、上单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间为(4,+).故选D.3.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是.解析:f(x)=x2-2x,x2,-x2+2x,x0时,0f(x)=1x+1x12x1x=12,当且仅当x=1时,等号成立;当x0时,f(x)=xx2+10,且f(x)=-1(-x)+1-x-12(-x)1-x=-12,当且仅当x=-1时,等号成立.综上所述,函数f(x)=xx2+1的值域为-12,12.故选D.利用基本不等式法求最值应先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值,若自变量符号不确定,则需要分类讨论.换元法 求下列函数的值域.(1)f(x)=

32、4-x+(12) x+1(x0);(2)f(x)=2x+1-2x.解:(1)因为x0,设t=(12)x(0,1,y=t2+t+1,t(0,1,y=t2+t+1=(t+12)2+34.由于函数y=t2+t+1在(0,1上单调递增,所以1t2+t+13,因此函数的值域为(1,3.(2)令1-2x=t0,则2x=1-t2(t0),所以函数y=-t2+t+1(t0),又函数y=-t2+t+1(t0)图象的对称轴方程为t=120,且开口向下,所以ymax=y|t=12=-(12)2+12+1=54,所以函数y=2x+1-2x的值域为(-,54.1.形如y=axbcxd,通过换元将他们转化为有理函数,通过

33、求有理函数的值域间接求原函数的值域.2.若函数的解析式可以看作是一个关于基本初等函数的二次式,可以考虑换元法,但是要注意换元后新元的取值范围.函数的单调性法 求下列函数的值域.(1)f(x)=3x2-2x,x-1,-12;(2)f(x)=4-x-x+2.解:(1)因为f(x)=3x2-2x=3x-2x在-1,-12上是增函数,f(-1)=-1,f(-12)=52,所以函数f(x)的值域为-1,52.(2)因为4-x0,x+20,所以-2x4,所以函数f(x)的定义域为-2,4.又y1=4-x,y2=-x+2在区间-2,4上均为减函数,所以f(x)=4-x-x+2在-2,4上为减函数,所以f(4

34、)f(x)f(-2),即-6f(x)6,所以函数的值域为-6,6.若已知函数具有明显的单调性,则应先确定函数的单调性,再由单调性求最值.分离常数法 函数y=1-x22+x2的值域是()A.(-1,12B.(-1,1)C.(-,12D.(-2,2)解析:法一y=-(x2+2)+32+x2=-1+32+x2,因为2+x22,所以012+x212,所以-1-1+32+x212,所以函数y=1-x22+x2的值域是(-1,12.故选A.法二由y=1-x22+x2可得x2=1-2yy+1,由x20可得1-2yy+10且y+10,解得-1y12,因此函数的值域是(-1,12.故选A.一般地,形如y=af(

35、x)+bcf(x)+d(ac0)(f(x)为常见的基本初等函数)的函数常用分离常数法或反解法(即用y表示f(x),然后借助f(x)的取值范围求y的取值范围).数形结合法(图象法) 若定义运算a*b=b,ab,a,ab,则函数g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)的值域为()A.(-,4B.(-,2C.1,+)D.(-,4)解析:由a*b=b,ab,a,ab,得g(x)=(-x2-2x+4)*(-x+2)=-x+2,x-2,1,-x2-2x+4,x(-,-2)(1,+),当x-2,1,g(x)=-x+21,4,当x(-,-2)(1,+),g(x)=-(x+1)2+502x+33012x+3

36、b.设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=minf(x),g(x)的最大值是.解析:在同一平面直角坐标系中作出函数f(x),g(x)图象,依题意,h(x)的图象如图实线部分所示.易知点A(2,1)为图象的最高点,因此h(x)的最大值为h(2)=1.答案:14.函数y=x2+21+x2的值域是.解析:y=x2+21+x2=(x2+1)+11+x2=1+x2+11+x2.令t=1+x2(t1),则y=t+1t2t1t=2(当且仅当t=1t,即t=1,即x=0时,取等号),因此函数的最小值为2.函数无最大值,即函数的值域是2,+).答案:2,+) 函数单调性的应用利用单调性

37、比较大小 已知函数y=f(x)关于直线x=1对称,当1x10恒成立,设a=f(-12),b=f(2),c=f(3),则a,b,c大小关系为()A.bacB.cbaC.bcaD.abc解析:因为函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又因为当1x10恒成立,所以函数f(x)在(1,+)上单调递增,因此f(3)f(52)=f(-12)f(2),即bac.故选A.利用单调性比较函数值大小时,应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上,利用单调性比较大小.利用函数的单调性解不等式 已知函数f(x)=-x|x|,x(-1,1),则不等式f(1-m)f(m2-1)的解集为.解析:函数

38、f(x)=x2,-1x0,-x2,0 x1,则f(x)在(-1,1)上单调递减,不等式f(1-m)f(m2-1)可转化为-11-m1,-1m2-11,m2-11-m,解得0m1.答案:m|0m1解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题的关键是利用函数的单调性“脱去”函数符号“f”,从而转化为关于自变量的不等式,常见的转化方法为:若函数y=f(x)在区间D上是增函数,对任意x1,x2D,且f(x1)f(x2),则有x1x2;若函数y=f(x)在区间D上是减函数,对任意x1,x2D,且f(x1)x2.但需要注意的是不要忘记函数的定义域.含参数的分段函数的单调性 已知函数f(x)=2x2-8ax+3(

39、x1),logax(x1)在xR上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(0,12)B.(0,23)C. 12,58D.(0,23)(2,3)解析:由函数f(x)=2x2-8ax+3(x1),logax(x1)在xR上单调递减可知函数y=2x2-8ax+3在区间(-,1)上是减函数,函数y=logax在区间1,+)上是减函数,且左边函数的最小值大于等于紧挨着它的右边函数的最大值,因此2a1,0a1,2-8a+3loga1,解得12a58.故选C.对于分段函数在实数集R上的单调递增(减)的问题,除了保证在定义域的每一个区间上单调性相同之外,还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.针对训练 1.已知

40、函数f(x)的图象关于y轴对称,且函数在区间0,+)上单调递增,则下列关系式成立的是()A.f(-72)f(-3)f(4)B.f(-3)f(-72)f(4)C.f(-3)f(4)f(-72)D.f(4)f(-72)f(-3)解析:因为函数f(x)的图象关于y轴对称,所以f(-3)=f(3),f(-72)=f(72),又因为3724且f(x)在0,+)上单调递增,所以f(3)f(72)f(4),所以f(-3)f(-72)2在R上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(0,1B.(0,2C.(0,32)D.1,32)解析:因为f(x)=ax-2,x2,(3-2a)ln(x-1),x2在R上单调递增

41、,所以a0,3-2a0,2a-20,解得0a1.故选A.3.设函数f(x)=2x,xf(x2)+f(1)恒成立,则实数x1的取值范围是()A.(-,0)B.(0,12)C.(12,1)D.(1,+)解析:若f(x1)+f(0)f(x2)+f(1),则f(x1)-f(x2)f(1)-f(0).又由x1+x2=1,则有f(x1)-f(1-x1)f(1)-f(0).令g(x)=f(x)-f(1-x),又f(x)为增函数,所以g(x)为增函数,式即g(x1)g(1),所以x11.故选D. 已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足:对任意正实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)-2,且当x1时恒

42、有f(x)2,则下列结论正确的是()A.f(x)在(0,+)上是减函数B.f(x)在(0,+)上是增函数C.f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+)上是增函数D.f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+)上是减函数解析:设任意0 x11,f(x2)-f(x1)=f(x2x1x1)-f(x1)=f(x2x1)+f(x1)-2-f(x1)=f(x2x1)-20,即f(x2)f(x1),所以函数为减函数.故选A. 函数y=2ax-1x+1在区间(-,-1)上是减函数,则实数a的取值范围是.解析:法一因为y=2ax-1x+1=2a(x+1)-2a-1x+1=2a-2a+1x+1.又因为y=2ax

43、-1x+1在(-,-1)上是减函数,所以2a+10,所以a-12.法二因为y=2ax-1x+1=2a-2a+1x+1,所以y=2a+1(x+1)2,又因为y=2ax-1x+1在(-,-1)上是减函数,所以2a+10,所以a1,则实数a的取值范围是.解析:因为任意x1,x21,+),且x1x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x21,所以令x1x2,则f(x1)-f(x2)x1-x21,即f(x1)-f(x2)x1-x2,f(x1)-x1f(x2)-x2,令g(x)=f(x)-x=ax2-2x+1,则函数g(x)在1,+)上是增函数,若a=0,则g(x)=-2x+1,显然不成立;若a0,则a0,

44、-22a1,解得a1.综上所述,实数a的取值范围是1,+).答案:1,+) 求下列函数的值域.(1)f(x)=x2-x+1x2+x+1;(2)f(x)=2-x+x2-6x+10.解:(1)令y=x2-x+1x2+x+1,则函数的定义域为xR,函数可转化为(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0在xR上有解,所以当y-1=0,即y=1时,x=0显然成立;当y-10时,=(y+1)2-4(y-1)20,整理得3y2-10y+30,解得13y3且y1,所以综上可知函数f(x)的值域为13,3.(2)由已知得2-x0,x2-6x+100,解得x2,所以f(x)的定义域为x|x2,又x2时,y=2-x与

45、y=x2-6x+10都是减函数,所以f(x)在(-,2上是减函数,f(x)f(2)=2,所以函数f(x)的值域为2,+).知识点、方法基础巩固练综合运用练应用创新练函数单调性的判定、求单调区间1,5,91316函数的最值2,3,7,812,1417,18函数单调性的应用4,6,1011151.(2021江西萍乡二模)下列函数中,在(0,+)上单调递增的是(C)A.y=-x2+1 B.y=|x-1|C.y=x3 D.y=2-x解析:函数y=-x2+1在(0,+)上单调递减,因此A不符合题意;由于函数y=|x-1|的图象关于直线x=1对称,在(1,+)上单调递增,不符合题意;x(0,+)时,函数y

46、=x3的导数为y=3x20,因此函数在(0,+)上单调递增,故C满足题意;函数y=2-x=(12) x在区间(0,+)上单调递减.故选C.2.函数y=2-x2+4x的值域是(C)A.-2,2B.1,2C.0,2D.-2,2解析:由0-x2+4x=-(x-2)2+42可知函数y=2-x2+4x的值域为0,2.故选C.3.函数y=2-xx+1,x(m,n的最小值为0,则m的取值范围是(B)A.(1,2) B.(-1,2) C.1,2) D.-1,2)解析:函数f(x)=2-xx+1=3-(x+1)x+1=3x+1-1在区间(-1,+)上是减函数,且f(2)=0,所以n=2.根据题意,x(m,n时,

47、ymin=0.所以m的取值范围是(-1,2).故选B.4.已知函数f(x)=ex+x-1,若a(-1,0),则f(a),f(2a),f2(a)的大小关系为(D)A.f(2a)f(a)f2(a)B.f(2a)f2(a)f(a)C.f2(a)f(2a)f(a)D.f2(a)f(a)f(2a)解析:显然f(x)在R上是增函数,且f(0)=0,当a(-1,0)时,2aa0,所以f(2a)f(a)0,从而f2(a)f(a)f(2a).故选D.5.(多选题)下列函数中,在(2,4)上是减函数的是(AC)A.y=(13) xB.y=log2(x2+3x)C.y=1x-2D.y=cos x解析:根据指数函数的

48、性质得y=(13) x在(2,4)上是减函数,符合题意;根据复合函数的单调性可知y=log2(x2+3x)在(2,4)上是增函数,不符合题意;根据反比例函数的性质及函数图象的平移得y=1x-2在(2,4)上是减函数,符合题意;根据余弦函数的性质得,y=cos x在(2,4)上先减后增,不符合题意.故选AC.6.(2021陕西咸阳高三一模)已知函数f(x)=22x+1-1,且f(4x-1)f(3),则实数x的取值范围是(D)A.(2,+)B.(-,2)C.(1,+)D.(-,1)解析:由题意知函数f(x)=22x+1-1在R上单调递减,由于f(4x-1)f(3),所以4x-13,解得x1)在区间

49、(0,3)上单调递减,则a的取值范围为.解析:由对勾函数的性质可知函数y=x+a-1x(a1)在(0,a-1上单调递减,在(a-1,+)上单调递增,因为函数y=x+a-1x(a1)在区间(0,3)上单调递减,所以a-13,解得a10.答案:10,+)10.设函数f(x)=-x2+4x,x4,log2x,x4.若函数y=f(x)在区间(a,a+1)上单调递增,则实数a的取值范围是.解析:作出函数f(x)的图象如图所示,由图象可知f(x)在(a,a+1)上单调递增,需满足a4或a+12,即a1或a4.答案:(-,14,+)11.已知图象开口向上的二次函数f(x)对任意xR都满足f(3-x)=f(x

50、),若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则实数a的取值范围为(B)A.(-,54 B.(1,54C.-32,+)D.(-,2)解析:由题意知函数图象的对称轴是直线x=32,且开口向上,若f(x)在区间(a,2a-1)上单调递减,则只需322a-1,解得a54,而a1.所以实数a的取值范围为(1,54.故选B.12.(多选题)若函数f(x)=1ax2-4ax+3的值域为(0,+),则实数a的取值可能是(CD)A.0 B.12 C.34 D.1解析:当a=0时,f(x)=33,不符合题意;当a0时,因为函数f(x)=1ax2-4ax+3的值域为(0,+),所以a0,(-4a)2-4a30,

51、解得a34.故选CD.13.(多选题)(2021山东威海高三期中)函数f(x)对任意x,yR总有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时,f(x)0,f(1)=13,则下列命题中正确的是(BCD)A.f(x)是R上的减函数B.f(x)在-6,6上的最小值为-2C.f(-x)=-f(x)D.若f(x)+f(x-3)-1,则实数x的取值范围为0,+)解析:取x=0,y=0,则f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0.令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x),即-f(x)=f(-x),C正确;令x1,x2R,且x1x2,则x1-x20,因为当x0时,f(x)0,所以f(x1-x2)0,则

52、f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)0,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)是R上的增函数,A错误;因为函数f(x)是R上的增函数,所以函数f(x)在-6,6上的最小值为f(-6),f(-6)=f(-3)+f(-3)=2f(-3),f(-3)=-f(3),f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=313=1,故f(-6)=-2,所以f(x)在-6,6上的最小值为-2,B正确;f(x)+f(x-3)-1,即f(2x-3)f(-3),因为函数f(x)是R上的增函数,所以2x-3-3,解得x0,所以实数x的取值范围为0,+),D正确.故选BCD.1

53、4.已知函数f(x)=|x2-4x|,x2,5,则f(x)的最小值是,最大值是.解析:因为函数f(x)=|x2-4x|=-(x2-4x),2x4,x2-4x,4x5,对应图象如图所示,故f(x)的最小值为f(4)=0,最大值为f(5)=5.答案:0515.已知函数f(x)=1+lnxx,则(C)A.f(12)f(1)f(32)B.f(32)f(1)f(12)C.f(12)f(32)f(1)D.f(32)f(12)0-ln x00 x1,f(x)0-ln x1,即函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,所以f(32)f(1).又因为f(12)=2(1+ln 12)=2(1-l

54、n 2),f(32)=23(1+ln 32)=23(1+ln 3-ln 2),因为f(12)-f(32)=2-2ln 2-23-23ln 3+23ln 2=23(2-2ln 2-ln 3)=23(2-ln 22-ln 3)=23(2-ln 12)0,所以f(12)f(32),即得f(12)f(32)0,所以f(x)=1-(12)x为R上的增函数,且f(x)=1-(12)x0,y0,若(x+1x)(y+1y)(x+y2+2x+y)2,则(x+y)2的最大值是.解析:令xy=t,则00.(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a.(2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为

55、2a.(3)若f(x+a)=1f(x),则函数的一个周期为2a.(4)若f(x+a)=-1f(x),则函数的一个周期为2a.3.对称性的三个常用结论(1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称.1.(必修第一册P84例6改编)下列函数中为偶函数的是(B)A.y=x3B.y=x2C.y=|

56、ln x|D.y=2-x解析:A为奇函数,C,D为非奇非偶函数,B为偶函数.故选B.2.(必修第一册P203练习T4改编)设f(x)是定义在R上周期为3的函数,当0 x1时,f(x)=x2-x,则f(72)等于(B)A.154B.-14C.14D.12解析:因为f(x)是定义在R上周期为3的函数,所以f(72)=f(72-3)=f(12).又当0 x1时,f(x)=x2-x,则f(12)=14-12=-14.故选B.3.若函数f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函数,定义域为a,2b,则a+2b=.解析:因为f(x)是偶函数,函数的定义域关于原点对称,所以a+2b=0.答案:04.(2020江

57、苏卷)已知y=f(x)是奇函数,当x0时,f(x)=x23,则f(-8)的值是.解析:由题意可得f(-8)=-f(8)=-823=-(23)23=-22=-4.答案:-45.(2021山东日照高三模拟)写出一个满足f(x)=f(2-x)的奇函数:f(x)=.解析:取f(x)=sin 2x,下面为证明过程:显然,其定义域为R;由f(-x)=sin(-2x)=-sin2x=-f(x),故f(x)=sin 2x为奇函数;又f(2-x)=sin2(2-x) =sin(-2x) =sin 2x=f(x).答案:sin2x(答案不唯一) 函数奇偶性的判断及应用1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足当x0时

58、,f(x)=2x2-2,则f(f(-1)+f(2)等于(B)A.-8B.-6C.4D.6解析:法一因为当x0时,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函数是奇函数,则f(0)=0,f(-2)=2(-2)2-2=24-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1)+f(2)=-6.故选B.法二因为当x0,则-x0,x2+2x-1,x0,得-1x0时,-x0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),当x0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.法二(图象法)作出函数f(x)的图象,由图象关于原点对称的特征知函数f(x)

59、为奇函数.(4)因为4-x20,|x+3|3-2x2且x0,所以函数的定义域关于原点对称,所以f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x,又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x,所以f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数.1.判断函数奇偶性的方法(1)首先判断函数的定义域是否关于原点对称,若函数的定义域关于原点对称,则判断f(-x)与f(x)之间的关系.(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(-x)与f(x)的关系,只有各段上的x都满足相同的关系时,才能判断其奇偶性.2.利用函数的奇偶性求函数值的方法:将待求函数值或不等式利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.3.根据函数的

60、奇偶性求解析式中参数的方法:根据f(x)f(-x)=0得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性得参数的方程(组),进而得出参数的值.4.涉及两个奇偶函数的和或差的解析式求奇偶函数的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函数的性质构造方程组求解.注意:根据函数的解析式判断函数奇偶性时,若函数解析式不是最简形式,需要先化简函数解析式,化简时要注意等价变形. 函数的周期性及其应用 设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x0,2时,f(x)=2x-x2,则x2,4时函数f(x)的解析式为.解析:当x-2,0时,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=